Matrisler (17) – Değişmeyen Yönler – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Değişmeyen Yönler
Bir önceki yazımızın sonunda değişmeyen yönlerin formülünü içeren bir resim paylaşmıştık. Şimdi son resmi elde edip edemeyeceğimizi görmek için açık bir örnek deneyelim:
Örnek :
Doğrusal dönüşümü L düşünün, öyle ki;
standart temeldeki L matrisi bir vektörün bir yön ve büyüklük olduğunu hatırlayın; (1 0) veya (0 1) değişikliklerine uygulanan L ona verilen vektörlerin hem yönü hem de büyüklüğüdür. Bunun için aşağıdaki örneğe dikkat edin;
Şekil 12.1: Özdeğer-özvektör denklemi muhtemelen doğrusal cebirde en önemli olanıdır.
Sonra L, v1 = 3/5 vektörünün yönünü (ve aslında aynı zamanda büyüklüğünü) sabitler.
Şimdi, v1 ile aynı yöne sahip herhangi bir vektörün bir sabit c için cv1 olarak yazılabileceğine dikkat edin. O halde L (cv1) = cL (v1) = cv1, yani L, v1 ile aynı yönü gösteren her vektörü sabitler.
Ayrıca aşağıdaki duruma da dikkat etmeniz gerekir.
Bu nedenle L, v2 = (1/2) vektörünün yönünü sabitler ancak v2’yi 2 çarpanıyla genişletir.
Şimdi herhangi bir sabit c, L (cv2) = cL (v2) = 2cv2 olduğuna dikkat edin. Sonra L, v2 ile aynı yönü gösteren her vektörü 2 çarpanıyla uzatır.
Kısaca, doğrusal bir dönüşüm L verildiğinde, Lv = λv olacak şekilde bir v ̸ = 0 vektörü ve λ ̸ = 0 sabitini bulmak bazen mümkündür. Vektörün yönüne v değişmez yön diyoruz. Aslında, aynı yönü gösteren herhangi bir vektör de bu denklemi karşılar çünkü L (cv) = cL (v) = λcv.
Daha genel olarak, çözen sıfır olmayan herhangi bir vektör;
L (v) = λv olarak formüle edilir.
L’nin özvektörü olarak adlandırılır ve λ (artık sıfır olması gerekmez) bir özdeğerdir. Burada gerçekten ilgilendiğimiz tek şey yön olduğundan, o zaman herhangi bir başka vektör cv (c ̸ = 0 olduğu sürece) eşit derecede iyi bir özvektör seçimidir. “U ve v aynı yönü gösteriyor” ilişkisinin bir eşdeğerlik ilişkisi olduğuna dikkat edin.
Matrisli doğrusal dönüşüm L örneğimizde (-4 -10, 3 7),
L’nin sırasıyla özvektörler 1 ve 2 olan özvektörler v1 ve v2 ile temsil edilen iki değişmez yöne sahip olma özelliğine sahip olduğunu gördük. Herhangi bir w vektörünü v1 ve v2’nin doğrusal kombinasyonu olarak yazabilirsek çok uygun olur. Bazı sabitler r ve s için w = rv1 + sv2 varsayalım.
Sonra
L (w) = L (rv1 + sv2) = rL (v1) + sL (v2) = rv1 + 2sv2.
Şimdi L sadece r sayısını 1 ve s sayısını 2 ile çarpar. Bunu bir matris olarak yazın, şöyle görünecektir: (1 0) (0 2) (s t) normal senaryodan çok daha düzgün olan
L (x y) = (a c, b d) (x y)m = (ax + by, cx + dy) şeklinde görünecektir.
Burada s ve t, v1 ve v2 vektörleri cinsinden w’nin koordinatlarını verir. Önceki örnekte, vektörü L matrisiyle çarptık ve karmaşık bir ifade bulduk. Bu koordinatlarda, L’nin köşegen girişleri tam olarak L’nin özdeğerleri olan çok basit bir köşegen matrisi olduğunu görüyoruz.
Bu sürece köşegenleştirme denir. Karmaşık doğrusal sistemleri analiz etmeyi çok daha kolay hale getirir.
Artık özdeğerlerin ve özvektörlerin ne olduğunu gördüğümüze göre, yanıtlanması gereken birkaç soru var.
• Özvektörleri ve özdeğerlerini nasıl buluruz?
• Verilen bir özdeğer ve (bağımsız) özvektör kaç özdeğer yapar
doğrusal dönüşüm var mı?
• Doğrusal bir dönüşüm ne zaman köşegenleştirilebilir?
Doğrusal bir dönüşüm için özvektörleri bulmaya çalışarak başlayacağız.
Çözüm sürecimiz şöyleydi:
1. 1 det (λI − M) ile verilen, L için matris M’nin karakteristik polinomunu bulun.
2. Karakteristik polinomun köklerini bulun; bunlar L’nin özdeğerleridir.
3. Her bir özdeğer için λi, doğrusal sistemi (M – λiI) v = 0 çözerek λi ile ilişkili bir özvektör v elde edin.
Jordan Blok Örneği
Önceki bölümde bölümde, R2 → R2 doğrusal dönüşümler durumunda özdeğerler ve özvektörler fikrini geliştirdik. Bu bölümde fikri daha genel olarak geliştireceğiz.
Özdeğerler
Tanım Eğer L: V → V doğrusaldır ve bazı skaler λ ve v ̸ = 0V Lv = λv ise.
o zaman λ, özvektör v ile L’nin bir özdeğeridir.
Bu denklem, L altında v’nin yönünün değişmez (değişmemiş) olduğunu söyler. Bu denklemi matrisler açısından daha iyi anlamaya çalışalım.
V, sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun ve L: V → V olsun. V için bir temele sahipsek, L’yi kare matris M ile temsil edebilir ve homojen sistemi çözerek özdeğerleri λ ve ilişkili özvektörler v’yi bulabiliriz.
(M – λI) v = 0.
Bu sistemin sıfır olmayan çözümleri vardır ancak ve ancak matris
M – λI tekildir ve bu nedenle
det (λI – M) = 0.
Bu denklemin sol tarafı, M’nin karakteristik polinomu PM (λ) olarak adlandırılan λ değişkenindeki bir polinomdur. N × n matris için, karakteristik polinomun derecesi n’dir. ,
Sonra
PM (λ) = λn + c1λn − 1 + ··· + cn. PM (0) = det (−M) = (−1) n det M olduğuna dikkat edin.
Şimdi aşağıdakileri hatırlayın.
Teorem. (Cebirin Temel Teoremi) Herhangi bir polinom, C üzerinden birinci dereceden polinomların çarpımına ayrılabilir.
Bu teorem, n karmaşık sayıların λi (muhtemelen tekrarlı) bir koleksiyonunun var olduğunu ima eder, öyle ki
PM (λ) = (λ − λ1) (λ − λ2) ··· (λ − λn) = ⇒ PM (λi) = 0.
M’nin özdeğerleri λi tam olarak PM’nin (λ) kökleridir. Bu özdeğerler gerçek, karmaşık veya sıfır olabilir ve hepsinin farklı olması gerekmez. Verilen herhangi bir λi kökünün özdeğerler koleksiyonunda görünme sayısına çokluğu denir.
Örnek :
L doğrusal dönüşüm L olsun: R3 → R3
Standart temelde, L’yi temsil eden M matrisinin her i için Lei sütunları vardır, bu nedenle:
O halde L’nin karakteristik polinomu
Yani L’nin özdeğerleri λ1 = 1 (çokluk 2 ile) ve λ2 = 4 (çokluk 1 ile) vardır. Her bir özdeğerle ilişkili özvektörleri bulmak için, her i için homojen sistemi (M – λiI) X = 0 çözeriz.
λ = 4: Doğrusal sistem için artırılmış matrisi kuruyoruz:
T (-1-1 1) biçimindeki herhangi bir vektör, özdeğeri 4 olan bir özvektördür; bu nedenle L1, başlangıçta değişmeyen bir çizgi bırakır.
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Değişmeyen Yönler Jordan Blok Örneği Karmaşık doğrusal sistemleri analiz etme L'nin özvektörü Matrisler (17) – Değişmeyen Yönler – Matrisler Ödev Yaptırma sıfır olmayan herhangi bir vektör