Modelleme Sıkıntıları
Modelin, sosyal ağın bir ilkokuldaki bir sınıf öğrenciden oluştuğu tipik bir örnekte netleşecek olan bazı ciddi sakıncaları vardır. Öğrencilerden en yakın arkadaşları sorulur. Cevaplar yönlendirilmiş grafikte kodlanmıştır, yani i öğrencisinden j öğrencisine bir kenar, i öğrencisinin j öğrencisini en iyi arkadaşlarından biri olarak gördüğü anlamına gelir.
Tipik olarak bu ayar, erkekler ve kızlar olmak üzere iki “küme” içeren bir grafikle sonuçlanır. Hem erkekler hem de kızlar arasında yüksek bir ‘iç’ yönlendirilmiş kenar yoğunluğu gözlemlenebilir. İki küme arasında, düşük bir “ara” yoğunluğa karşılık gelen, genellikle önemli ölçüde daha az kenar vardır.
Farklı eşdeğerlik türleri hakkındaki tartışmadan, blok model için iki grubun dikkate alınması gerektiği ve ayrımın erkekler ve kızlar olarak yapılması gerektiği açık olmalıdır. Ne yazık ki, p1 modeli her erkek ve kıza tek bir genişleme ve çekicilik parametresi atfeder ve bu nedenle “iç” ve “yoğunluklar arası” arasındaki farkı modelleyemez.
Bu ciddi bir dezavantaj çünkü farklı yoğunluklar blok modelini yansıtıyor. Bu eksikliklerin üstesinden gelmek için Wang ve Wong, p1 modelinin iyileştirilmesini önerdi. Özellikle, P bölümü önceden biliniyorsa (okul sınıfı örneğindeki gibi), P’yi temsil eden dijkl gösterge değişkenlerini aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz.
Burada λij, iki özel bölüm Pk ve Pl arasındaki genişleme ve çekicilikteki ortalamadan sapmaları modelleyen yeni tanıtılan blok parametreleridir. Okul sınıfı örneğinde, erkekler ve kızlar arasında negatif bir λ ve iki bölüm içinde pozitif λ’lar elde ederiz.
Bu modeldeki maksimum olabilirlik tahmini yine genelleştirilmiş yinelemeli ölçekleme yoluyla yapılabilir, ancak p1 için olduğu gibi loglineer bir homojen ilişki modeline dönüşüm bilinmemektedir. Tutumluluk nedenleriyle, genellikle λij’lerin altkümelerinin eşit olacak şekilde sınırlandırılması tercih edilir.
Arka Blok Model Tahmini
Önceki bölümde gördüğümüz Wang ve Wong modelinde, girdi olarak aktörlerin bölünmesine ihtiyaç duyan ve yalnızca bu bölümlemeyle ilgili hipotezleri test etmenin bir aracı olarak hizmet eden blok modellerle yetinmek zorunda kaldık. Böyle bir yaklaşım a priori blok modelleme olarak adlandırılır, çünkü bölümleme a priori bilgi oluşturur.
Çıkar paylaşımının ne olduğu sosyolojik sorunun doğasından veya aktörlerin niteliklerinden (cinsiyet, yaş vb.) açıkça anlaşıldığında gerekçelendirilir. Bu bölümde, bölünmenin bilinmediği a posteriori blok modellemeye yönelik stokastik yaklaşımını ele alacağız.
Bu model, diğer a posteriori yaklaşımın dezavantajlarına sahip değildir. p1-modelinde olduğu gibi Nowicki ve Snijders ikilileri, yani aralarında ilişkilerin verildiği sıralı aktör çiftlerini (köşeleri) dikkate alır. Burada bir ilişki, iki aktör arasında yönlendirilmiş kenarların varlığı veya yokluğu olabilir, ancak daha genel olarak model, vi köşesinden vj köşesine ilişkin ilişkinin, çoklu kenar kümelerine izin vermeye benzer şekilde, sonlu bir A kümesinden herhangi bir değer almasına izin verir.
Bu nedenle ikililer (vi,vj) bir A ⊂ A × A kümesinde xij değerlerini alabilir, tüm ikililerin değerleri birlikte genelleştirilmiş komşuluk matrisini oluşturur. Sunum kolaylığı için yönlendirilmiş grafiklerle devam edeceğiz, dolayısıyla A = {0, 1}2; örneğin xij = (0, 1), vj’den vi’ye bir kenara sahip asimetrik ikiliyi (vi , vj ) temsil eder.
Bölmeyi modelleyen can alıcı kavram, vi köşelerinin χ = {1, . . . , L} gözlenmeyendir (gizli). Yazarlar bu modeli renkli bir ilişkisel yapı olarak adlandırıyorlar. Genelleştirilmiş bir komşuluk matrisi x ve renklendirme c = (c1, . . . , cn) ile verilir.
Verileri üreten stokastik model artık aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. Renklendirmeyi, her bir vi ∈ V köşesi için bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış (i.i.d.) rasgele değişkenler Ci ile modelliyoruz.
Farklı eşdeğerlik türleri tartışmasında gördüğümüz gibi, blok modellemede bir bloktaki tüm aktörlerin benzer şekilde davrandığını varsayıyoruz. Bu nedenle, burada iki aktör i ve j arasındaki ilişkinin türünün yalnızca renklerine bağlı olduğu varsayılmaktadır.
Bu formülün temel olarak her köşe için renginin θi olasılığını ve tüm renk sınıfları arasında iki sınıf arasında gözlenen ilişkilerin olasılıklarını çarptığını unutmayın. İlk çift çarpım, farklı renk sınıfları için çarpma işlemini yapar, son iki çift çarpım, bunu tüm tek renkli ikililer için yapar. İstatistiksel açıdan böyle bir model, karışım modelleri sınıfına girer.
Bu tür modeller için istatistiksel çıkarımın bir yolunu kısaca açıklayacağız. Bir kara kutunun, f(θ,η,c | x) yoğunluk fonksiyonu tarafından verilen dağılımdan (θ,η,x) değerlerinin bir örneğini almamıza izin verdiğini varsayalım. Böylece elimizde {(θ0, η0, x0), (θ1, η1, x1), üçlü bir dizimiz var. . . , (θK−1, ηK−1, xK−1)}. Bu örnek, bize altta yatan model parametreleri ve gizli veriler hakkında bilgi sağlar.
vi ve vj aktörlerinin aynı renk sınıfında olma olasılığını gösterir. Aslında, örnek f (θ, η, c | x) tarafından verilen dağılımdan bağımsız çekimlerden oluşuyorsa, doğrudan büyük sayılar kanunundan yukarıdaki değerin rastgele gösterge değişkeninin [Ci = Cj] anlamlı bir tahmini olduğu sonucu çıkar.
Kanıt, doğrudan Chebyshev eşitsizliğinin bir uygulamasını takip eder ve olasılık teorisi üzerine herhangi bir ders kitabında bulunabilir.
Bu teorem, yakınsama hızı hakkında hiçbir açıklama yapmaz. Bağımsız rasgele değişkenler durumunda, merkezi limit teoremi böyle bir açıklama yapar. Ne yazık ki kara kutumuzun bize bağımsız örnekler vermediğini göreceğiz. Yukarıdakiyle aynı yaklaşımla θ ve η için tahminler elde edilebilir.
Aktör vi’nin renk sınıfı ile aktör vj’nin renk sınıfı arasında a tipi bir ilişkinin bulunma olasılığının bir tahminidir. Bu biraz garip yapılar gereklidir, çünkü tahmin sürecinde bir tanımlanabilirlik sorunu vardır: i renk sınıfından bahsetmek anlamlı değildir, çünkü renk sınıfı etiketlerinin keyfi permütasyonları aynı sonuçlara yol açabilir.
Benzer şekilde, Pr[Ci = j] olasılığını tahmin etmek anlamlı değildir. Tüm fonksiyonlar, permütasyonlar altında değişmezdir ve bu nedenle tanımlanabilirlik problemlerini atlatır.
Şimdiye kadar f(θ,η,c | x)’ten örneği nasıl aldığımız sorusunu nazikçe göz ardı ettik. Bu amaçla Gibbs örneklemesi adı verilen bir yöntem kullanılabilir. Yöntemin kendisini tanımlaması kolay olsa da kesin matematiksel temelleri bu çalışmanın kapsamı dışındadır.
Tüm değişkenler için önceki dağılımları π(xi) olan bir f(x1,…,xd) dağılımından Gibbs örneklemesi için genel yaklaşım, ilk olarak rastgele bir nokta (x01,x02,…,x0d) ile başlamaktır. numune noktası. Bir sonraki nokta, ilk koordinat dışında birinci ile aynıdır. İlk koordinat f (x1 | x2 = x02 , . . . , xd = x0d ) tam koşullu dağılımından çizilir.
Genellikle böyle bir tam koşullu dağılımdan örnek almak, genel dağılımdan çok daha kolaydır. i’nci adımda, f(xi mod d | x1,…,x(i mod) dağılımından çizilen (i mod d)inci koordinat dışında yeni nokta öncekiyle aynıdır. d)−1,x(i mod d)+1,xd). Çoğu zaman yalnızca her d’inci nokta alınır, böylece bir sonraki nokta potansiyel olarak tüm koordinatlarda mevcut olandan farklı olur.