Akımı Hesaplamak
Bir metal-yalıtkan-metal birleşiminden geçen akımı hesaplamak için bu yöntemin ilk kez türetildiği makale, teori öğrencileri ve deneyciler için oldukça zor olduğunu kanıtlıyor. Aslında, temel adım, çok-cisim teorisi çerçevesinde, parçalar halinde akıllı bir entegrasyona dayanmaktadır.
Bu, yoğunluk fonksiyonel teorisi içinde hesaplanan dalga fonksiyonları ile açık ilişkisini oldukça belirsiz hale getirir. Bu nedenle zamana bağlı pertürbasyon teorisine dayalı türevi bu noktada ekliyoruz.
Türetme iki açık varsayıma dayanmaktadır:
1. Tünel açma kavşağının iki ucu arasında herhangi bir etkileşim veya akım akışı olmadan, tüm sistem, uygun bir şekilde yüzeyde bulunan özdurumlara (ψμ) ve uçta bulunan özdurumlara (χν) ayrılan ayrı bir ortogonal özdurumlar kümesi içerir. Bu koşul altında, alt sistemlerin iki Hamiltoniyeni yalnızca potansiyelleri bakımından farklılık gösterir.
2. Tünel açma koşulu altındaki toplam potansiyel, iki potansiyelin toplamıdır: biri yüzey için, US ve biri uç için, UT. Bu potansiyellerin her ikisi de vakum aralığında üstel olarak azaldığından, bu iki engel arasındaki vakum aralığındaki bir yüzeyde üst üste binmeleri çok küçük olacaktır ve ihmal edilebilir.
Bardeen benzeri bir forma yeniden yazılabilir. İntegral yalnızca ucun bölgesini kapsar, çünkü potansiyel UT dışarıda sıfırdır. Uç durumları için Schrödinger denklemiyle yazabiliriz. Delta fonksiyonelliği nedeniyle Eμ ve Eν enerjileri eşit olmalıdır; bu nedenle matris elemanı aşağıdaki biçimde de yazılabilir (entegrasyon bölgesinde yüzey potansiyelinin sıfır olduğuna dikkat edin).
Ve Gauss teoreminin yardımıyla, kinetik enerjinin operatörü bir gradyan olurken, integral S ayırma yüzeyi üzerinde bir yüzey integraline dönüştürülür.
Matris elemanı enerji boyutuna sahiptir. Uç ve numunenin tüm durumlarını, işgal olasılıklarını, tünel açma akımını dikkate alarak entegre etmek gerekir.
Buradaf(E)=[1+exp(E−EF)/kBT]−1, Fermidistribution işlevidir, ρS (EF ), örneğin durum yoğunluğudur (DOS) ve ρT (EF ), ucun DOS'udur. Sonuç, esas olarak Tersoff ve Hamann tarafından hesaplamalarının temeli olarak kullanılan sonuçtur.
Küresel Simetrinin Uç Durumları
Sorunu daha da azaltan uç durumları χν hakkında makul bir varsayımla sonucu basitleştirmek cazip gelebilir, ideal olarak uç sisteminin teorik modele açıkça dahil edilmesi gerekmeyecek şekilde. Bunun nasıl yapılabileceği önce Tersoff ve Hamann tarafından, sonra da gösterildi. Temel adım, Green'in vakum Schrodinger denkleminin fonksiyonları olan uç durumlarını dikkate almaktır. Bu işlevler açıklanmıştır.
Burada nμ(R), STM uç tepesinin merkezindeki μ durumlarının elektron yoğunluğudur. Bu, Tersoff ve Hamann'ın biraz farklı bir yolla elde ettikleri sonuçtur.
Devrede akım hesaplama
Akım hesaplama
Ohm hesaplama makinesi
Akım Hesaplama formülü
Devre akımı hesaplama programı
Gerilim hesaplama programı
Watt akım hesaplama
Monofaze akım hesabı
Manyetik Tünel Kavşakları
Manyetik sistemlerde elektronların taşıma özellikleri sadece dalga fonksiyonlarına ve özdeğerlerine değil, aynı zamanda spin durumlarına da bağlıdır. Bir manyetik sistemdeki elektron yayılımının açık bir hesabı için, gerçek uzayda bir kristal yüzey ile bir STM ucu arasındaki bir tünel bağlantısındaki durumu ele alalım.
Bir kristaldeki manyetik anizotropi, elektron spinlerinin dönme simetrisini bozar. Bu durumda spin durumları bir kristalin manyetik eksenine yansıtılır. Aşağıda, bu simetri kırılmasının tünel bağlantımızı oluşturan iki ayrı sistemde meydana geldiğini varsayıyoruz.
Manyetik eksenlerin yönüne bağlı olarak, iki sınırlayıcı durum ayırt edilmelidir. Numunenin ve ucun manyetik ekseni paralel veya antiparaleldir. İlk durumda, numunenin spin-up durumlarından (n↑S) ucun spin-up durumlarına (n↑T) tünel yapan tüm elektronları, ikinci durumda spin-up durumlarından tünel oluşturan elektronları özetlemeliyiz.
İki vektörün rastgele bir φM açısı çevrelediği genel durumda, tünelleme akımının simetrisini farklı dönüş yönelimlerine göre analiz ederiz. Pertürbasyon yaklaşımı içinde tünelleme akımı, tünelleme matris elemanı Mμv'nin karesiyle orantılıdır.
İntegral, numune ve ucun ayırma yüzeyi boyunca uzanır; numunenin spin polarize dalga fonksiyonları ψμσ ile verilir; ucun dalga fonksiyonları χνσ ile gösterilir; toplam, döndürme durumları üzerinde uzanır. Yoğunluk fonksiyonel teorisinde (DFT), sabit bir geçiş matrisi elemanı için ve bir pertürbasyon içindeki akım tarif edilebilir.
φM, MS ve MT arasındaki açıdır. Denklem, ρS ve ρT olmak üzere iki yoğunluk matrisinin bir çarpımının izi aracılığıyla yapılan ölçümlerin açıklamasından kaynaklanır. Bu matrisler, iki alt sistemin elektron yoğunluğunu resmileştirir. İki durumdaki örnek sistemin elektronlarının yoğunluğu ↑ ve ↓ verilir.
Akım, bu iki matrisin çarpımıyla orantılıdır. Genel olarak, numunenin ve ucun yukarı ve aşağı dönüş durumları için uzaydaki yönler farklıdır. Bu nedenle, ucun yoğunluk matrisi, numune durumlarına göre φM açısı kadar döndürülmelidir. Ucun yoğunluk matrisini φM kadar, örneğin x ekseni etrafında döndürerek, Ux(φM ) döndürme operatörünü elde ederiz.
Orantı sabiti, paramanyetik tünelleme akımı I0'dır. Denklem böylece, bu akımı numunenin ve ucun spin-polarize durumları için ölçmemiz ve spin durumlarının iki yarım sistemde uzayda iki farklı yöne yansıtılması durumunda tünel açma akımını tanımlar. Numune ve ucun polarizasyonu PS(T) daha sonra tanımlanır.
Bu doğrudan takip eder. Polarizasyon, integral bir miktardır, örneğin, farklı spin durumlarındaki elektronların sayısı arasındaki farkın toplam elektron sayısına bölümü. Tünel bağlantısı boyunca |Mμν|2 geçiş olasılığını göz ardı edersek ve her iki taraftaki spin-up veya spin-down durumlarındaki elektronların sayısına odaklanırsak, paramanyetik akım I0 için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz.
1/2 faktörü, spin-up veya spin-down durumlarına tünelleme olasılığından kaynaklanır. Toplamlar, IF (ferromanyetik) ve IA (antiferromanyetik) akımlarının verildiği ferromanyetik ve antiferromanyetik yük geçişlerine ayrıştırılabilir.
Keyfi tünelleme matris elemanları Mμν için akım, Bardeen'in tünelleme akımı formülasyonu içinde sayısal olarak hesaplanabilir.
Tünelleme elektronlarının enerjisi çok düşük olduğundan ve numune ve uç dalga fonksiyonlarının üst üste binmesi yüzey atomlarının çekirdek bölgesinin çok dışında hesaplandığından, teorik işlemde spin-yörünge eşleşmesi genellikle ihmal edilebilir. Ferromanyetik ve antiferromanyetik akım IF ve IA, basitçe aynı dönüşe (IF ) veya zıt dönüşe (IA ) sahip özdurumlar için geçişlerdir.
Analiz için bir grafiğin spektrumunu kullanmak için önce onu (veya parçalarını) hesaplamalıyız. Hangi yöntemler mevcuttur? Çalışma süreleri ve diğer özellikleri nelerdir?
Küçük Yoğun Matrislerin Tüm Spektrumunu Hesaplama Yöntemleri
Bir M matrisinin spektrumunun verimli bir şekilde nasıl hesaplanacağı hiç de açık değildir, çünkü det(M − λIn) olarak karakteristik polinomun basit bir değerlendirmesi O(n!) adımlarını alır.
Daha iyi bir strateji, bir grafik matrisi olarak M’nin gerçek ve (yönsüz grafikler durumunda) simetrik olduğu ve bu nedenle bir M → P-1MP benzerlik dönüşümü aracılığıyla köşegen bir matrise dönüştürülebileceği gerçeğini kullanmaktır.
Özvektörlerle değil, yalnızca özdeğerlerle ilgileniyorsak, M matrisini, köşegenin altındaki (veya üstündeki) tüm elemanlar sıfıra eşit olacak şekilde üçgen olacak şekilde dönüştürmek yeterlidir. Bu durumda köşegen elemanlar zaten özdeğerlerdir.
Köşegenleştirme stratejisini uygulamak için iki aşamalı bir teknik vardır. İlk aşamada, P’yi (ve P-1’i), belirli bir köşegen dışı öğeyi veya tüm belirli bir satırı veya sütunu sıfırlamak için tasarlanmış belirli “atomik” Pi dönüşümlerinin bir ürünü olarak yinelemeli olarak yaklaştırıyoruz.
M1 = (mi,j) := P ̃−1MP ̃ üç köşegen forma sahip olacak şekilde (yani |i − j| > 1 olduğunda mi,j = 0) bir P ̃ matrisi ile O(n3) adımlarından sonra duruyoruz. Şimdi, bir QL- (veya QR-) ayrışımı gerçekleştirdiğimiz ikinci aşama başlıyor: temel fikir, herhangi bir gerçek M’ matrisinin, Q ortogonal olacak şekilde M’ = QL (veya QR) biçiminde ayrıştırılabileceğidir ( yani, QT = Q−1) ve L (R) alt (üst) üçgendir.
Bu faktörleri ters sırada yazarsak, simetri ve üç köşeli biçim gibi özelliklerin korunduğu M” := LQ = QT QLQ = QT M’L elde ederiz. QL algoritması, bir dizi dönüşümden oluşur.
1. M’nin farklı mutlak değerli özdeğerleri |λi| daha sonra Ms, s → ∞ olarak alt üçgen forma dönüşür. 2. M’nin bir özdeğeri |λi| özdeğerleri λi’ye yakınsayan p mertebesindeki köşegen blok matrisi dışında, p çokluğundan sonra Ms, s → ∞ olarak alt üçgen forma dönüşür.
Eğer M’nin çokluğu birden büyük olan bir özdeğeri varsa, ikinci kısmı matrisi ayrı ayrı köşegenleştirilebilen alt matrislere ayırmamıza izin verir. Üç köşegen matrisler için, O(n) adımda QL- algoritmasının bir yinelemesi gerçekleştirilebilir.
Örtük kaydırma tekniğiyle, O(n) adımlarında oldukça iyi bir yakınsama elde edilir, bu da ikinci aşama için toplam O(n2) adım sayısıyla sonuçlanır. Bu nedenle, tüm özdeğerleri ‘iyi bir kesinlik’ ile hesaplamanın genel karmaşıklığı O(n3)’tür.
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Sayısal yöntemler sahibinden SAYISAL YÖNTEMLER konuları Sayısal Analiz soru çözme programı Mühendislikte SAYISAL YÖNTEMLER Sayısal Yöntemler İŞLETME Sayısal Analiz PDF Sayısal Yöntemler Özel Ders
Büyük Seyrek Matrisler Spektrumunun Bir Kısmını Hesaplama Yöntemleri
Verilen M matrisimiz çok büyük olduğunda, önceki bölümün köşegenleştirme stratejisi için gereken hesaplama ve depolama maliyetleri engelleyici hale gelir. Bununla birlikte, birçok durumda M seyrektir ve özdeğerlerin küçük bir alt kümesini belirlemek için yeterlidir. M’nin en büyük özdeğeriyle ilgilendiğimizi varsayalım. Özdeğer denklemi Mx = λx açıkça λ = x⊤Mx’e eşdeğerdir.
Bu basit bir algoritma önerir: x⊤1 x1 = 1 ile rastgele bir x1 başlangıç vektörü seçin ve ardından λn’ye iyileştirilmiş bir yaklaşım elde etmek için en dik yükseliş yönünü takip edin. Lanczos algoritması, M’nin aşırı özdeğerlerine yaklaşmak için bu fikri kullanan, çalışma zamanı ve depolama maliyeti etkin bir algoritmadır.
Aşağıdaki gibi ilerler: belirli bir x1 başlangıç vektörü, bir uzunluğa normalize edilir. Sonra her i adımında (x1,Mx1,…,Mi−1×1) tarafından kapsanan uzay için bir ortonormal taban (x1 , x2 , . . . , xi ) oluşturulur (bu uzaya ‘Krylov uzayı’ denir). Xi, n×i matrisini x1, x2, ile göstersin. . . , xi sütun vektörleridir.
T = Xi⊤MXi matrisi üç köşegen forma sahiptir. Hesaplanması kolay olan özdeğerleri ([2]’ye bakın) — M’nin i özdeğerlerine yaklaşık değerler sağlar. Yöntem, A spektrumunun en dış kısmındaki özdeğerlere yakınsamayı destekler. İşlem, bazı sabit k için k adımda bir yeniden başlatılır. ≪ n, yeterince iyi yakınsama sağlanana kadar. Lanczos yöntemini en basit haliyle Algoritma olarak ifade ediyoruz.
Algoritmanın 2(i) adımında M’yi (M − μIn )−1 ile değiştirerek, bu şema verilen herhangi bir μ değerinin çevresindeki özdeğerlere yaklaşabilir. Genel olarak, istenen bir özdeğer kümesini hesaplamak için gereken minimum Lanczos yineleme sayısı bilinmemektedir.
Uygulamada, hızlı bir yakınsama, yeniden başlatma şeması yoluyla elde edilebilir. Lanczos algoritmasının “kalın yeniden başlatma” versiyonu ile 40.000’e kadar köşe ve 200.000 kenara kadar grafik spektrumunu hesaplayabildik. Arnoldi Metodu, (ii)–(iv) adımlarını ile değiştirmede Lanczos algoritmasından farklıdır.
Simetrik matrisler için, yöntemleri matematiksel olarak eşdeğerdir, ancak Lanczos algoritması, açıkça M’nin simetrisinden yararlanarak adım başına daha az aritmetik işlem kullanır.
Arnoldi’nin yönteminin avantajı, asimetrik matrisleri işlemek için uygulanabilmesidir. Bu durumda, H = Xi⊤MXi, özdeğerlerin verimli bir şekilde hesaplanmasına izin vererek blok üçgen formuna indirgenebilen bir üst Hessenberg matrisidir.
Alt Grafikler ve Grafik Üzerindeki İşlemler
Spektrum bize bir grafikteki alt grafikler hakkında ne söyleyebilir? Alt grafiklerin özdeğerleri spektrumda görünüyor mu? Spektruma bakarak belirli bir grafiğin bir alt grafik olmadığı (veya en azından indüklenmiş bir alt grafik olmadığı) sonucuna varabilir miyiz? Kartezyen çarpım veya toplam alınarak birleştirilen iki grafiğin spektrumuna ne olur?
Bu bölümde, bu soruları cevaplamak için bazı yönergeler göstereceğiz. Laplacian spektrumları için birçok sonuç geçerli olmasına rağmen, burada sadece komşuluk spektrumunu dikkate alıyoruz.
Uyarılmış alt grafikler kendilerini spektrumda nasıl gösterir? Açıkçası, her uyarılmış alt çizge kendi özdeğerlerini veya bazı özdeğerlerini tüm grafiğin spektrumuna eklemez. Örneğin, iki köşedeki tam K2 grafiğinin özdeğerleri -1 ve 1’dir. Ancak indüklenmiş bir alt grafik, yani bir kenar olarak K2 içeren birçok grafiğin spektrumunda -1 veya 1 yoktur.
Bununla birlikte, uyarılmış alt grafiklerin özdeğerlerinde bir tarama vardır. G = (V, E) n köşeli bir grafik olsun ve H, G’nin n – 1 köşeli indüklenmiş bir alt grafiği olsun. (Başka bir deyişle: H, G’den bir tepe noktası çıkarılarak elde edilir.)
