Landauer–Buttiker Yaklaşımı
Landauer–Bütiker yaklaşımının ana avantajı, matematiksel kesinliği ve STM uçlarının farklı sınır koşullarını içermesidir. Prensip olarak, bu nedenle tünel açma durumunun daha doğru bir tanımını vermelidir.
Ayrıca tedavi, ayrı iletkenlik kanalları arasındaki girişim etkilerini içerir. Landauer tarafından bir makalede yeniden ele alınan orijinal tek boyutlu türetme aslında oldukça basittir.
Ana varsayımlar şunlardır:
1. İki kurşun ideal metallerden oluşur, elektron durumlarının dağılımı serbest bir elektron gazının dağılımına eşittir, bu da bir boyutta, belirli bir k değerindeki elektron sayısının k ile doğrusal olduğu anlamına gelir.
2. Vakum bariyerine çarpan elektronlar ya bariyer boyunca iletilir ya da kurşuna geri yansıtılır. Elektronların geçişi, kurşunlardaki işgali değiştirir, böylece kaynağın işgal ettiği en yüksek seviye olan μ1, Fermi seviyesinden daha yüksektir. Tersine, drenajın en düşük boş seviyesi olan μ2, Fermi seviyesinden daha düşüktür.
3. Gerçek Fermi seviyeleri veya kaynağın (μA) ve tahliyenin (μB) kimyasal potansiyelleri, dolu ve boş durumların sayısıyla tanımlanır. Her iki seviye de, yukarıdaki işgal edilmiş durumların sayısının, aşağıdaki işgal edilmemiş durumların sayısına eşit olmasıyla karakterize edilir.
4. Uygulanan bias eV, iki gerçek Fermi seviyesi arasındaki potansiyel farktır.
5. Meslek sayılarındaki gerçek değişiklikler, küçük bir enerji aralığında meydana gelir; tünelleme elektronlarının enerji seviyesi bu nedenle Fermi seviyesine eşittir.
Potansiyel bariyerden geçen toplam akım, iletilen ve yansıtılan akım katkıları arasındaki fark olacaktır. Kaynaktan yayılan akım verilir.
Burada e elektron yükü, v Fermi seviyesindeki elektron hızı, n elektron sayısı ve E enerjidir. Kapalı bir sistemdeki elektron durumlarının sayısı, 2πn = k ile k ile orantılıdır; elde ettiğimiz iki dönüş yönünü hesaba katar.
Aşağıdakiler için, tüm durumlar tamamen dolu olduğu için μ2'nin altındaki durum aralığının akıma katkıda bulunmayacağını not etmek önemlidir. Tüm durumlar boş olduğu için μ1'in üzerindeki aralık da olmayacaktır. Bu nedenle, ilgili tek değişiklik bu değerler arasındaki aralıkta meydana gelir.
Enerji seviyeleri μ1 ve μ2, her kurşundaki dolu ve boş durumların sayısının Fermi seviyesine göre dengelenmesi gerektiği özelliği kullanılarak kimyasal potansiyellerden hesaplanır. Pozitif ve negatif hızlar için her kurşundaki taşıyıcıların toplam sayısı N verilmiştir.
Sol kurşun için, μA'nın üzerindeki dolu durumların sayısı, çarpan ve yansıyan elektronlardan kaynaklanır; Aşağıdaki boş durum sayısı, bu aralıktaki toplam taşıyıcı sayısı ile işgal altındaki durum sayısı arasındaki farktır.
Sağ uç içinde, Fermi seviyesinin üzerindeki işgal edilmiş durumların sayısı, kaynaktan bariyeri geçen iletimlerden kaynaklanırken, μB'nin altındaki kullanılmayan durumların sayısı, kaynağa geri iletimlerden kaynaklanmaktadır.
Sonuç kesinlikle yalnızca sıfır sıcaklıkta geçerlidir. Geçiş matrisleri çerçevesinde ve ortam termal koşulları altında bu önemli denklemin kompakt gösterimi için detaylara bakmak gerekir.
landauer-büttiker formula
landauer-büttiker formalism
landauer--büttiker formula derivation
landauer formula pdf
Saçılma ve Pertürbasyon Yöntemi
Çok kanallı geçişlerin genel bir çerçevesi içinde, Landauer-Buttiker denklemi genellikle matris gösteriminde yeniden yazılır. İki uç ve bir vakum bariyerinden oluşan basit bir arayüz için, iletkenlik daha sonra açıklanmaktadır.
Matris çarpımı üzerindeki izin bu durumda tüm iletim kanallarının toplamına eşdeğer olduğuna dikkat edin. Bununla birlikte, bir arayüz boyunca farklı yollar mevcutsa, örneğin bir yüzey üzerinde adsorbe edilmiş bir molekül boyunca tünelleme akımı varsa durum değişir. Bu durumda, matris ürünü aynı zamanda, bir elektronun arayüzün birden fazla iletim kanalı boyunca eşzamanlı geçişini tanımlayan köşegen dışı elemanlar da içerir.
Bu girişim etkilerinin gerçek tünelleme görüntüsü için ne kadar önemli olduğu sorusu hala kesin bir cevaba sahip değil. Rodyum yüzeylerde adsorbe edilmiş benzenin görüntülerinde girişimlerin önemli bir rol oynayabileceği gösterilmiştir. Ancak, bu daha geniş bir ölçekte kurulmamış gibi görünüyor. Bu etkilerin dışında biçimcilik, tünelleme simülasyonlarında pertürbasyon yöntemleriyle aynı sonuçlara yol açmaktadır.
Fonksiyon Yaklaşımı
Son birkaç yılda, denge dışı fonksiyon biçimciliği temelinde tünel açma sürecinin teorik tedavileri giderek daha popüler hale geldi. Sorunun en eksiksiz tedavisi, iki uç ve bir bariyer bölgesi içeren bir sistemin Hamiltoniyeni olarak kabul edilir. Teorinin incelikleri bir önceki yazılarımızda ele alınmıştı; burada sadece sonucu belirtiyoruz. Esnek olmayan etkileri içeren bir arayüzden geçen akım verilmiştir.
Burada öz enerjiler ΣA<(E) sonsuz uçlara bağlantıyı tanımlarken, G<(E) iletken arayüzünün Green'in dengesiz fonksiyonudur. Tünel açma işlemlerinde yer alan zaman ölçeklerini analiz edersek, normal tünel açma koşulları (I ≈ 1 nA) için tek elektron işlemleri arasında yaklaşık 10−10 s'lik bir aralık elde ederiz.
Bu aralığın kafes uyarımlarının tipik zaman ölçeğinden yüz ila bin kat daha uzun olduğu düşünüldüğünde, bariyerdeki elektronların etkileşimlerini ihmal etmek çok daha güvenli görünüyor. Bu durumda esasen azalır.
f'nin Fermi dağılım fonksiyonlarını, GR(E) ve GA(E) bariyerin geciktirilmiş ve gelişmiş fonksiyonlarını ve ΓS(T) yüzey ve uç temaslarını ifade ettiği yerde. Bu biçimcilik, özellikle moleküler elektronikteki uygulamalar veya arayüzler aracılığıyla taşıma özelliklerinin analizi için de giderek daha popüler hale geldi.
Biçimciliğe dahil olan çok çeşitli etkileşimler nedeniyle, Keldysh'in yöntemi bugün en doğru olanıdır. Ana sorunu, ya katı hal sistemlerinin tanımındaki yaklaşımlarla ya da etkileşim aralığındaki atom sayısını sınırlayarak telafi edilmesi gereken bir hesaplama maliyetidir.
Bu nedenle genellikle sıkı bağlama modellerinde uygulanmıştır. Bu sınırlama ve ardından gelen sayısal kesinlik eksikliği, genel kullanımına karşı ana itirazlardı. Bununla birlikte, son zamanlarda yöntemin bir düzlem dalga temel kümesi içinde de uygulanabileceği gösterilmiştir. Son teknoloji ürünü DFT yöntemleri, doğru bir tanımlama için düzlem dalgalara dayandığından, bu, pertürbasyon yöntemlerinin saçılma yöntemleriyle değiştirilmesi lehine de oldukça güçlü bir argümandır.
A, köşegen girişler olarak özdeğerlerle köşegenleştirilebilir olduğundan, A’nın sıralaması sıfır olmayan özdeğerlerin sayısına eşittir. Kn1,n2 için sıra 2’dir, bu nedenle A’nın iki sıfır olmayan özdeğeri λi ve λj vardır.
A’nın izinin G’deki hem özdeğerlerin toplamı hem de döngü sayısı olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla, λi + λj = 0 ve Gisλ1 =−c,λ2 =···=λn−1 =0,λn =c için spektrumunun olduğu sonucuna varıyoruz. bazı c ∈ >0. Karakteristik polinom det(A−λIn) = (−c− λ)λn−2(c − λ) = λn − c2λn−2’ye bakalım.
λ yalnızca A − λIn köşegeninde göründüğünden, λn−2’ye katkıda bulunan permütasyon açılımındaki terimler, n − 2 köşegen eleman ve 2 köşegen olmayan eleman, ai,j = aj,i = 1’i seçen permütasyonlardan kaynaklanır. i ve j’yi seçmek permütasyonu tamamen belirler, yani λn−2’ye katkıda bulunan, her biri negatif olan tam olarak n1 · n2 permütasyon vardır.
Kn için komşuluk matrisi J − In’dir, burada J tüm birlerin matrisidir. M matrisinin köşegeninden c’yi çıkarmak, özdeğerlerini −c kaydırır, çünkü Mx = λx, (M −cIn)x = (λ−c)x’e eşdeğerdir. n üzerinde tümevarımla, J’nin spektrumunun, n ve n – 1 özdeğerin sıfıra eşit olduğu tek bir özdeğerden oluştuğu gösterilebilir. Böylece Kn’nin spektrumu λ1 = · · · = λn−1 = −1, λn=n−1’dir.
İlk iddia, k üzerinde tümevarımla gösterilebilir. İkinci iddia için, özdeğeri λ’ya karşılık gelen her x özvektörü için, Akx = Ak−1(Ax) = λAk−1x = ··· = λkx olduğuna dikkat edin.
İddianın bir yönü ispatta veya diğer yönde gösterilmiştir, λi = −λj’nin her tek k için λki = −λkj anlamına geldiğine dikkat edin.
trace(Ak) = ki=1 λki = 0, G’deki k uzunluğundaki döngülerin sayısını saydığından, özellikle tek basit döngülerin olmadığı sonucuna varırız, bu da G’nin iki parçalı olduğu anlamına gelir.
Bir grafiğin belirli yapısal özelliklerini (örneğin, kenar sayısı, üçgen sayısı, iki parçalı olup olmadığı) spektrumundan elde etmenin mümkün olduğunu gördük. Ancak spektrum, grafiğin tüm yapısını yansıtmaz.
Her ikisi deλ1 =−2, λ2 =λ3 =λ4 =0 veλ5 =2 özdeğerlerine sahiptir, ancak izomorfik değildirler. Bu tür grafiklere kospektral denir. Açıkçası, bir grafiğin bağlı olup olmadığını spektrumdan bile belirleyemeyiz. Yine de bu, başka bir grafik matris olan Laplace’ın özdeğerlerine bakılarak elde edilebilir.
Laplace Spektrumu
G = (V, E) bitişik matris A ile yönsüz bir çoklu grafik (muhtemelen döngülerle) olsun. D =diag(d(1), … , d(n)) köşe derecelerinin köşegen matrisi olsun. Laplace matrisi L = (li,j) L := D−A olarak tanımlanır.
Yönsüz bir basit grafiğin Laplace’ını tanımlamanın başka bir yolu da şudur. G’nin gelişigüzel bir yönelimini düşünün, yani i’nin mi yoksa j’nin mi başı olarak görüleceğini belirterek e = {i,j} her kenarına bir yön atayan bir eşleme. Yönlendirilmiş grafiğin (G,σ) insidans matrisi B = (bi,e), sırasıyla G’nin köşeleri ve kenarları tarafından indekslenen satırları ve sütunları olan bir {0, 1, −1} matrisidir.
σ seçiminden bağımsız olarak L = BB⊤ olduğu gösterilebilir. Sonuç olarak, aşağıdaki sonucu elde ederiz.
A gerçek ve simetrik olduğundan, L = D − A da simetriktir ve dolayısıyla Laplace spektrumu n gerçek özdeğerden oluşur λ1(L) ≤ ··· ≤ λn(L). Yine, bir x ∈ n özvektörünü ω : V → , i & → xi ağırlıklarının bir ataması olarak yorumlayabiliriz. Bu bakış açısından, sıfır olmayan (ve tamamen negatif olmayan) bir ağırlık fonksiyonu ω : V → 0 varsa, λ L’nin bir özdeğeridir.
O zaman, Z := {z(C); G}’nin C bileşeni lineer bağımsızdır ve Lz(C) = BB⊤z(C) = 0n’dir. Bu nedenle, bağlı bileşen, özdeğeri 0 olan doğrusal olarak bağımsız bir özvektörler kümesine enjekte edilebilir şekilde eşlenebilir.
Spektrum Nedir Otizm spektrum Nedir Spektrum hastalığı Nedir Spektrum Çeşitleri Geniş spektrum nedir Deprem spektrum Nedir Sürekli spektrum nedir Bohr atom modeli spektrum
Öte yandan, eğer z∈ n, Lz=BB⊤z=0n şeklinde bir vektörse, o zaman z⊤BB⊤z=0, B⊤z = 0n anlamına gelir, yani z, bağlı her bileşende sabit olmalıdır. Bu nedenle, z, Z’den gelen elemanların doğrusal bir kombinasyonudur ve sonuç olarak, tam olarak 0 özdeğerine karşılık gelen doğrusal olarak bağımsız özvektörler kadar çok bileşene sahibiz.Laplace, bir grafiğin yayılan ağaçlarının sayısını saymak için kullanışlıdır.
Bir G grafiğinin Laplace matrisi L, yayılan ağaçlarla şu şekilde ilişkilidir.
1. Her i ∈ {1,…,n} için G’deki yayılan ağaçların sayısı |det(Li)|’ye eşittir, burada Li, i satırı ve i sütunu silinerek Laplace L’den elde edilir. 2. Ayrıca yayılan ağaçların sayısı elde edilir.
Laplacian spektrumu, komşuluk spektrumuna göre bir grafiğin bağlı bileşenlerinin sayısını gösterme avantajına sahipken, L’ye göre kospektral olan grafiklerden de görülebileceği gibi, ikili yapıları tanımlamada başarısız olur.
Normalleştirilmiş Laplace
Spektrumu hem ikili yapıyı hem de bağlı bileşenleri tanımamızı sağlayan bir matris, L’yi soldan ve sağdan köşegen matrisi D−1/2 ile çarparak elde edilebilir, burada köşegendeki i’inci giriş d(i)−1’dir. /2 eğer d(i) > 0 ise ve aksi halde 0 olmalıdır.
Bu matrise normalleştirilmiş Laplace L = D−1/2LD−1/2 denir. Basit grafikler için, L = ( ̄li,j) karşılar. Yine, L gerçek değerli girişlerle simetriktir ve n özdeğerlerini λ1(L) ≤ · · · ≤ λn(L) sıralamasında sıralayabiliriz.
Spektrumun Karşılaştırılması
G, her köşenin tam olarak d komşuya sahip olduğu bir grafikse, o zaman L = dIn – A ve L = I – D−1/2AD−1/2. Bu, d-düzenli grafikler için üç spektrumun eşdeğer olduğu anlamına gelir.
Genel olarak, üç spektrum arasında basit bir ilişki yoktur. Bununla birlikte, bitişik matrisin özdeğerlerini Laplace özdeğerleri ve maksimum ve minimum köşe dereceleri cinsinden sınırlayabiliriz.
G komşuluk matrisi A ve Laplace matrisi L olan bir grafik olsun. Eğer ∆ ve δ sırasıyla G’nin maksimum ve minimum köşe dereceleri ise, o zaman A’nın k. en küçük özdeğeri λk(A) ve k. en büyük özdeğer λn L’nin +1−k(L)’si ilişkilidir.
Bu iddiayı Courant-Fischer’in özdeğer karakterizasyonu yardımıyla göstereceğiz. Bu, lineer cebirden iyi bilinen bir teoremdir, ancak tamlık için bir kanıt ekledik.
