Hipotez Dağılımı
İki hipotezi genellikle asimetrik olarak ele aldığımızı gösteriyor ki bu, bu bölümde daha sonra açıklığa kavuşacaktır. Bir örnek vermek gerekirse H0, gözlemlenen sosyal ağın, belirli bir parametre seti {θ = θ’, ρ = ρ’, α1 = α′1,…,αn = α′n,β1 olan bir p1 dağılımından olduğunu belirtebilir. = β1′ ,…,βn = βn′ }, halbuki HA, farklı olan ileri geri hareket parametresi dışında bunun doğru olduğunu belirtebilir: {θ = θ′,ρ ̸= ρ′,α1 = α′1, …,αn = α’n,β1 = β1′,…,βn = βn’ }
Bu örnekte H0, dağılımı tamamen belirttiği için basit bir hipotez olarak adlandırılırken HA, ρ’yı belirtmez ve bu nedenle bileşik hipotez olarak adlandırılır. Genel olarak bileşik hipotezler, parametrelerin tüm olası parametrelerin bir alt kümesinden gelebileceğini belirtir.
Bir test istatistiği T, gözlemlenen verileri x’i genellikle T(x) ∈ [0,1] ile bir T(x) değerine eşleyen rastgele bir değişkendir. H0’ın kabul edildiği (reddedildiği) T değerleri seti, kabul bölgesi (ilgili ret bölgesi) ile gösterilir.
Genellikle reddetme bölgesi {x | T(x) < c} veya {x | T(x) > c} ise, reddetme bölgesini kabul bölgesinden ayıran c değerine kritik değer denir. İdeal durumda, H0’ın sahip olduğu tüm x’ler, kabul bölgesindeki değerlere eşlenir ve diğer tüm x’ler, reddetme bölgesindeki değerlere eşlenir. Hemen hemen tüm önemsiz olmayan durumlarda hatalar meydana gelir.
Bu hatalar iki tip olabilir:
1. H0 doğrudur, ancak test bunu reddeder. Buna I. tip hata denir, olasılığı α testin anlamlılık düzeyi olarak adlandırılır.
2. H0 yanlıştır ancak kabul edilir. Bu (genellikle daha az zararlı) hata, tip II hatası olarak adlandırılır. Olasılığı β olsun, o zaman 1 − β’ya (H0’ın yanlış olma ve test tarafından reddedilme olasılığı) testin gücü diyoruz.
H0 ve HA’nın asimetrisi olağan test prosedürüne yansıtılır: Bir önem düzeyi α sabitlenir (tipik olarak 0.01, 0.05 veya 0.1 gibi küçük değerlerde) ve uygun bir test T seçilir. Açıkçası, sabit anlamlılık düzeyi için daha yüksek güce sahip testler tercih edilir. Anlamlılık seviyesinin seçimi, araştırmacının bir tip I hatayı nasıl değerlendirdiğini yansıtır.
Bu anlamlılık düzeyine göre c kritik değeri belirlenir ve son olarak gözlemlenen veri x üzerinden T(x) hesaplanır. T(x) > c ise sıfır hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir.
Önem düzeyine göre c kritik değerini ayarlamak için sıfır hipotezinin doğru olduğu varsayımı altında Pr[T (x) > c] ≤ α olan bir c bulmamız gerekir. Bu nedenle, boş hipotez altında test istatistiğinin dağılımını bilmek genellikle gereklidir. Bu dağıtım sözde boş dağıtımdır.
İyi bir test bulmak, yani mümkün olan tüm testler arasında yüksek ve hatta maksimum güce sahip bir test T bulmak, bu çalışmanın kapsamı dışında kalan karmaşık bir problemdir.
Bununla birlikte, pek çok testin yapılandırıldığı bir paradigma sunuyoruz: Olasılık fonksiyonunu l(θ) kısıtladıkları ω0 ve ωA parametrelerinin alt kümeleriyle ifade edilen iki hipotez H0 ve HA verildiğinde, istatistiğe olabilirlik oranı test istatistiği denir. Yüksek Λ∗ değerleri H0’ın kabul edilmesi gerektiğini, düşük değerler ise reddedilmesi gerektiğini gösterir.
Olabilirlik oranı testi, bazı kritik değer c’nin altındaki değerleri reddeder ve bunun üzerindeki değerleri kabul eder. Bu testin sıklıkla kullanılmasının bir nedeni, basit hipotezler için optimal olduğunun gösterilebilmesidir (bu durumda üstünlük, θ0’a karşılık θA tek bir değerin üzerindedir).
H0 ve HA iki parametre vektörü θ0 tarafından verilen basit hipotezler olsun. θA. lx(θ0) < c için H0’ı reddeden ve başka türlü reddeden olabilirlik oranı testi α önem düzeyine sahipse, o zaman lx(θA) α′ ≤ α önem düzeyine sahip diğer herhangi bir test istatistiği olasılığınkinden daha az veya ona eşit güce sahiptir.
Bileşik hipotez durumunda, payda ve paydanın ilgili kısıtlı parametre kümeleri ω0 ve ωA’dan elde edilen ML tahminleri olduğuna dikkat edin. Üstel aile gibi üstelleştirmeyi içeren dağılımlar için logaritmaların oranıyla çalışmak genellikle daha kolaydır. Bu durumda, log olabilirlik oranı istatistiği olarak adlandırılan G2 istatistiğini elde ederiz.
-2 faktörünün nedeni, bu tanımla G2’nin birçok durumda yaklaşık bir ki-kare dağılımına sahip olmasıdır.
p1 ile test etme. Şimdi yukarıdaki genel ayarın p1 modellerine nasıl uygulanacağını araştırıyoruz. Uyum iyiliği değerlendirmesi için H0’ı “veriler bir p1 modeli tarafından üretilir” şeklinde ifade ederiz. Sezgisel olarak HA, “verilerin başka (daha karmaşık) bir model tarafından üretildiğini” ifade etmelidir.
Bu ifadeyi kesin yapmak zordur, p1’in anlamlı bir süperkümesi olan ve iki özelliği olan bir ps dağılım ailesini tanımlamamız gerekir: İlk olarak, olabilirlik oranı testleri için ps’de ML-tahminini yapabilmemiz gerekir. İkinci olarak, anlamlı bir kritik değer belirlemek için olabilirlik oranı test istatistiğinin boş dağılımını belirlememiz gerekir.
p1 için her iki sorun da önemsiz değildir. p1’i daha genel bir dağılıma genişletmenin bir yolu, diferansiyel karşılıklılığa izin vermektir, yani ρij = ρ ayarlamak yerine her aktör bir karşılıklılık parametresi ρi alır ve biz ρij = ρ + ρi + ρj olarak ayarlarız. Bu model için tahmin problemlerini göz ardı edelim ve verilen veriler için ML tahminlerini hesaplayabileceğimizi varsayalım.
O halde olasılık oranı, p1 modelinin bu genişletilmiş modelin maksimum olasılığına göre maksimum olasılığıdır (p1 modelini içerdiğinden daha küçük olamaz). Bu oranın değeri, p1 modelinde global bir karşılıklılık parametresi varsayımının ne kadar haklı olduğunu gösterir.
Blok Modeller ve p1
p1 modeli, blok modeller için yaygın olarak kullanılmaktadır. p1 modeli tahmininin – küresel yoğunluk ve karşılık tahminleri θ ve ρ dışında – her bir aktör için bir genişleme ve bir çekicilik tahmini αi, sırasıyla βi verdiğini hatırlayın. Öne çıkan yaklaşımlardan biri Anderson, Faust ve Wasserman’a aittir [30]. Aynı αi ve βi değerlerine sahip iki aktörün stokastik denkliğini yorumlamayı öneriyorlar. Bundan, aşağıdaki blok modelleme prosedürünü elde ederler.
1. {θ,ρ,α1, …,αn,β1,…,βn}parametrelerinin bir kümesini vererek,ap1modelini graphG’ye uydurun.
2. Her i ∈ {1,…,n} aktörüne qi = (αi,βi) noktasını atayın.
3. Noktaları k küme halinde kümeleyin ve kümeleri blok model için bir bölüm P olarak döndürün.
Alternatif olarak Anderson, Faust ve Wasserman, blok modelin bir sonucu olarak puanları almayı önerir. k parametresi, blok modelleme prosedürü için bir girdi parametresidir. Kümeleme için kümeleme yöntemlerinden herhangi biri kullanılabilir.
P bölümü bulunduğunda, kalitesini önceki bölümün test yöntemleriyle test edebiliriz: P’nin gerçekten bölüm olduğu ve bu nedenle her bir Pk ∈ P’deki tüm aktörlerin stokastik olarak eşdeğer olduğu ve αi = olduğu boş hipotezi H0 olsun. αj ∀i,j ∈ Pk. Maksimum olabilirlik oranı testi için, olduğu gösterilebilen G2’yi değerlendirmemiz gerekir.
