Sağlamlık ve Dayanıklılık
Sezgisel olarak, karmaşık bir ağ, bazı bileşenlerinin arızalanması durumunda bile temel işlevselliğini koruyorsa sağlamdır. Ağlarda sağlamlık çalışması önemlidir, çünkü belirli ağ sınıflarının başarısızlıklar ve saldırılar altındaki davranışlarının tam olarak anlaşılması, örneğin İnternet gibi iletişim ağlarını saldırılara karşı korumaya veya uyuşturucudaki metabolik ağların zayıflıklarından yararlanmaya yardımcı olabilir.
Genellikle rastgele başarısızlık ile kasıtlı saldırılar arasında ayrım yaparız. Gerçek dünyadaki karmaşık ağlardaki rastgele ve kasıtlı bileşen arızalarına örnek olarak, örneğin bir hücredeki mutasyonlar, metabolik ağlardaki farmasötik veya çevresel stres, İnternet'teki yönlendirici arızaları veya havayolu veya otoyol ağlarına kasıtlı saldırılar verilebilir. İnternet gibi bazı ağların, yönlendiricilerin rastgele düşmesine karşı çok dayanıklı olduğunu ancak iyi seçilmiş merkezi yönlendiricilere yönelik hedefli saldırılardan büyük ölçüde zarar görebileceğini göreceğiz.
Bu bölüm, bir ağın sağlamlığı veya tekrarlanan bileşen arızalarına karşı dayanıklılığı ile ilgili olan ağ istatistiklerine ayrılmıştır. Çeşitli istatistiklere genel bir bakış sunacağız ve kullanışlılık ve hesaplama karmaşıklığı açısından pratikte uygulanabilirliğini tartışacağız.
Sağlamlık üzerine yapılan araştırmalar genellikle, bir ağın bir dizi bileşen arızası geçirmesi durumunda etkileri analiz ederek veya ölçerek bu istatistiklerin nasıl değiştiğine odaklanır. Mümkün olan her yerde, farklı istatistikleri ilişkilendirmeye ve avantajlarını ve dezavantajlarını tartışmaya çalışıyoruz. Çoğu durumda, tanımları göstermek için örnekler kullanırız.
Bu bölümü şu şekilde düzenlemeyi seçtik: En kötü durum, ortalama ve olasılık istatistikleri arasında ayrım yapıyoruz. En kötü durum bağlantı ve mesafe önlemlerini kapsar.
Ortalama sağlamlık istatistikleri, sağlamlık özellikleri hakkında daha genel bir bakış açısı sağlarken, olasılık istatistikleri başarısızlık olasılıklarını üstü kapalı olarak dikkate alır. Kabaca söylemek gerekirse, istatistikler bu bölümün sonuna doğru yerleştirildikçe daha anlamlı hale gelirken, hesaplanması da daha zordur.
Durum Bağlantı İstatistikleri
Bu bölüm, “Ortaya çıkan ağın bağlantısının kesilmesi ve P özelliğine sahip olması için ağdan silinmesi gereken minimum kenar veya köşe sayısı nedir?” şeklindeki soruları yanıtlayan istatistiklerle ilgilidir.
Bunlar en kötü durum istatistikleridir, çünkü aynı boyuttaki rastgele bir köşe veya kenar kümesinin silinmesi aynı etkiye neden olmayabilir. Dolayısıyla dolaylı olarak, köşe veya kenar hatalarının rastgele olmadığını, maksimum etki için hedeflendiğini varsayıyoruz.
istatistik temel kavramlar - pdf
türkiye istatistik kurumu (tüik nedir ve görevleri nelerdir)
Xi nedir istatistik
İstatistiğin konusu nedir
TÜİK isim sorgulama
Sonuçsal istatistik
Tarihsel betimsel istatistik nedir
Tümevarım istatistik nedir
Klasik Bağlantı
Klasik bağlanabilirlik, birçok sağlamlık istatistiğinin temelidir. Ağdaki her köşe çifti arasında bir yol varsa, bir ağ bağlantılı olarak adlandırılır. Birçok uygulamada bağlantılılık, bir ağın amacını gerçekleştirmesi için gerekli bir koşuldur. Bu nedenle, bir ağın sağlamlığının bir ölçüsü, ağı bağlantısız hale getirmek için kaldırılması gereken köşelerin veya kenarların sayısıdır. Bunlar, sırasıyla ağın tepe bağlantısı ve uç bağlantısı olarak adlandırılır.
Burada bağlantıya yalnızca bir ağın sağlamlığının bir ölçüsü olarak bakıyoruz. Bir ağ, artık bağlı olmadığı anda işlevselliğini tamamen kaybederse, bağlantı gerçekten sağlamlığı için iyi bir ölçüdür.
Ancak, bir ağın yararlılığının ağdan küçük bir dizi köşe bağlantısının kesilmesinden ciddi şekilde etkilenmediği durumla ilgileniyorsak, bağlantı anlamlı bir ölçü değildir. İnterneti örnek olarak ele alalım. Bir masaüstü bilgisayar, ağa yalnızca bir sağlayıcıya veya sunucuya tek bir bağlantı aracılığıyla bağlanır.
Bu bağlantıyı kesmek, ağın bağlantısını keser, ancak tüm İnternet'in işlevselliği üzerinde yalnızca ihmal edilebilir bir etkiye sahiptir. Yine de ağın kenar bağlantısı yalnızca bir tanesidir. Benzer şekilde, küçük bir yönlendiricinin arızalanması, yalnızca bir avuç istemcinin ağ bağlantısını kesecektir, ancak İnternet'in bir tepe bağlantısına sahip olduğunu kanıtlar.
Uyumluluk kavramı tanıtıldı ve ağın her köşesi için bağlantıya ne ölçüde katkıda bulunduğunu tanımlar. -2'lik bir tutarlılığa sahiptir, çünkü ağın köşe bağlantısı 1 varsa, köşe 7 varsa ve köşe bağlantısı 3'ü silersek. Öte yandan, 6. köşe bağdaşıklık 1'e sahiptir çünkü onu ağdan çıkarırsak köşe bağlantısı 3'ten 2'ye düşer.
Tanımdan, bir tepe noktasının uyumluluğunun 1'den büyük olamayacağı sonucu çıkar. Sezgisel olarak, negatif uyumluluğa sahip bir tepe noktası, ağın bir aykırı değeri iken, uyumluluğu 1 olan bir tepe merkezidir. Bir ağın negatif uyumluluğa sahip en fazla bir tepe noktasına sahip olabileceği ve bu negatif tepenin komşuluğunun, çıkarılması ağın bağlantısını kesen κ(G) boyutunda tek köşeler kümesini içerdiği gösterilebilir.
Örnek olarak, (a)'da gösterilen ağı ele alalım; burada 7. köşe, negatif uyumluluğa sahip tek tepe noktasıdır. 7. köşenin tek komşusu 1. köşedir ve bu, silinmesi ağı bölen tek köşedir.
Bir ağın en fazla bir negatif tepe noktası olabilmesine rağmen, negatif tepe noktasını kaldırarak ve ardından bir sonraki negatif tepe noktasını arayarak bir dizi gevşek bağlı köşeyi hesaplayabiliriz.
Bu algoritma, bir ağdaki gevşek bağlı köşeleri bulmak için kullanılabilir çünkü negatif bir tepe noktası grafiğin çevresindedir. Bu yaklaşımın bir dezavantajı, bu algoritmanın büyük ağlar için bile birkaç köşeden sonra durabilmesidir, çünkü negatif tutarlılığa sahip başka köşe yoktur.
Bir tepe noktasının tutarlılığı, standart bağlantı algoritmaları kullanılarak hesaplanabilir. Her tepe noktasının uyumluluğunu hesaplamak için, bağlantı algoritmasının n kez çağrılması gerekir; burada n, ağdaki köşe sayısıdır.
Minimum Derece
Şimdiye kadar bahsettiğimiz istatistikler, bir ağın bağlanabilirliği hakkında açıklamalar yapıyor. m-derecesi [65]'te Boesch ve Thomas tarafından tanıtıldı. Bağlantı kesildikten sonra ağın durumu ile ilgilidir.
Bir ağın minimum m-derecesi ξ(m), ağın bağlantısını G1'in tam olarak m köşe noktası içerdiği iki bağlı bileşen G1 ve G2'ye ayırmak için kaldırılması gereken en küçük kenar sayısıdır.
Minimum m-derecesini hesaplamak için, m boyutundaki tüm köşe kümelerini denemekten ve küme ile tamamlayıcısı tarafından indüklenen grafiklerin bağlantılı olup olmadığını kontrol etmekten asimptotik olarak daha hızlı bilinen bir algoritma yoktur. Bu durumda, kümedeki köşeleri dışarıdaki köşelerle birleştiren kenarların sayısını sayarız.
Bu istatistiğin ana sorunu, grafiğin bölünmesinin iki bağlantılı bileşenle sonuçlanması gerektiğidir, bu nedenle sezgisel bir sağlamlık kavramını ifade etmez. 3 derece 3 bulunurken, iki kalın kenarın silinmesi, üç köşeli bir bileşeni ağdan ayırmak için yeterlidir.
Bir derece dizisi verildiğinde, oluşturma işlevleri bazı daha derin grafik özelliklerinin türetilmesine izin verir. Şimdi belirli bir derece dizisinin grafiğini oluşturmak istiyoruz. En iyi ihtimalle, oluşturma algoritması, önerilen bir derece dizisi d1, d2, olan tüm grafikler üzerinde tekdüze olasılıkla böyle bir grafik oluşturacaktır.
Basit olması için d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dn’nin v1,v2,…,vn köşelerinin dereceleri olduğunu varsayıyoruz.
Gerekli ve Yeterli Koşullar
Belirli bir derece dizisine sahip bir grafik oluşturmak için, öncelikle bu dizinin gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini doğrulamalıyız. İkinci olarak, sadece bağlantılı grafiklerle ilgileniyoruz. Bu nedenle, derece dizisinin bağlı bir grafik tarafından gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini de bilmek istiyoruz.İlk özellikten başlayarak aşağıdakileri gözlemleyebiliriz.
Bir derece dizisi d = (d1, d2, … {v1, v2, . . . , vl} en yüksek köşe derecelerinden, bu köşelerin dereceleri bu köşeler içinde ve dış derecelerle emilebilir. Bu, tüm derecelere bağlanmak için köşe kümesi içinde ve dışarıda yeterli kenar olduğu anlamına gelir. Daha resmi olarak aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.
Bu eşitsizlik sezgisel olarak açıktır ve bu nedenle teoremin bir yönünün kanıtlanması önemsizdir. En yüksek mertebeden ilk l derecedeki tüm dereceler, her şeyden önce bu köşe dizisindeki (l – 1) diğer köşelere bağlanmalıdır. Geri kalan açık dereceler, en az seçilen kümenin dışındaki açık dereceler kadar olmalıdır.
Kaç tane olabilir? Her köşe için minimum l (seçilen kümedeki l köşeleri için daha fazlasına gerek olmadığından) veya yalnızca l + 1,…,n köşelerinin dikkate alındığı bir i köşesinin derecesi vardır. Yönsüz, basit bir grafiğin gerçekleştirilebilirliği hakkında daha kesin bir teorem aşağıda verilmiştir.
Bir d = (d1, d2, . . . , dn) dizisi ancak ve ancak H(d) = (d2 −1,d3 −1,…,dd1+1 −1,dd1+2) ise gerçekleştirilebilir. ,dd1+3,…,dn) gerçekleştirilebilir.Ayrıca, sadece bu derece dizisine sahip bir grafikle değil, bağlantılı bir grafikle de ilgileniyoruz. Bağlılıkla ilgili gerekli ve yeterli koşullar iyi bilinmektedir, ancak bütünlük için burada tekrarlanmalıdır.
Ne bir grafiğimiz ne de bir kapsayan ağacımız olmadığından, bize belirli derece dizisine sahip bir grafiğin çizilebilir olup olmadığı bilgisini verebilecek bir özellikle ilgileniyoruz. Yayılan ağaçlar (n – 1) kenar içerdiğinden, derecelerin toplamı en az 2 (n – 1) olmalıdır. Bu gerekli koşul, aşağıda verilen oluşturma algoritmalarından anlaşılacağı üzere zaten yeterlidir.
Belirli bir derece dizisi ile bir grafik oluşturan, doğrusal çalışma süresine sahip, uygulaması kolay birkaç algoritma vardır. Aşağıda, biraz farklı iki algoritma sunuyoruz; biri seyrek çekirdekli bir grafik oluşturur, diğeri yoğun çekirdekli bir grafik oluşturur.
Okuyucu, tüm bu kolay algoritmaların, aynı olasılıkla istenen derece dizisine sahip tüm grafiklerden rastgele bir grafik oluşturmadığının farkında olmalıdır. Ancak, bu algoritmalardan biri tarafından oluşturulan grafikten başlayarak, istenen derece dizisiyle tüm grafikler arasında gerçekte eşlenebilir olan rastgele bir örnek oluşturmak için bir yöntem veriyoruz. Tüm derecelerin toplamının en az 2(n − 1) olduğunu varsayıyoruz.
Her iki algoritma için de bağlantı adı verilen bir alt programa ihtiyacımız var. Bu alt program öncelikle oluşturulan grafiğin bağlantılı olup olmadığını kontrol eder. G grafiği bağlı değilse, bir döngü içeren bağlı bir bileşen bulur.
Böyle bir bağlı bileşen, yukarıda yapılan dereceler varsayımından dolayı var olmalıdır. uv döngüde bir kenar olsun ve st başka bir bağlı bileşende bir kenar olsun. Şimdi uv ve st kenarlarını sileriz ve us ve vt kenarlarını ağa ekleriz.
Hazır grafik yapma programları Online grafik oluşturma Sütun grafiği oluşturma online Python grafik çizdirme Python grafik kodları Python grafik Örnekleri Excel çizgi grafik oluşturma excel’de grafik oluşturma resimli anlatım
Seyrek Çekirdek
Bu bölümde, ek olarak seyrek olan verilen derece dizisi ile bir grafik oluşturan bir algoritmayı açıklamak istiyoruz. Bize d1 ≥ d2 ≥ ··· ≥ dn derece dizisi veriliyor ve bu derecelere v1,v2,…,vn köşelerini atıyoruz.
di > 0 olan bir vi köşesi olduğu sürece, şu anda en düşük dl derecesine sahip vl köşesini seçiyoruz. Daha sonra dl kenarlarını vl’den en yüksek dereceli ilk dl köşelerine yerleştiriyoruz. Bundan sonra i = 1,…,dl ve dl = 0 için di = di − 1 kalıntı köşe derecelerini güncelleriz. Son olarak, ama en az değil, bağlantıyı kontrol etmeliyiz ve gerekirse yukarıda belirtilenleri kullanarak kurmalıyız.
Yoğun Çekirdek
Belirli bir derece dizisi için yoğun çekirdekli bir grafik oluşturmak için, seyrek çekirdekler için yukarıdaki algoritmayı biraz değiştirmemiz yeterlidir. di > 0 olan bir vi köşesi olduğu sürece, böyle bir köşeyi keyfi olarak seçiyoruz ve vi’den kalan kenarları en yüksek artık dereceli sapmalara ekliyoruz. Bundan sonra sadece kalan dereceleri güncellememiz ve verilmemişse bağlantı kurmamız gerekiyor.
Markov-Süreci
İstenen derece dizisine sahip tüm grafiklerin uzayından rastgele bir örnek oluşturmak için, istenen gerçekleştirme ile bulması kolay bir G grafiği kullanmaya başlarız. Bir sonraki adımda, u ̸= v, s ̸= t olan 2 kenar (u, v) ve (s, t) öyle ki (u, s), (v, t) ∈/ G rasgele düzgün olarak seçilir. İkinci adım, (u, v) ve (s, t) kenarlarını silmek ve bunları (u, s) ve (v, t) ile değiştirmektir.
Bu işlem, genellikle rastgele algoritmalar için kullanılan standart bir Markov zinciri işlemidir. Bu algoritma ile derece dağılımının değişmediğini gözlemleyebiliriz. İki kenarı yeniden kablolamak bağlantısız bir grafiği tetikleyecekse, algoritma basitçe bu adımı yapmaz ve rasgele seçimi tekrarlar. Aşağıdaki teorem, bu algoritmanın istenen derece dizisine sahip tüm grafiklerin uzayından rastgele bir örnek oluşturduğunu belirtir.
Başlangıç noktasından bağımsız olarak, limitte, yukarıdaki Markov zinciri süreci, olası her bağlantılı gerçekleşmeye eşit olasılıkla ulaşacaktır.
Pratik nedenlerle, algoritmanın adım sayısını sınırlayabilmemiz için bir durdurma kuralı bulmak gerekir. Eşsiz derecelere sahip düğümlerin tüm komşularının (dereceye göre) iki sıralı listesinin (zamanın farklı noktalarında) farkı açısından sürecin düzleştiği gözlemlendi. Bu ölçümü kullanarak, günümüzün AS-seviyesi topolojisi gibi örnekler için iyi bir rasgele grafik elde etmek üzere, buluşsal olarak seviye düşürme adımlarının sayısının en fazla 3 katı olduğunu iddia ederler.
