Matrisler (20) – Ortonormal Tabanlar ve Tamamlayıcılar – Matrisler Ödev Yaptırma

Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

Örnek :

Matrisi köşegenleştirmeyi deneyelim;

M’nin özdeğerleri ile belirlenir det (M – λI) = −λ3 + λ2 + 2λ = 0. Yani M’nin özdeğerleri -1, 0 ve 2’dir ve ilişkili özvektörler;

v1 = (- 8-1 3) v2 = (-2 1 0) v3 = (-1-1 1) olur.

M’nin köşegenleştirilebilir olması için, v1, v2, v3 vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olmasına ihtiyacımız var.

Şekil 13.1: Bu teorem şu soruyu yanıtlar: “Köşegenleştirme nedir?”

Çünkü determinantı -1’dir. Bu nedenle, M’nin özvektörleri R’nin temelini oluşturur ve bu nedenle M köşegenleştirilebilir. Ayrıca, P’nin sütunları özvektörlerin bileşenleri olduğundan,

MP = 􏰁Mv1 Mv2 Mv3􏰂 = 􏰁 − 1.v1 0.v2 2.v3􏰂 = 􏰁v1 v2 v3􏰂 (-1 0 0, 0 0 0, 0 0 2)

Bu nedenle, özvektörlerin matrisi P, M’yi köşegenleştiren temel matrisin bir değişikliğidir; P − 1MP = (-1 0 0, 0 0 0, 0 0 2)

Sorunları İnceleyin

Okuma Problemleri
Gerçek özdeğer yok
Köşegenleştirme

1. Pn (t) n veya daha düşük dereceli polinomların vektör uzayı ve d: Pn (t) → Pn (t) türev operatörü olsun. Matrisini bulun
dt d sıralı bazlarda E = (1, t, …, tn) alan için ve F = (tn, … ,, t, 1) ortak alan için. Bu türev operatörünün köşegenleştirilebilir olup olmadığını belirleyin. Önceki bölümden türev operatörünün doğrusal olduğunu hatırlayın.

2. Doğrusal dönüşüm için bir matris yazarken, şunu gördük
temelin seçimi önemlidir. Aslında, temelin sırası bile önemlidir!

(a) Standart temeli (e1, e2, e3) tüm olası yeniden sıralamayı yazın
R3 için.
(b) Standart temel ile yeniden sıralaması arasındaki her bir temel matris değişikliğini yazın. Bu matrisler hakkında olabildiğince çok gözlem yapın. girişleri neler? Her satırda ve sütunda her girdi türünden kaçının göründüğüne dair bir şey fark ettiniz mi? Belirleyicileri nelerdir? (Not: Bu matrisler permütasyon matrisleri olarak bilinir.)
(c) Verilen L: R3 → R3 doğrusaldır.

L x, y, z = (2y-z, 3x, 2z + x + y)

L için matris M’yi standart temelde ve standart temeli iki yeniden sıralamayı yazın. Bu matrisler nasıl ilişkilidir?

3. X = {♥, ♣, ♠}, Y = {∗, ⋆} olsun.

RX ve RY vektör uzaylarının her biri için sırasıyla S, S ′ ve T, T ′ olmak üzere iki farklı sıralı tabanı yazın. Bu tabanları birbirleriyle eşleyen P ve Q taban matrislerinin değişimini bulun. Şimdi haritayı düşünün.

l: Y → X, (∗) = ♥ ve l (⋆) = ♠. Doğrusal dönüşüm L: RX → RY’yi tanımlamak için kullanılabileceğini gösterin. S, T ve sonra S ′, T ′ bazlarında L’nin M ve M ′ matrislerini hesaplayın. M ′ = Q − 1MP olduğunu kontrol etmek için P ve Q taban matrislerinizin değişikliğini kullanın.

4. trMN = trNM olduğunu hatırlayın. M kare matrisinin izinin M’yi hesaplamak için kullandığınız temele bağlı olmadığını göstermek için bu gerçeği kullanın.

5.2 × 2 matris (a c b d) ne zaman köşegenleştirilebilir? Örnekleri dahil edin. Matrislerin benzerliğinin bir eşdeğerlik ilişkisi olduğunu gösterin.

7. Yeni form

• 0 λ matrisi köşegenleştirilebilir mi? Ya köşegenleştirin ya da
􏰍λ 1􏰎 bunun neden imkansız olduğunu açıklar.

• 0 λ 1 matrisi köşegenleştirilebilir mi? Ya köşegenleştirin ya da bunun neden imkansız olduğunu açıklayın.

• O halde n × n matris köşegenleştirilebilir mi?

Ya köşegenleştirin ya da bunun neden imkansız olduğunu açıklayın.

Not: Her matrisin, köşegen blokları diyagonal matrislere benzeyen veya yukarıdakilere benzeyen ve çapraz olmayan bloklarının tümü sıfır olan bir blok matrisine benzer olduğu ortaya çıkar. Bu matrisin Jordan formu olarak adlandırılır ve benzer görünen bir (maksimal) bloğa Jordan n hücresi veya Jordan bloğu denir; burada n, bloğun boyutudur.

8. A ve B’nin değişme matrisleri (yani, AB = BA) olsun ve A’nın özdeğeri λ olan bir özvektör v’ye sahip olduğunu varsayalım.

(a) Bv’nin aynı zamanda özdeğeri λ olan A’nın bir özvektörü olduğunu gösterin.
(b) Ek olarak, A’nın köşegenleştirilebilir olduğunu ve farklı öz-
değerler. A’nın her bir öz uzayının boyutu nedir?
(c) v’nin aynı zamanda B’nin bir özvektörü olduğunu gösterin.
(d) Bunun neden A ve B’nin aynı anda köşegenleştirilebileceğini gösterdiğini açıklayın (yani, her iki matrisinin de köşegen olduğu sıralı bir temel vardır).

Ortonormal Tabanlar ve Tamamlayıcılar

Nokta ürünü çok nadir kullandığımızı fark etmiş olabilirsiniz. Bunun nedeni, elde ettiğimiz sonuçların çoğunun, vektörlerin uzunluklarının tercih edilen bir kavramını gerektirmemesidir. Bir nokta veya iç ürün mevcut olduğunda, vektörlerin uzunlukları ve açılar ölçülebilir – çok güçlü makineler ve bu durumda sonuçlar elde edilebilir.

Standart Esasa İlişkin Özellikler

Bir x = (x1, x2, …, xn) ∈ Rn vektörünün uzunluğunun standart kavramı

|| x || = √x x = 􏰦 (x1) 2 + (x2) 2 + ··· (xn) 2.

Rn’de kanonik / standart temel

iç çarpım ve uzunluklara göre birçok yararlı özelliğe sahiptir.

• Standart temel vektörlerin her birinin birim uzunluğu vardır; ∥ei∥ = √ei ei = 􏰧eTi ei = 1.

• Standart temel vektörler ortogonaldir (başka bir deyişle, dik açıda veya dik);
ei ej = eTi ej = 0wheni̸ = j
Bu şu şekilde özetlenmiştir:
ei ej = δij = 0 i ̸ = j, burada δij, Kronecker deltasıdır. Kronecker deltanın kimlik matrisinin girişlerini verdiğine dikkat edin.
V ve w sütun vektörleri verildiğinde, iç çarpım v w’nin matris çarpımı vT w ile aynı olduğunu gördük. Bu, Rn’deki bir iç çarpımdır. Bir kare matris veren dış çarpım vwT’yi de oluşturabiliriz. Standart temel vektörler üzerindeki dış çarpım ilginçtir.

Kısacası, Πi, i’inci köşegen konumunda 1 ve diğer her yerde sıfırlar1 olan köşegen kare matristir.

ΠiΠj = eieTi ejeTj = eiδijeTj olduğuna dikkat edin.

O zaman: ΠiΠj = 0 i̸ = j.
Ayrıca, köşegen girişleri λ1, olan diyagonal bir matris D için. . . , λn, D = λ1Π1 + · · · + λnΠn yazabiliriz.

Ortogonal ve Ortonormal Tabanlar

Standart temel ile aynı şekilde davranan birçok başka baz vardır. Bu nedenle şunları inceleyeceğiz:

• Ortogonal tabanlar {v1,. . . , vn}: vi vj = 0ifi̸ = j.

Başka bir deyişle, temeldeki tüm vektörler diktir. • Ortonormal tabanlar {u1,. . . , un}: ui uj = δij.

Ortogonal olmasının yanı sıra, her vektörün birim uzunluğu vardır.

T = {u1, varsayalım. . . , un}, Rn için birimdik bir temeldir. T bir temel olduğu için, herhangi bir v vektörünü T’deki vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak benzersiz bir şekilde yazabiliriz bu da; v = c1u1 + · · · cnun olur.

Matrisler (20) – Ortonormal Tabanlar ve Tamamlayıcılar – Matrisler Ödev Yaptırma Ortogonal ve Ortonormal Tabanlar Ortonormal Tabanlar ve Tamamlayıcılar Sorunları İnceleyin Standart Esasa İlişkin Özellikler

Matrisler (20) – Ortonormal Tabanlar ve Tamamlayıcılar – Matrisler Ödev Yaptırma