Örnek:
İşte karmaşık bir cebir sorusu:
W'da bir U alt uzay verildiğinde, bunun çözümleri nelerdir?
Yani, W'yi U ve bir şeyin doğrudan toplamı olarak nasıl yazabiliriz?
W = R3'teki alt uzayların aşağıdaki resminden de görülebileceği gibi burada bu soruya benzersiz bir cevap yoktur.
Bununla birlikte, iç çarpım kullanıldığında, aşağıda gösterildiği gibi bu ikinci alt uzay için doğal bir aday U⊥ vardır.
Tanım
U, W vektör uzayının bir alt uzayıysa, U⊥: = wWw u = 0forallu∈U vektör uzayı, W'deki U'nun ortogonal tamamlayıcısıdır.
Açıklama "U⊥" sembolleri genellikle "U-perp" olarak okunur. Bu, U'daki her vektöre W ortogonalindeki tüm vektörlerin kümesidir. Ayrıca, yukarıdaki tanımda iç çarpımın iç çarpım olduğunu dolaylı olarak varsaydığımıza dikkat edin. Genel bir iç çarpım için, yukarıdaki tanım, tüm u ∈ U için U⊥: = w ∈ W⟨w, u⟩ = 0 şeklinde olacaktır.
Muhtemelen şimdiye kadar bunalmış hissediyorsunuz, bu hızlı genel bakış videosunu izlemenin yardımı olabilir.
Genel Bakış
Örnek :
R3'ün başlangıç noktasından geçen herhangi bir P düzlemini düşünün. O halde P bir alt uzaydır ve P⊥, P'ye ortogonal olan orijinden geçen çizgidir. Örneğin, P xy-düzlemi ise, o zaman
R3 = P⊕P⊥ = {(x, y, 0) | x, y∈R} ⊕ {(0,0, z) | z∈R}.
Teorem : U, sonlu boyutlu W vektör uzayının bir alt uzayı olsun.
Daha sonra, setU⊥ isasubspaceofW veW = U⊥U⊥.
Kanıt. Öncelikle, U⊥'nin bir alt uzay olduğunu görmek için, sadece kapanışı kontrol etmemiz gerekir,
Bu basit bir kontrol gerektirir: v, w ∈ U⊥ varsayalım, o zaman v u = 0 = w u (∀u∈U) biliyoruz.
Bu nedenle
⇒u (αv + βw) = αu v + βu w = 0 (∀u∈U),
ve böylece αv + βw ∈ U⊥.
Sonra, U ve U⊥ arasında doğrudan bir toplam oluşturmak için şunu göstermemiz gerekir:
U∩U⊥ = {0}. Bu kalıplar, eğer U veu∈U⊥ ise u u = 0⇔u = 0 olduğu için izler.
Son olarak, herhangi bir w ∈ W vektörünün U ⊕ U⊥ içinde olduğunu gösteriyoruz. (W'nun sonlu boyutlu olduğu varsayımını kullandığımız yer burasıdır.) E1, ..., tr, U. Set için bir birimdik taban olsun:
u = (w e1) e1 + ··· + (w en) en∈U, u⊥ = w − u.
U⊥ ∈ U⊥ olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bkz. Gram-Schmidt prosedürü). Sonra w = u + u⊥, yani w ∈ U ⊕ U⊥ olur.
Örnek :
R4'teki orijinden geçen herhangi bir L hattını düşünün. O halde L bir alt uzaydır ve L⊥, L'ye ortogonal olan 3 boyutlu bir alt uzaydır. Örneğin, R4'te bir çizgi olalım. Sonra bakalım;
Gram-Schmidt prosedürü kullanılarak L⊥ için ortogonal bir temel de bulunabilir. Küme, L⊥ için bir temel oluşturur, bu nedenle, önce temeli ve sonraki temeli olarak sıralarız, v1⊥ = v1 ayarladık. Sonra
Dolayısıyla küme, L⊥ için ortogonal bir temel niteliğindedir. Her bir temel vektörü uzunluk verimleri ve L⊥ için orto normal temele bölerek elde edilir.
Dahası, R4'ün bir doğruya ve onun üç boyutlu ortogonal tamamlayıcısına ayrışmasına sahibiz.
Herhangi bir U alt uzayı için, alt uzayın (U⊥) ⊥ tekrar U olduğuna dikkat edin. Bu nedenle ⊥, bir vektör uzayının alt uzayları kümesindeki bir evrimdir. (Fatura, iki kez gerçekleştirilen herhangi bir matematik işlemidir ve hiçbir şey yapmaz.)
Sorunları İnceleyin
Okuma Problemleri
Gram-Schmidt
Ortogonal özbasi
Ortogonal tamamlayıcı
1.D = 0 λ olsun.
(a) D'yi e1 ve e2 vektörleri ve bunların devrikleri cinsinden yazın.
a b
(b) P = c d'nin tersinir olduğunu varsayalım. D'nin benzer olduğunu gösterin
1 λ1ad - λ2bc - (λ1 - λ2) ab M = ad − bc (λ1 −λ2) cd −λ1bc + λ2ad
(c) a, b ve c, d vektörlerinin ortogonal olduğunu varsayalım. Bu durumda M hakkında ne söyleyebilirsiniz? (İpucu: MT'nin neye eşit olduğunu düşünün.)
2. S = {v1, ..., vn} 'nin Rn için ortogonal (ortonormal değil) bir temel olduğunu varsayalım. O halde, bazı ci sabitleri için herhangi bir v vektörünü v = i civi olarak yazabiliriz. Ci sabitleri için v cinsinden bir formül ve S'deki vektörler bulun.
3. u, v, R3'te doğrusal bağımsız vektörler olsun ve P = span {u, v} u ve v'nin kapsadığı düzlem olsun.
(a) Isthevectorv⊥: = v − u · vuintheplaneP? u · u
(b) v⊥ ve u arasındaki (kosinüsü) açısı nedir?
(c) Hem u'ya hem de v⊥'ya dik üçüncü bir vektörü nasıl bulabilirsin?
(d) R3 için u ve v'den ortonormal bir temel oluşturun. (e) Soyut formülünüzü test edin.
u = 1,2,0 ve v = 0,1,1.
4. Aşağıdaki prosedürü kullanarak (1,1,1,1) içeren R4 için ortonormal bir temel bulun:
(a) Vektöre dik bir vektör seçin
V1 = (1 1 1 1)
matris denkleminin çözüm kümesinden v 1T x = 0.
X2'nin katsayısı olan standart Gauss eliminasyon prosedüründen elde edilen vektör v2'yi seçin.
(b) Matris denkleminin çözüm kümesinden hem v1 hem de v2'ye dik bir vektör seçin.
Katsayı olarak x3 ile standart Gauss eliminasyon prosedüründen elde edilen vektör v3'ü seçin.
(c) Matris denkleminin çözüm kümesinden v1, v2 ve v3'e dik bir vektör seçin.
Katsayı olarak x3 ile standart Gauss eliminasyon prosedüründen elde edilen vektör v4'ü seçin.
(d) Yukarıda elde edilen dört vektörü normalize edin.
5. İç ürünü kullanın
f · g: = f (x) g (x) d (x)
{1, x, x2, x3} vektörleri kümesinde Gram-Schmidt prosedürünü gerçekleştirmek için V = span {1, x, x2, x3} vektör uzayında.
6. İç ürünü kullanın
f · g: = f (x) g (x) d (x)
V = span {sin (x), sin (2x), sin (3x)} vektör uzayında {sin (x), sin (2x), sin (3x) vektörleri kümesi üzerinde Gram-Schmidt prosedürünü gerçekleştirmek için }. Vektör uzayı için ortonormal bir temel oluşturmaya çalışın aralık {gx (nx) | n ∈ N}.
Matrisler – (23) – Gram-Schmidt Prosedürü – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için…
