Tam Koşullu Dağılımlar
Kullanılan tam koşullu dağılımların nispeten kolay bir forma sahip olduğu doğrulanabilir. Gibbs örnekleyici, {(x0,θ0,η0),…,(xK−1,θK−1,ηK−1)} örneğinin f(θ,η,c | x) dağılımına yaklaşma özelliğine sahiptir. büyük K. Bu açıklamadan, numune noktalarının oldukça bağımlı olduğu açıktır, çünkü (xt+1,θt+1,ηt+1) değerleri (xt,θt,ηt)’den oluşturulmuştur. Numune dizisi bir Markov zinciri oluşturur.
Neyse ki, Markov zincirlerinin genel teorisi, bir Markov zinciri tarafından üretilen bağımlı örnekler için büyük sayılar yasasının bir anlamda karşılığı olan sözde ergodik teoremi içerir. Teoremin kesin bir ifadesi için, Markov zincirleri için çok fazla terminoloji gereklidir, bu nedenle sunumu bu sezgisel düzeyde bırakıyoruz ve ilgili okuyucuyu kaynakçaya yönlendiriyoruz.
Özetlemek gerekirse, Nowicki ve Snijders, blok modellemeyi aktörlerin θ parametreleri tarafından tanımlanan bir dağılımdan renkler alması olarak görmeyi önermektedir. Aktörler arasındaki ilişkilerin olasılıkları renklerinden etkilenir.
Renkler gizli değişkenler olduğundan, görev onları gözlemlerden (yani aktörler arasındaki ilişkilerden) tahmin etmek ve renk sınıflarındaki aktörlerin birbirleriyle nasıl ilişki kurduğunu yöneten parametreleri η tahmin etmektir. Tahmin ve tahmin, f (θ, η, c | x) koşullu dağılımından Gibbs örneklemesi ve ardından renklendirme ve parametreler hakkında bilgilerin çıkarılabileceği örnek üzerindeki değişmez fonksiyonların değerlendirilmesiyle yapılır.
Bir apriori blok modelini değerlendirmek ve a posteriori bir blok modelini hesaplamak için sosyal ağ üretiminin stokastik bir modelinin nasıl kullanılabileceğini gördük.
Düğüm bazındaki α ve β parametrelerinin basit yapısı, stokastik denkliği tanımlamaya ve bu nedenle, p1 modelinin sınırlı bir parametre uzayı cinsinden bir blok modeli ifade etmeye izin verir. Ayrıca, bu kadar basit modellerin parametreleri tam ve verimli bir şekilde tahmin edilebilmektedir.
Öte yandan, ağ oluşturma süreci hakkında oldukça güçlü varsayımlarda bulunduk. İkililerin birbirinden bağımsız çizildiği temel varsayımı bile, sosyal ağ analizinde p1 modelinin önerilmesinden bu yana yoğun bir şekilde eleştirilmiştir.
1996’da, blok modellemeye uygulamaları aşağıda tartışılacak olan p∗ modelleri adı verilen daha güçlü bir rasgele grafik dağılım ailesi tanıttı. p∗ modellerinin amacı, aktörler arasındaki Xij ilişkileri arasındaki bağımlılıkları ifade etmede daha fazla esnekliğe sahip olmaktır. Bunu daha resmi olarak ifade etmek için aşağıdaki tanımı yapıyoruz.
p1 modelinde {Xij} ⨿ X \ {Xij} | {Xji}, yani i’den j’ye olan kenar yalnızca j’den i’ye olan kenara bağlıdır. Bundan daha karmaşık bağımlılıkları modellemek için, bu bağımlılıkları temsil eden bir grafik sunuyoruz.
p1 modeli, {Xij,Xji} tüm kenarlarından oluşan bir bağımlılık grafiğine sahip bir Markov alanı (veya Markov grafiği) olarak görülebilir. p∗ fikri keyfi bağımlılık grafikleri için açık dağılımlar bulmaya çalışmaktır.
Hammersley-Clifford Teoremi, her Markov alanı için (neredeyse) kapalı bir formla ifade edilebilecek bir dağılımın olması anlamında bunun her zaman mümkün olduğunu belirtir. Teoremi basitleştirilmiş bir versiyonda ifade ediyoruz.
Bağımlılık grafiğindeki klikteki tüm kenarlar varsa, klikler üzerindeki ürünlerin bir olduğunu, aksi takdirde sıfıra eşit olduklarını gözlemleyin.
Gözlemlenen x grafiğindeki ilişkiler arasındaki bağımsızlıkla ilgili varsayımlarımızı ifade eden bir bağımlılık grafiği IX verildiğinde, IX’un tüm kliklerinin λc potansiyellerinden oluşan grafik dağılımı için minimum bir parametre seti elde ederiz. Bu tür dağılımlara p∗ modelleri denir.
Sürekli olasılık dağılımları
Olasılık dağılımları
Olasılık dağılımı nedir
Kesikli Olasılık Dağılımları
Olasılık dağılım fonksiyonu
Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve Olasılık dağılım fonksiyonu
Kesikli değişken olasılık DAĞILIMLARI
Üstel dağılım örnekleri
Potansiyelleri Tahmin Etmek
p∗ modellerinde tahmin, son yıllarda canlı araştırma tartışmalarının konusu olmuştur. Birkaç tahmin yöntemi önerilmiştir, en öne çıkanları sözde olabilirlik yöntemi ve daha önce kısaca gördüğümüz Markov Zinciri Monte Carlo (MCMC) yöntemidir.
Her iki yöntem de matematiksel olarak söz konusudur ve tartışıldığı ve referans verildiği gibi ciddi dezavantajları vardır, bu nedenle onları burada sunmayacağız.
Blok Modelleme için p∗ Modellerini Kullanma
Şimdiye kadar, grafik üretimi için yalnızca stokastik bir model gördük. Klik-bazlı potansiyeller nedeniyle, p1 blok modellerinde stokastik denkliğin belirgin bir karşılığı yoktur. Önerilen bir yaklaşımı sunuyoruz.
P := {P1, . . . , PL} gözlemlenen x grafiği için. C, IX {W,F} bağımlılık grafiğinin klikler kümesi olsun.
C(a, x) ve C(b, x) izomorfik konfigürasyonları için λa = λb’yi zorlayarak blok modelini parametre tahminine dahil edebiliriz. Ardından, bir blok modelin akla yatkınlığı, hem kısıtlanmamış hem de kısıtlanmış parametre uzayları için ML-tahminleri kullanılarak olabilirlik oranı istatistiği G2 hesaplanarak puanlanabilir.
Tartışılan sıkı roller ve eşdeğerlik kavramlarının, psikoloji ve sosyolojide ortaya çıkan gerçek dünya verilerini analiz etmeye uygun olmadığını gördük. Bu nedenle, 70’lerden bu yana, katı yapısal denkliğin bir tür gevşemesini gerçekleştiren çeşitli yöntemler geliştirilmiştir.
Blok modellemedeki geleneksel yöntemler, daha sonra aktörlerin pozisyonlara bölünmesini hesaplamak için kullanılan aktör ilişkilerinin benzerlik ölçümlerine dayanır. Bu ölçümler, ilişkisel verileri iyileştirmek veya alternatif olarak görsel bir yorumlamayı mümkün kılmak için çok boyutlu ölçekleme teknikleri kullanılarak metriklere dönüştürülebilir.
Genellikle, aktör seti bölümünü hesaplamak için kümelemeye dayalı yöntemler kullanılır. Bitişik matrislerin yinelenen bağıntılarıyla çalışan, popüler ama çokça eleştirilen CONCOR algoritmasını da gördük.
Daha sonra, pozisyonlar arasındaki ilişkilere karar vermek ve dolayısıyla orijinal verilerin basitleştirilmiş bir temsilini elde etmek için farklı kriterler kullanılabilir. Genelleştirilmiş blok modelleme ile, ortak bir hata fonksiyonunu en aza indirerek hem bölümleme problemini hem de görüntü matrisi hesaplamasını çözen entegre bir optimizasyon yaklaşımı sunulmuştur.
İkincisi, gözlemlenen ilişkisel veriler için belirli türden stokastik üretim süreçlerini varsayan stokastik modeller tanıtıldı. Blok modellemedeki daha yeni gelişmeleri temsil ederler. Hem kesin ve etkin tahmin yöntemleri sunan basit modeller hem de daha karmaşık, gerçekçi modeller sunulmuştur.
İkincisi için, hem kesinlik hem de verimlilik sunmayan, ancak sosyal ağ verilerine başarıyla uygulanan farklı parametre tahmini yaklaşımları tartışılmıştır. Blok modellemeye adaptasyonun ve uygulamanın, başlangıçta gözlemlenen veriler için genel açıklama olarak önerilen yeni bir stokastik modelin tanıtılmasını takip ettiğini gördük.
Son olarak, blok modelleme alanının güçlü bir şekilde uygulama odaklı olduğu sonucuna vardık. Psikoloji ve sosyolojiden araştırmacılar, gözlemlenen ağların konumsal yapısını analiz etmek için yöntemlere ihtiyaç duyuyorlar ve kendilerine istenen analitik sonuçları veren yöntemleri elde etmek için bilgisayar bilimi ve istatistik gibi farklı bilimsel alanlardan hizmet ediyorlar.
Bu nedenle, yaklaşımlar ve teknikler oldukça heterojendir. Şu anda, bu alandaki çoğu araştırmacı, tartışılan geleneksel yöntemleri kullanıyor gibi görünüyor. Korelasyon katsayısının özellikleri ve bunun Öklid mesafesiyle ilişkisi hakkında daha fazla bilgi bulunabilir.
Kruskal’ın Çok Boyutlu Ölçeklendirme algoritması, 1964 gibi erken bir tarihte iki ufuk açıcı makalede yayınlandı. Cox ve Cox, yakın tarihli bir çalışmada Çok Boyutlu Ölçeklemeyi istatistiksel bir bakış açısıyla tartışıyorlar, ayrıca diğer konuların yanı sıra Kruskal’ın algoritmasının ve onun diğer MDS- ile ilişkisinin bir sunumunu da içeriyor.
Metrik gömme için yaklaşım algoritması. Algoritmanın x koordinatlarını bulan kısmı makalenin ekindedir ve bulunabilir. İlgili metrik gömme sorunları hakkında daha fazla bilgi ve buradaki referanslar bulunabilir.