Matrisler (18) – Öz Uzay – Matrisler Ödev Yaptırma

Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

Örnek :

V düzün vektör uzayı olsun (yani sonsuz türevlenebilir) fonksiyonlar f: R → R. O zaman türev doğrusal bir operatördür d: V → V. Türevin özvektörleri dx nedir? Bu durumda, üzerinde çalışacağımız bir matrisimiz yok, bu yüzden yapmak zorundayız.

Bir f fonksiyonu, dx d f = λf olacak şekilde bir λ sayısı varsa, d’nin bir özvektörüdür. dx açık bir aday üstel fonksiyondur, eλx; gerçekten, d eλx = λeλx.

Öz Uzay

Önceki örnekte, iki özvektör bulduk

L için, her ikisi de özdeğere sahip 1. Dikkat edin, özdeğeri 1 olan L’nin özvektörüdür. Aslında, herhangi bir doğrusal kombinasyon;

Bu iki özvektörden biri, aynı öz değere sahip başka bir özvektör olacaktır.
Daha genel olarak {v1, v2,. . .} aynı özdeğeri λ olan bazı doğrusal dönüşüm L’nin özvektörleri olabilir. Vi’nin doğrusal bir kombinasyonu şu şekilde verilir:

c1v1 + c2v2 + ··· bazı sabitler için c1, c2, …. Sonra
L (c1v1 + c2v2 + ···) = c1Lv1 + c2Lv2 + ··· doğrusallığına göre L = c1λv1 + c2λv2 + ··· çünkü Lvi = λvi
= λ (c1v1 + c2v2 + ···).

Dolayısıyla, vi’nin her lineer kombinasyonu, aynı özdeğeri λ olan L’nin bir özvektörüdür. Basit bir ifadeyle, özvektörlerin herhangi bir toplamı, aynı özdeğerleri paylaşıyorlarsa yine bir özvektördür.

Özdeğer λ olan tüm vektörlerin uzayına özuzay denir. Aslında, daha büyük V vektör uzayı içinde yer alan bir vektör uzayıdır. L0V = 0V = λ0V olduğundan 0V içerir ve yukarıdaki hesaplama ile toplama ve skaler çarpma altında kapanır. Diğer tüm vektör uzayı özellikleri, V’nin kendisinin bir vektör uzayı olması gerçeğinden miras alınır. Başka bir deyişle, alt uzay teoremi (9.1.1, bölüm 9), Vλ: = {v ∈ V | Lv = 0} ‘nin V’nin bir alt uzayı olmasını sağlar.

Sorunları İnceleyin

Okuma Problemleri
Karakteristik polinom
Özdeğerler
Öz uzay
Özvektörler
Karmaşık özdeğerler

1. ansatz kullanarak ∂2y / ∂t2 = ∂2y / ∂x2 titreşimli tel problemine daha fazla çözüm bulmaya çalışın.

y (x, t) = günah (ωt) f (x).

F (x) hangi denkleme uymalıdır? Bunu bir özvektör denklemi olarak yazabilir misin? Dizenin uzunluğu L ve f (0) = f (L) = 0 olduğunu varsayalım. F (x) için herhangi bir çözüm bulabilir misiniz?
􏰍
2. M = 0 2 olsun. M’nin tüm özdeğerlerini bulun M’nin doğrusal olarak iki değeri var mı?
bağımsız özvektörler? M matrisinin köşegen olduğu bir temel var mı? (Yani M köşegenleştirilebilir mi?)

3. L: R2 → R2’yi 􏰍x􏰎 􏰍 xcosθ + ysinθ􏰎 L y = −xsinθ + ycosθ ile düşünün. 􏰍1􏰎 􏰍0􏰎

(a) Satır Temelinin 0, 1 matrisini yazın.
(b) θ ̸ = 0 olduğunda, L’nin düzlemde nasıl davrandığını açıklayın. Bir resim çizin.
(c) L’nin değişmeyen yönlere sahip olmasını bekliyor musunuz? (Ayrıca özel θ değerlerini de düşünün.)
(d) L (v) = λv denklemini çözerek L için gerçek özdeğerler bulmaya çalışın.
√
(e) i = var olduğunu varsayarak, L için karmaşık özdeğerler var mı?

4. L, aşağıdaki gibi verilen doğrusal dönüşüm L: R3 → R3 olsun.
L (x y z) = (x + y, x + z, y + z)

Ei, i’inci konumda bir ve diğer tüm konumlarda sıfır olan vektör olsun.

(a) Her i = 1,2,3 için Lei’yi bulun.
(b) M = (m1, m2, m3) matrisi verildiğinde. her bir i için m31 M1 hakkında ne söyleyebilirsiniz?
(c) L’yi temsil eden 3 × 3 bir M matrisi bulun.
(d) M’nin özvektörlerini ve özdeğerlerini bulun.

5. A, özdeğeri λ olan özvektör v olan bir matris olsun. V’nin aynı zamanda A2 için bir özvektör olduğunu gösterin ve karşılık gelen öz değeri bulun. An için n ∈ N’ye ne dersiniz? A’nın tersinir olduğunu varsayalım. V’nin aynı zamanda A − 1 için bir özvektör olduğunu gösterin.

6. Bir izdüşüm, P2 = P olacak şekilde bir doğrusal operatör P’dir. Bir izdüşüm P için v, özdeğeri λ olan bir özvektör olsun, λ’nın tüm olası değerleri nelerdir? Her projeksiyonun en az bir özvektörü olduğunu gösterin.
Her karmaşık matrisin en az 1 özvektörü olduğuna dikkat edin, ancak herhangi bir alan için yukarıdakileri kanıtlamanız gerekir.

7. Bir n × n matrisin karakteristik polinomunun n derece derecesine sahip olduğunu açıklayın. Bazı basit örneklerle başlayarak açıklamanızın okunmasını kolaylaştırın ve ardından genel bir açıklama yapmak için determinantın özelliklerini kullanın.

8. M = (a b c d) matrisinin karakteristik polinomu PM’yi (λ) hesaplayın
Şimdi, polinomları kare matrisler üzerinde değerlendirebildiğimiz için,
M’yi karakteristik polinomuna koyun ve PM (M) matrisini bulun.

Bu hesaplamadan ne buluyorsunuz? Benzer bir şey 3 × 3 matrisler için geçerli mi? (Bunu yanıtlamak için M matrisinin köşegen olduğunu varsaymayı deneyin.)

9. Ayrık dinamik sistem. M, M = (3 2, 2 3) ile verilen matris olsun.
Herhangi bir v (0) = (x0 y0) vektörü verildiğinde
Herhangi bir v (0) = y (0) vektörü verildiğinde, kuralı kullanarak v (1), v (2), v (3) ve benzerlerinden oluşan sonsuz bir dizi oluşturabiliriz:
Tüm doğal sayılar t için v (t + 1) = Mv (t). (Bu, başlangıç koşulu olan ayrık bir dinamik sistem olarak bilinir.

(a) M’nin tüm özvektörlerini ve özdeğerlerini bulun.
(b) Tüm v (0) vektörlerini bulunuz
v (0) = v (1) = v (2) = v (3) = · · ·
(Böyle bir vektör, dinamik sistemin sabit noktası olarak bilinir.)
(c) v (0), v (1), v (2), v (3), olacak şekilde tüm v (0) vektörlerini bulun. . . hepsi aynı yönü gösteriyor. (Bu tür herhangi bir vektör, dinamik sistemin değişmez bir eğrisini tanımlar.)

Köşegenleştirme

Doğrusal bir dönüşüm verildiğinde, matrisini özvektörlerin temeline göre yazmak oldukça arzu edilir.

Köşegenleştirilebilirlik:

Şanslı olduğumuzu ve L: V → V’ye sahip olduğumuzu ve sıralı temel B = (v1,.., Vn) L için özdeğerleri λ1 olan bir özvektörler kümesidir. . . , λn. Sonra:
L (v1) = λ1v1
L (v2) = λ2v2
L (vn) = λnvn

Sonuç olarak, B özvektörlerinin temelindeki L matrisi köşegendir:

köşegen dışındaki tüm girişler sıfırdır.

d'nin bir özvektörü Karakteristik polinom Karmaşık özdeğerler Köşegenleştirme Matris Nasıl Hesaplanır Matrisler (18) – Öz Uzay – Matrisler Ödev Yaptırma Okuma Problemleri Öz uzay Özdeğerler Özvektörler Sorunları İnceleyin

Matrisler (18) – Öz Uzay – Matrisler Ödev Yaptırma