Gelişmiş Fonksiyonlar
Uçların öz-enerji terimlerini içeren arayüzün Hamiltoniyeni oluşturulduktan sonra, arayüzün geciktirilmiş ve gelişmiş fonksiyonlarını matris ters çevirme ile hesaplayabiliriz.
Bu durumda, sonsuz küçük karmaşık sabit η'nin sayısal olarak uygun değerini belirlemek için acil bir çözüm yoktur; bu parametrenin, metal uçların konumlarında şarj sürekliliği koşulu kullanılarak bir kendi kendine tutarlılık döngüsünün sonunda güncellenmesi gerekir.
Arayüzdeki ω frekanslı bir fonon modu için elektron-fonon eşleşmesi dahil edildiğinde, arayüzün kendi enerjisi aşağıdaki denklemin çözümüdür.
Σ>(E) için özdeş bir denklem vardır; bu durumda f(μ0, E), 1−f(μ0,E) ile değiştirilmelidir. Bu denklem yinelemeli olarak çözülmelidir, çünkü aynı terim, öz-enerji, sol ve sağ taraflarda görünür. Yinelemeli bir çözüm için olağan prosedür, verilen sıfır yaklaşımıyla başlamaktır.
İterasyonun tekrarlanması ve elde edilen sonucun yakınsaması kontrol edildiğinde, arayüzün gerçek öz enerjisi, yeterli sayıda iterasyondan sonra bulunacaktır.
Dengesiz Arayüzünün İşlevleri
Sistemin kendi enerjileri ve Green fonksiyonları bilindikten sonra, denge dışı fonksiyonlar matris çarpımı ile elde edilebilir.
G)(E) arayüzünün fonksiyonlarının hesaplanması, arayüz içindeki toplam yükün ve uçlardaki yerel yükün hesaplanmasına izin verir. Sistemin yük yoğunluğunun bir bölümünün enerji entegrasyonu iki bileşene ayrılmalıdır: ilk bileşen yalnızca geciktirilmiş ve gelişmiş Green fonksiyonlarına dayanır GR(E) ve GA(E), n1 değerini verecektir.
Burada E1, (μ0 − eV /2, μ0 + eV /2)'nin minimum değeridir. Ara aralıkta sistem içindeki yük, dengesizlik fonksiyonundan belirlenmelidir. GR gerçek eksenin altında analitik olmadığı ve GA yukarıda analitik olmadığı için, G< için enerji üzerinden entegrasyon gerçek eksen boyunca gerçekleştirilmelidir.
Burada E2, (μ0 − eV /2, μ0 + eV /2)'nin maksimum değeridir. Arayüzdeki toplam yük artık sabit olarak ayarlanabilir, böylece n1 + n2 = Nint olur. Arayüzdeki elektronların sayısı bilindiği için, entegrasyonda elde edilen sonuçtan η'nin sayısal değerini tahmin edebiliriz.
Ek olarak, elektrotlardaki orbitaller üzerindeki izdüşüm erişilebilir olduğundan, yük yoğunluğu yerel olarak hesaplanabilir. Bu, hesaplamada elde edilen tutarlılık düzeyinin tahmin edilmesini sağlar. Sistem tamamen yakınsanmışsa, uçlardaki yük yoğunluğunun ayrı hesaplamadan elde edilen yük yoğunluğuyla eşleşmesi gerekir. İki yük yoğunluğunun yeterli derecede eşleşmemesi durumunda, tüm döngü tekrarlanır.
Dengesiz Taşıma Özelliklerinin Hesaplanması
Hesaplama yeterince yakınsadığında, herhangi bir fiziksel özelliği, dengesiz Green fonksiyonlarının yardımıyla hesaplayabiliriz. Bununla birlikte, genellikle yalnızca gerçek taşıma miktarlarıyla ilgilenilmektedir. Uçlardan geçen akım verilir.
Bir süper hücre geometrisindeki sistem, A, B uçlarındaki denge koşullarına dayandığından, tüm sistem boyunca akımı hesaplayamayız, çünkü akım kaybolacaktır. Bu, μA = μB = μ0 koşulu altında belirtilen Landauer-Buttiker denkleminden doğrudan görülebilir.
Bununla birlikte, uygulanan Hartree potansiyeli nedeniyle kurşun arayüzlerinin her ikisi de denge dışıdır. Bu nedenle, dengesizlik formülasyonunu kullanarak akımı doğrudan kurşun arayüzlerinden hesaplamak gerekir.
Kendi kendine tutarlılık döngüsünün, A, B uçlarının kendilerinin dengede olmasını sağladığı göz önüne alındığında, arayüz yoluyla yük aktarımının tek kaynağı kurşun arayüzlerinde bulunmalıdır. Öncü arayüzler yalnızca birkaç (tipik olarak yaklaşık üç) katmandan oluştuğu için izin değerlendirilmesi kolaydır. Üç katmanlı bir arayüz için olacaktır.
Elektriksel iletkenlik
Direnç özdirenç formülü
Yarı iletkenlerin özellikleri
İletkenlik formülü
Özdirenç iletkenlik ilişkisi
İletkenlik Nedir
iletkenlik birimi ms/cm
Özdirenç nedir
Şu anda, arayüzlerin denge dışı taşıma özelliklerinin hesaplamalarının, birkaç istisna dışında, atomik yörünge benzeri temel kümeler ve atomik çekirdekler için psödopotansiyel yaklaşımlarla yapıldığına dikkat edilmelidir.
Bu yöntemlerin, örneğin çok katmanlı manyetik taşıma özelliklerinin hesaplanmasında o kadar da güvenilir olmadığı göz önüne alındığında, bu bölümde çizilen yaklaşımın daha fazlası için bir plan sağlayabileceği görülüyor.
Bu bölümde, tünel açma problemlerine yapılan uygulamalar açısından elektron taşıma teorisinin mevcut durumuna bir giriş yaptık. Açık sistemlerin işlevlerine dayanan teorik çerçevenin, dengesiz ortamlara pertürbatif uzantısı yoluyla, atomik ölçekte ilgili tüm fiziksel süreçleri, esasen ilk prensiplerden itibaren ele almak için uyarlanabilir olduğu gösterildi.
Mevcut uygulamalar, sıkı bağlayıcı şemalara veya yerel yörünge geometrisine dayanmaktadır; bu sınırlar dahilinde teori, elektron elektron veya elektron-fonon etkileşimlerinden kaynaklanan sonlu önyargı potansiyelleri ve esnek olmayan etkilerle başa çıkabilir. Çerçevenin, düzlem-dalga ve tam potansiyel yöntemlerini de kapsayacak şekilde genişletildiğinde, yüksek doğruluğun belirleyici olduğu her durumda, atomik ölçekte taşınım simülasyonlarının belkemiğini sağlayacağı öngörülebilir.
Düşük İletkenlikler
Pratik amaçlar için, son bölümde tanıtılan çerçeve, özellikle deneysel ortamın kendisi, taramalı sonda aletlerinde olduğu gibi, belirli süreçlerin olasılığını sınırlıyorsa, genellikle çok geniş bir referans çerçevesidir.
Orada, elektronların taşınmasındaki ana sınırlama, yüzey ile prob ucu arasındaki vakum bariyeridir. Bu durumda, elektron etkileşimlerinden dolayı tünelleme bariyeri boyunca iletkenlikteki değişiklikler küçük olarak kabul edilebilir ve pertürbasyon modellerinde rahatlıkla işlenebilir.
Daha sonra ana görev, iki elektrotun fiziksel özelliklerine dayalı olarak elektronların bariyer boyunca taşınmasını tanımlamaya ve yüksek çözünürlüklü taramalarda kimyasal bağlanmanın başlangıcı veya geçiş sırasında elektron-fonon uyarımları gibi ek etkileri dahil etmeye indirgenir.
Bu etkiler, sistemlerin manyetik özelliklerinden dolayı tünelleme akımındaki değişimlerle birlikte, deneylerdeki gözlemlerin büyük bir kısmını oluşturur. Şu anda, taramalı tünel açma deneylerinin neredeyse tüm simülasyonlarında dört teorik model kullanılmaktadır.
Artan teorik zorluk sırasına göre, bu modeller aşağıdaki gibidir:
• Sabit akım konturlarının yalnızca yüzeyin elektronik yapısından modellendiği Tersoff–Hamann yaklaşımı. Yaklaşım pertürbasyon teorisine ve ucun elektron durumları hakkında belirleyici bir varsayıma dayanmaktadır.
• Uç elektronik yapısının açıkça hesaplamaya dahil edildiği transfer Hamiltoniyeni veya yaklaşımı. Bu orijinal pertürbasyon modelidir; her elektron için iki kurşun arasındaki geçişinde yalnızca çok az yolun bulunduğunu varsayar.
• Saçılma veya Landauer–Bütiker yaklaşımı, elektronları ilk kristal durumlarından son kristal durumlarına tünellemenin çoklu yollarını içerir. Bunun dışında önceki yönteme eşdeğerdir.
• Elektron elektron ve elektron fonon saçılması gibi esnek olmayan etkileri de içeren veya dengesiz fonksiyon yaklaşımı.
Belirli derece dizilerine sahip grafiklerin özel bir varyantı, her tepe noktasının tam olarak d derecesine sahip olduğu d-düzenli grafiklerdir. Eşlenebilir bir d-düzenli grafiği oluşturabilen bilinen birkaç algoritma vardır. Keyfi derece dizileri için de geçerli olan bir algoritma verdi.
Belirli bir d ∈ O(n 1 ) için beklenen çalışma süresi O(n2d4) şeklindedir ve ayrıca uygulanması çok zordur. Bu algoritmanın yalnızca d-düzenli grafikler için bir modifikasyonu, O(nd3) çalışma süresini iyileştirir, ancak dezavantajları ortadan kaldırmaz.
Grafikleri rasgele bir şekilde oluşturmayan daha basit bir algoritma verdi ve dahası, ortaya çıkan olasılık dağılımı neredeyse hiç bilinmeyebilir. Tüm grafiklerin yalnızca (1 + ε) faktörü ile değişen bir olasılığa sahip olduğu, ancak d-düzenli grafiğin polinom zamanında (n ve ε cinsinden) oluşturulabildiği ve algoritmanın tüm olası dereceler için çalıştığı bir yaklaşım algoritması tanıtıldı.
Çok basit bir model, aşağıda tanıtılan eşleştirme modelidir. Çalışma süresi üsteldir (O(nd exp ( d2 −1 ))) ve grafik yalnızca olabilir.
Eşleştirme Modeli
Bir d-düzenli grafiği oluşturmak için basit bir model, sözde eşleştirme modelidir. Orada, nd noktalar n gruba bölünmüştür açıkça her grup tam olarak d noktayı içermelidir. İlk adımda, tüm noktaların rastgele bir eşleşmesi seçilmelidir. Bu eşleştirmeden şimdi bir G grafiği oluşturuyoruz.
n grubun grafiğin n köşesi ile ilişkilendirilmesine izin verin. Grafikte i ve j köşeleri arasında bir kenar (i,j) vardır, ancak ve ancak eşlemede i’inci ve j’inci gruptaki noktaları içeren bir çift varsa. Bu şekilde oluşturulan grafik, yinelenen kenarlar yoksa, d-düzenli bir grafiktir. Ayrıca, grafiğin bağlantılı olup olmadığını sonradan kontrol etmeliyiz.
Ağ Evriminin Diğer Modelleri
Bu bölümde gelişen ağlar için bazı başka modeller sunmak istiyoruz. Çok çeşitli olduğu için, önemli ölçüde yeni fikirler veya kavramlar içeren bu ağ modellerinden yalnızca bazılarını dikkate almak istiyoruz.
Normal dağılım özellikleri Normal dağılım istatistik Normal dağılım formülü Normal dağılım örnekleri istatistik : normal dağılım örnekleri Sağa çarpık dağılım Normal dağılım parametreleri nelerdir Normal dağılım için çarpıklık ve basıklık değerleri
Oyun Evrim Teorisi
(Sabit) bir ağdaki oyunlar için literatür oldukça fazladır. Ancak oyun teorik mekanizmaları bir ağ oluşturmak için de kullanılabilir ve bu bizim ilgi alanımıza girer. Aşağıdaki örnek, ekonomik işbirliğini modellemek için tasarlanmıştır.
Tepe noktaları, bir maliyet gelir fonksiyonunun değerini bencilce en üst düzeye çıkarmaya çalışan, birbirleri arasında bir kenar oluşturan veya yok eden aracılara karşılık gelir.
Bir aracının amaç fonksiyonu, kendisine doğrudan veya dolaylı olarak bağlı olan diğer bir aracıdan elde edilen gelirleri eksi başına gelen her kenar için oluşan maliyetleri toplar: c, bir olay kenarı için sabit maliyetler ve δ ∈ (0, 1) olsun.
Bir v tepe noktasının maliyet geliri uv(G) = ( δd(v,w))−deg(v)c , burada G w∈V (G) mevcut ağ ve d(v, w) G’de v’den w’ye kenar-minimum yol mesafesi. v’nin bileşenine toplayın.
Olay haline gelen etmenlerden en az birinin amaç fonksiyonunu arttırdığında ve diğerinin amaç fonksiyonunu azaltmadığında bir kenar inşa edilir. Bir kenarı silmek için, bir olay aracısının silme işleminden faydalanması yeterlidir.
Aslında incelenen model biraz daha karmaşıktır. Aracılar, yeni bir ucun oluşturulmasına katılırken olay kenarlarının herhangi bir alt kümesini aynı anda silebilir ve her iki eylemden sonra maliyet gelir işlevini değerlendirebilir.
Bu yarı-pareto istikrar kavramı, istikrarlı bir ağın bir anlamda ‘iyi’ olduğunu, yani en azından toplamda faydanın maksimum olduğunu garanti etmez.
Bu yaklaşımın çalışması sayesinde evrime doğru bir itme elde edildi. c ve δ parametreleri göz önüne alındığında, soru şu: hangi ağlar ortaya çıkacak? Bu, etmenlerin sınır setinin (ve ilk ağın) olay kısmını değiştirebilecekleri sıra verilene kadar belirsizliğini koruyor. Şimdiye kadar yalnızca boş bir ağ için durum, ilk yapılandırma incelendi.
Etmenlerin kararlarını verebilecekleri sıra, aşağıdaki rasgele şekilde verilir: Ayrıklaştırılmış bir zaman modelinin her t adımında, tüm etmenlerin tam grafiğinin bir kenarı e (e mevcut ağın bir parçası olsun ya da olmasın). değil) rasgele düzgün olarak seçilir. Ardından, iki olay aracısı, güncellenmiş ağ için kenar e’yi tutmaya veya bırakmaya veya sırasıyla oluşturmaya veya dışarıda bırakmaya karar verebilir.
Bu, mevcut bir e kenarı için, ancak ve ancak uç köşelerinden biri silme işleminden yararlanırsa silindiği ve mevcut olmayan bir e kenarı için, ancak ve ancak potansiyel olay köşelerinden en az biri fayda sağlayacaksa eklendiği anlamına gelir. ve diğeri en azından daha kötü durumda olmayacaktır.
Bu modelde, birinin oluşturulmasını ve diğer birkaç kenarın olası silinmesini içeren daha karmaşık eylemlere izin verilmediğini unutmayın.
Tüm kararlar, t zamanı kararından hemen sonra yalnızca ağın maliyet geliri dikkate alınarak bencilce alınır. Özellikle hiçbir tepe noktasının herhangi bir uzun süreli stratejisi yoktur. Kararlı bir ağa ulaşıldığında süreç sonlandırılır.
İlk sonuç, herhangi bir yeni avantajın ödediği kadar açıktır. İkincisi sadece istikrarı yeniden formüle eder. Üçüncü kısım için, iki ayrık köşe çifti kenarlarını oluşturur oluşturmaz bir yıldızın artık ortaya çıkamayacağına dikkat edin.
Model ve sonuçlar, dikkate değer olmakla birlikte, daha fazla ayrıntılandırma, genelleme ve varyasyon için hala çok yer bırakmaktadır. Örneğin, bir yıldızın sıfıra eğilimli pozitif olasılığı varsa, bu, bazı köşelerin yüksek dereceye sahip olacağı, ancak çoğu köşenin çok düşük derece göstereceği ağların beklenebileceği anlamına gelebilir. Bu, bir güç yasasının çok tartışılan yapısının ilk göstergesidir.
Geometrik model için i tepe noktası ile j tepe noktası arasındaki Öklid mesafesini d(i, j) ile göstermek istiyoruz. Bu modelin fikri yinelemeli olarak bir ağaç oluşturmaktır. Birinci adımda bir dizi p0, p1, . . . , köşelerin pn’si birim kare veya birim küre içinde dağıtılır. Bir sonraki adımda kenarları art arda ekliyoruz.
