Özvektör Açılımları
Katı hal fiziğinde, örneğin yoğunluk fonksiyonel teorisi ile hesapladığımız için, sistemimizin özdeğerlerini ve özvektörlerini bildiğimiz durumla sık sık karşılaşırız. Bu durumda sistemin Green fonksiyonunu türetmek çok basittir. Bir parçacık elektron durumlarıyla tanımlanan bir sistemin çözümünü ele alalım. Sistemin denklemi verir.
Burada i ve ψi(r), i bant indeksli çözümlerdir. Eksiksiz çözüm kümesi, tam bir ortonormal işlev kümesi oluşturur, böylece her işlev özfonksiyonlar ψi(r) içinde genişletilebilir.
Türetmemize giren tek varsayım, Hamiltoniyen'imiz için tam bir ortonormal özfonksiyonlar kümesinin varlığı olduğundan, sonuç oldukça genel olarak geçerlidir; bu, karmaşık eşleniği transpoze etmek ve almak, bir (gecikmeli) Green fonksiyonunu diğerine (gelişmiş) dönüştürür.
Pratik bir bakış açısından bu, bunlardan birinin gerçekten gereksiz olduğu anlamına gelir: bu nedenle, Green'in bir sistem işlevinden bahsederken, aşağıdaki sunumu gecikmiş Green'in işleviyle sınırlayacağız.
Bu türevin, yalnızca sistemin özfonksiyonlarını Schrodinger denkleminin benzersiz bir potansiyele sahip çözümleri olarak temsil edebiliyorsak geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. Yoğunluk fonksiyonel teorisinde olduğu gibi, elektron etkileşimlerine ortalama alan yaklaşımlarında genellikle durum budur.
Çok gövdeli bir bağlamda, aynı sonuç mutlaka doğru değildir. Aslında, daha sonra görüleceği gibi, şu anda ulaşım problemimiz için bulabileceğimiz tek çözüm, etkileşimlerin etkileşmeyen hafif bozulmaları olarak görüldüğü pertürbasyon teorisine dayanmaktadır.
Fonksiyonlar ve Saçılma Matrisleri
Bu konudan saptıktan ve Green fonksiyonlarını tanıttıktan sonra, artık saçılma matrisi S'ye ikinci kez bakabilecek durumdayız. İlk olarak, saçılma matrisinin genliklerden ziyade akımlara dayalı olarak tanımlandığını hatırlayalım.
Teorik modelimizi genliklere dayandırırsak, değişiklik yapmalıyız. İletken genlikleri tA(B)←B(A) İletkenin zıt taraflarında bulunan A ve B uçlarındaki zA = 0 ve zB = 0 noktalarını birleştiren fonksiyonunu hesaplamak istiyoruz.
Önceki sonuçlardan, zA = 0'daki bir birim uyarımın iki sonucu olduğunu biliyoruz: iletkenden uzakta A1 = +i/v genlikli bir dalgaya ve yönde A2 = −i/v genlikli bir dalgaya yol açar. kondüktörün. İletkene doğru dalga, iletken tarafından saçılır, B ucuna yayılmak için iletim genliği tB←A'dır. Dolayısıyla Green fonksiyonu için yazabiliriz.
1980'lerde türetilen bu ilişki, bir arayüz aracılığıyla taşıma özelliklerini bu arayüzün Green fonksiyonuyla ilişkilendirir. Green fonksiyonları mevcut elektronik yapı yöntemleri ile hesaplanabildiğinden, taşınım teorisindeki modern simülasyon tekniklerinin teorik temellerinden biridir.
Matris özdeğer ve özvektör Bulma
Özvektör nedir
Özdeğer ve özvektör pdf
Özdeğer ve özvektör nedir
Matris özdeğer nedir
Özdeğer ve Özvektör örnekleri
Matris özvektör Bulma
Lineer Cebir Özdeğer özvektör
Çoklu Kanallar İçin Saçılma Matrisleri
Çoklu yayılma modlarına sahip bir telde, z boyunca uzanan Green fonksiyonunu, r2 = (x,y) ile A±m genlikleri ve enine dalga fonksiyonları χm(r2) ile modüle edilmiş z boyunca bir düzlem dalga olarak yazabiliriz. Genellik kaybı olmadan, bu enine dalga fonksiyonlarının gerçek olduğu varsayılır.
Potansiyel U(r2), elektron hareketini r2 yönünde sınırlar; dalga fonksiyonları χm(r2) ortogonaldir, çünkü ayrı bir özdeğerler kümesi için iki boyutlu Hamiltoniyenin spektrumunu temsil ederler. Kanıtlama amacıyla, onların gerçek olduklarını da varsayarız.
Şimdi iki ucumuz olduğunu düşünün: m'li kurşun A ve n iletken kanallı kurşun B. Ardından, iletkenin zıt taraflarındaki iki nokta arasındaki Green işlevi değiştirilmelidir.
Genel olarak, iletim fonksiyonunu ve dolayısıyla bir cihaz aracılığıyla elektron yayılımı için iletim olasılığını veren saçılma matrisinin elemanları ile ilgilenilir. Bu elemanlar yukarıdaki denklemden χm(r2(A))χn(r2(B)) ile çarpılarak ve d2r üzerinden integral alınarak, dalga fonksiyonları χ için diklik koşulundan yararlanılarak elde edilir.
Burada, r2'nin A ucu içinde ve r2'nin B ucu içinde olduğu şeklindeki açık gösterimi kaldırdık. Ayrıca, bu denklemin tüm bileşenlerinin enerji bağımlılıklarını koruduğuna dikkat edin.
Şimdiye kadar elektronların bir iletkenin bir tarafından diğer tarafına yayılmasını tanımladık. İletim olasılığını hesaplamak için gereken anahtar niceliklerin, iletkenin zıt taraflarındaki iki nokta arasındaki belirli bir geçiş için Green fonksiyonları GR veya yayıcı olduğu bulundu.
Bunlar da saçılma matrisiyle ilişkilidir ve saçılma matrisinin tüm öğelerinin toplamı bize Fisher-Lee denklemi yoluyla istenen iletim olasılığını verir.
Bununla birlikte, bir iletken ve iki sonsuz uç içeren bir sistemin Green fonksiyonlarını hesaplamak genellikle imkansızdır, çünkü uçların elektronik yapı ve iletken içindeki yayılma üzerinde bir etkisi olacaktır. Bu etkinin hesaplamaya dahil edilmesi gerekir. Bu amaca yönelik genel strateji, iletkenin kendi sınırlarındaki sonsuz uçların etkisini belirlemektir.
Sonlu Farklar Yöntemi
İlgili prosedürleri anlamak için başlangıçta, a'nın bir sabit olduğu, zj − zj−1 = a mesafesinde eşit aralıklı ayrık kafes noktalarına sahip basit bir tek boyutlu sistemi ele alıyoruz. Daha sonra sistemin Hamilton operatörü verilir.
Potansiyel V(z) de her kafes noktasında tanımlanır, V için Vj yazarız (z = ja). H'yi eşit olarak ayrıklaştırılmış bir f(z) fonksiyonu ile çarparak, z = ja noktası için aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz.
Sonlu farklar yöntemi, adını diferansiyellerin ele alınmasından alır. f(z = ja)'nın birinci türevi için f (z = (j + 1/2)a) ve f (z = (j − 1/2)a) değerleri arasındaki sonlu farkı dikkate alabiliriz.
Tek boyutlu Schrödinger denklemi daha sonra, matrisin her satırının yalnızca üç eleman içerdiği bir matris denklemine dönüştürülür: köşegen eleman ve onun iki komşusu. Hamiltonian'ın atomik yörünge temsilinde böyle bir matris, yalnızca köşegen ve en yakın komşulara "atlamalı" parametreleri içerdiğinden, "sıkı bağlayıcı" matris olarak bilinir.
Sonsuz bir ucu düşündüğümüz için, H matrisi sonsuz boyutludur. Matrisi z = ja = 0 noktasına yakın ele alırsak, bileşenleri açıkça yazabiliriz. Bir sistemin Hamilton matrisine sahip olduğumuzda, Green fonksiyonu basitçe reçeteye göre ters matristir.
Bununla birlikte, küçük bir sorun var: sonsuz bir teli düşündüğümüz için matris sonsuz boyutludur. Sonsuz bir matrisi tersine çevirmek mümkün değildir, bu nedenle kurşunun özellikleriyle başa çıkmak için dolaylı bir yaklaşım düşünmeliyiz.
Bu amaçla önce bir iletken ve bir sonsuz kurşun içeren bir sistemi ayrı tanımlanan iki alt sisteme ayırıyoruz. Sistemin genel fonksiyonu daha sonra aşağıdaki şekilde alt matrislere bölünebilir.
Birkaç manyetik malzeme katmanıyla kaplanmış manyetik olmayan uçların kullanıldığı ikinci yöntemin öncülüğünü yine Almanya’daki Hamburg Üniversitesi’nden farklı bir grup yaptı. Gelişmenin ayrıntılı bir açıklaması yakın tarihli bir incelemede verilmiştir.
Bir tungsten taban üzerinde kaplanmış uçların imalatının ayrıntılı bir açıklaması verilmektedir. Kaplanmış bir tungsten ucunun (a) taramalı elektron görüntülerini, uç tepesinin (b) yüksek çözünürlüklü görüntüsünü ve manyetik kaplamalı (c) tepe eğriliğinin bir taslağını gösteriyoruz. Yaklaşık 2 nm’lik manyetik kaplama, ucun tepe yarıçapına (1000 nm aralığında) kıyasla çok incedir.
Bu özel geometri, malzemenin kimyasal yapısına bağlı olarak mıknatıslanma üzerinde farklı etkilere sahiptir. 3-10 tekli Fe tabakası için, uç genellikle düzlem içi mıknatıslanmaya duyarlıdır.
7–9 Gd tek tabakası veya 25–45 Cr tek tabakası için, düzlem dışı mıknatıslanmaya duyarlıdır. Değişim, esas olarak, manyetik alanın uç eksenine paralel bir yönelimini destekleyen ucun şekil anizotropisi ile sıklıkla yüzeye paralel bir yönelimi destekleyen yüzey anizotropisi arasındaki rekabetten kaynaklanmaktadır.
Bununla birlikte, SEM görüntülerindeki büyük tepe yarıçapı göz önüne alındığında, tepe bir noktada manyetik malzemenin bir veya yalnızca birkaç atomundan oluşan bir çıkıntı içermedikçe, atomik çözünürlüğün nasıl elde edilebileceği çok net görünmüyor.
Bu durumda, yüzey tabakasının geniş manyetik alanı, çıkıntı yapan atomların elektronlarını kaplamadaki mıknatıslanma yönüne göre ayarlamaya zorlamalıdır. Etki, harici bir manyetik alandaki manyetik malzeme ile aynıdır: spin durumlarının simetrisi bozulur ve spin-up ve spin-down yük katkıları, manyetik eksen boyunca hizalanır.
Tanımlanmış manyetik özelliklere sahip STM uçlarının üretimi tamamlandıktan sonra, düşük sıcaklık deneylerinde dönüş durumlarının ölçümleri mümkün hale geldi. Bununla birlikte, anizotropinin manyetik alanın yönü üzerindeki etkisi dışında, ince filmlerin manyetik özellikleri çok heyecan verici değildir.
Bu nedenle deneyler başlangıçta teorinin düşük boyutlu yapılarda olduğu gibi büyük anizotropi etkilerini öngördüğü sistemlere odaklandı. Bu alanda, Hamburg’daki grup bazı öncü araştırmalara imza attı. Örnek olarak, krom katmanlarının antiferromanyetik eşleşmesini spin polarize STS ile çözen Cr(001) üzerinde yapılan son teknoloji deneyler, tekniğin son on beş yıl içinde nasıl geliştiğini göstermektedir.
Deneysel sonuçlar gösterilir. Cr(001) yüzeyi, Fermi seviyesinin yakınında dI/dV spektrumunun belirgin bir zirvesi olarak ortaya çıkan bir yüzey durumuna sahiptir. Demir kaplı bir tungsten uçla alınan soldaki spektrum bu özelliği ortaya koyuyor, ancak yüzey durumunun yüksekliği bir terastan diğerine değişiyor, bu da bitişik terasların manyetik özelliklerinin farklı olduğunun açık bir göstergesidir.
Topografik bir görüntü, bitişik teraslar ters bir manyetik momente sahip olacak olsa da, basamak yüksekliğinin aslında oldukça sabit olduğunu gösterir. Bu, manyetik kontrastın genellikle topografik görüntülerde görünemeyecek kadar düşük olduğunu gösterir.
Bununla birlikte, bitişik teraslarda iletkenliğin yüksekliği ölçülürse, yaklaşık %10 oranında değişir: bu değişiklik, iletkenliğin yerel bir haritasında (sağda gösterilmektedir) görünür hale getirilebilir ve manyetik alanın periyodik değişikliklerini açıkça gösterir.
Mikroelektronik endüstrisinde neredeyse kusursuz silikon örneklerine olan ihtiyaç, temiz, pürüzsüz silikon yüzeyleri verimli bir şekilde hazırlamak için tekniklerin iyileştirilmesini sağlamıştır. Sonuç olarak, iyi silikon örneklerinin mevcudiyeti, adsorpsiyon, büyüme, manipülasyon ve tabii ki SPM tekniklerinde bir kıyaslama yüzeyi olarak kullanımını teşvik etmiştir.
Daha önce bahsedildiği gibi, her ikisinde de ilk atomik olarak çözülmüş görüntüler silikon (111) yüzeyinde elde edildi. Şimdi bile, silikon (111) üzerindeki atomik çözünürlük, herhangi bir acemi SPM maceraperestinin ilk hedefi olmaya devam ediyor. Bu haliyle, görüntülerin kalitesinin ve bir deneyden elde edilebilecek bilgilerin nasıl geliştiğine dair mükemmel bir örnek sunuyor.
Silikonun oda sıcaklığında kararlı yüzeyi, ilk olarak transmisyon elektron mikroskobu (TEM) ve kırınım (TED) tarafından gözlemlenen ve gösterilen oldukça karmaşık (111) 7×7 rekonstrüksiyonudur. Bu yüzeyin ilk atomik olarak çözülmüş SFM görüntüsü, bugüne kadar önemli tartışma konuları olmaya devam eden birçok özelliği göstermektedir.
Görüntüdeki parlak noktalar Si(111) atom kafesinin periyodikliğine sahip olsa da, bu hikayenin sonu değil. Kontrast deseni görüntü genelinde tutarlı değil, görüntünün alt kısmındaki çözünürlük zayıf, bazı noktalarda kayboluyor, ancak diğer noktalarda da çok canlı hale geliyor.
Bu davranış, uç dengesizliklerinin ve değişikliklerinin karakteristiğidir. SFM’deki kontrast, ucun ucunun mikroskobik doğasına karşı çok hassastır ve bu değişirse görüntü kontrastı da değişir. Uç dengesizlikleri konusu, bu çalışma boyunca birkaç kez tekrar ele alınacaktır.
Bu görüntüde tanıtılan SFM görüntülemenin eşit derecede önemli ikinci bir yönü, tanımlamadır. Görüntülenmekte olan yüzeyin yapısından oldukça emin olabilsek de, bir SFM’nin bu yapıyı nasıl görüntüleyeceğinden eşit derecede emin olamayız. Genel olarak, parlak noktaların yüzeyin en üst katmanını mı yoksa daha derin bir atomik katmanı mı, hatta birkaç katmanın kıvrımını mı temsil ettiğinden emin olamayız.
Bu karmaşık rekonstrüksiyon için, parlak noktaları yüzeydeki köşe ve merkez adatomlarına atamak mümkündür, ancak göreceğimiz gibi, diğer birçok yüzey için parlak noktalara kimlik atamak önemli bir zorluktur.
Düşük sıcaklıklı SFM’nin geliştirilmesi, silikon (111) yüzeyinde çözünürlük sınırlarını zorlamak ve ayrıca bazı teorik tahminleri test etmek için başka bir fırsat sundu. İlk düşük sıcaklık görüntüleri, ilk oda sıcaklığı çalışmalarına göre dikkate değer bir gelişme göstermektedir.
Termal gürültü ve sürüklenmedeki azalma, hassasiyette önemli bir artış sağlar ve ortaya çıkan görüntüler çok yüksek kaliteye sahiptir ve herhangi bir uç kararsızlığı kanıtı içermez. Negatif frekans kaymasını artırarak ve küçük bir alanı daha düşük hızlarda tarayarak, teorinin tahmin ettiği gibi, ucun yüzeydeki daha derin kalan atomlarla etkileşimini göstermek de mümkündü. Bunun aksine, durağan atom bölgelerindeki adatom pozisyonları arasında açıkça görülebilir.
