Fermi Dağılımı
Arayüzden geçen akım, halihazırda elde ettiğimiz ifadeye eşittir, ancak uçların iki Fermi dağılımı tarafından tamamlanır (iki dönüş yönü nedeniyle 2 faktörü eklenir):
Bu nedenle, bir arayüz boyunca iletkenlik için ilişki ve denge dışı ilişkiler arasındaki tek farkın yalnızca iki özellikten kaynaklandığını söylemek doğru olur:
• Dengesiz muamelenin arayüz kısmının kendi kendine tutarlı yük dağılımları yoluyla olan sonlu yanlılık.
• arayüzün kendisinde elektron-fonon etkileşimlerinin etkisi.
Bu iki özelliğin dışında, iki ayrı çerçeve içindeki tedaviler eşdeğerdir. Elektron-fonon etkileşimlerinin, örneğin tünel açma koşullarında, mevcut değerleri %5'ten daha az değiştirdiği göz önüne alındığında, genellikle elastik taşıma modellerine güvenmek güvenli görünmektedir.
Standart DFT Yöntemleri
Taşıma teorisi üzerine olan bu son bölümde, iki uçlu bir cihazdaki akımları hesaplamak için mevcut yöntemlerin taslağını çıkaracağız. Bir yandan problemin yerel orbitallerin bir temel kümesi içinde nasıl çözüldüğünü açıklayacağız, diğer yandan böyle bir çözümün yoğunluk fonksiyonel teorisinin standart yöntemleri içinde nasıl elde edilebileceğini açıklayacağız.
Şu anda, bu amaca yönelik en verimli yöntemler, süper hücreler adı verilen üç boyutlu tekrar birimlerini kullanıyor. Dahası, elektron özvektörlerinin düzlem dalga açılımına dayalıdırlar.
Dolayısıyla ele almamız gereken sorun şudur: (i) öngerilim gerilimleri uygulanır uygulanmaz iletken-kurşun arayüzlerindeki sınır koşullarının eşitsizliği; (ii) düzlem dalga temel kümelerine dayalı olarak özfonksiyonların lokalizasyonu; (iii) bu koşullar altında dengesiz Green fonksiyonlarının, kontaklarının ve kendi kendine enerji terimlerinin hesaplanması; (iv) arayüz boyunca yük yoğunluğu ve kimyasal potansiyellere göre elde edilen çözeltilerin kendi kendine tutarlılığı; (v) taşıma özelliklerinin hesaplanması. Bir işlevi, herhangi bir temel sette formüle edilebilecek bir matrise dönüştüren bir dönüşümün ayrıntılı bir açıklamasıyla başlıyoruz.
Fonksiyon Matrisi
Belirli bir temel set içinde, bir sistemin Green fonksiyonunun denklemi genellikle matris formunda yazılabilir. Çıkış noktası, fonksiyonun gerçek uzay tanımıdır.
Burada Z = E + iη, geciktirilmiş Green fonksiyonu GR ile ilişkili karmaşık özdeğerdir. GA için karşılık gelen özdeğer Z∗'dir. Şimdi Green fonksiyonunu belirli bir temel sette yeniden yazıyoruz (atomik orbitaller için φm fonksiyonları sistemin atomik konumlarında ortalanır).
Z yerine Z∗ kullanarak benzer bir prosedürle geciktirilmiş fonksiyon yerine gelişmiş fonksiyona ulaşırız, böylece her iki Green fonksiyonu da matris formunda verilir.
Prensipte Green fonksiyonları η → ±0 için limitler olarak tanımlandığından, bu noktada bilinmeyen bir η parametresiyle baş başa kalmış gibi görünebiliriz. Ancak sayısal olarak, sistemimize bağlı olarak ve şu koşulla η'ya kesin bir değer atayabiliriz.
N0, sistemimizdeki elektron sayısıdır. Teknik bir bakış açısından, Green fonksiyonları ile sistem yanıtının hesaplanması için gerekli olan matris inversiyonunun bir O(N2) rutini olduğu ve bu nedenle hesaplama açısından pahalı olduğu dikkate alınmalıdır.
Bu sorunun çözümü, fonksiyonunu matris inversiyonuna dayanmadan oluşturmak için yinelemeli şemaların kapsamlı kullanımı olabilir. Dolayısıyla bu genişlemenin sonucu, belirli bir temel sette sistemin fonksiyon matrisidir.
Fermi-Dirac distribution
Fermi enerjisi formülü
Fermi seviyesi nedir
Fermi enerjisi nedir
Bose-Einstein istatistiği
Fermi enerji seviyesi
Fermiyon nedir
Tutarlılık Döngüsü
Standart DFT'de, kendi kendine tutarlılık döngüsü, daha sonra etkin potansiyeli oluşturmak için kullanılan elektron yükünün uzamsal bir dağılımı ile başlar. Etkili potansiyele dayalı Schrödinger denkleminin çözümleri, toplam yük sistemdeki elektronların sayısı olan N'ye eşit olana kadar nihayet elektronlarla doldurulur ve yeni yük dağılımı yeniden etkin potansiyeli hesaplamak için kullanılır.
Bu dolaysız ve köklü şema, dengesiz koşullar altında çalışmaz çünkü bu koşullar altındaki elektronlar ortak bir Fermi dağılımına uymazlar.
Bunun yerine, aşağıdaki gibi farklı bir döngüyle kendi kendine tutarlı çözümleri yinelemek gerekir:
1. Müşteri adaylarının kendi enerjilerini hesaplayın.
2. İkisi arasındaki Hartree potansiyelini ve Hamiltoniyeni hesaplayın, uygulanan bir önyargı voltajına yol açar.
3. Arayüzün kendi enerjilerini hesaplayın.
4. Dengesiz Green fonksiyonlarını hesaplayın.
5. Enerji üzerinden fonksiyonların integralini alarak yük yoğunluk dağılımını bulun.
6. Bir sonraki yinelemeye başlayın.
Sayısal olarak, kabataslak öz-tutarlılık döngüsünün sorunu, öz-enerjiler ve arayüzün Green fonksiyonları ile ilgili matris ters çevirmeleridir.
Müşteri Adaylarının Kendi Enerjisi
Uçların, değişen öngerilim voltajlarını hesaba katmak için uygulanan bir Hartree potansiyeli ile birkaç metal katmanından oluştuğu düşünülebilir.
Kurulum, çoğu DFT kodunun süper hücre geometrilerinde olduğu gibi periyodik olacak veya iletkenin bir tarafına iliştirilmiş uçların bir küme tanımını uygulayacaktır. Aşağıda periyodik süper hücrelere odaklanacağız; Küme hesaplamalarından tek fark, birazdan göreceğimiz gibi, Fermi fonksiyonlarının uçlardaki değişimidir. Uçların ayrı ayrı hesaplanması için kurulum gösterilmiştir.
Geciktirilmiş ve gelişmiş fonksiyon matrisleri, yukarıda açıklanan prosedürle hesaplanabilir. Bilindiklerinde, spektral fonksiyonu şu şekilde oluşturabiliriz.
Yaklaşık üç atomik katmana sahip metallerdeki bozunma uzunluğu göz önüne alındığında, kurşunun öz-enerji terimi yalnızca arayüze bitişik üç katman için hesaplanmalıdır.
Kurşun sistemi altı atomik katmandan oluşuyorsa, o zaman üç sol katman sağ kurşunun öz enerjisini, sağdaki üç katman da sol kurşunun öz enerjisini tanımlar. Periyodik bir kurulumda, her iki ucun Fermi dağılım fonksiyonları temel durum Fermi dağılımları (μ = μ0) olurken, bir küme yaklaşımı için kimyasal potansiyeller ön gerilim μ = μ0 ± eV kadar kaydırılacaktır.
Uçlar, uygulanan önyargı voltajı nedeniyle yüzey dipollerini hesaba katmak için üç ek metal katman içeren iletkene bağlanır. Kurşun arayüzünden iletkene geçişte değişen Hartree potansiyelleri göz önüne alındığında, Hartree potansiyeli ve arayüz boyunca etkin potansiyel, çizilen kendi kendine tutarlı prosedürle hesaplanmalıdır.
Sistemin Hamilton matrisi daha sonra arayüzün L katmanları için matris elemanları ve müşteri adaylarının kendi enerjileri için altı ek eleman içerir. Ortaya çıkan Hamilton matrisini genel bir şekilde yazmak, yani matristeki her katmanı yalnızca bir matris elemanı ile temsil ettiğimiz anlamına gelir.
LİNEER KLASİK ÜRETİM MODELLERİ
Klasik analizin temel unsurları, dairesel bir akış olarak üretim kavramı ve ücret mallarından sonra kalan artı ürün kavramı ve kullanılmış üretim araçlarının değiştirilmesi için gerekli olanın yıllık çıktıdan düşülmesidir.
Bu fazlalık tüketilebilir veya biriktirilebilir. Ölçeğe göre sabit getiriler ve kıt doğal kaynaklar sorununu bir kenara bırakarak, sabit bir büyüme hızında genişleyen bir ekonomi kavramı çok yakındı. Bu bölümde, klasik bir tada sahip doğrusal büyüme teorisi olarak adlandırılabilecek bazı katkılardan bahsedeceğiz.
Robert Torrens, Dış Tahıl Ticareti Üzerine Deneme’sinde, artık kavramının, kâr oranının bir açıklamasının anahtarı olduğunu açıkladı. Torrens’in modelindeki büyüme hem doğrusal hem de içseldir; büyüme oranı, genel kâr oranına ve birikim eğilimine bağlıdır.
Aynı şey, Kapital’in II. cildinin 21. bölümündeki Marx’ın genişletilmiş yeniden üretim teorisi için de söylenebilir. Orada Marx, sistemin kendisini yukarı doğru sarmal bir düzeyde yeniden üretmeye muktedir olduğu koşulları inceledi. Ekonominin içsel olarak belirlenmiş bir büyüme oranında genişlemesi mümkündür.
Bu oran, işletme ölçeğini artırmak için üretken sisteme geri sürülen artı değerin oranına bağlıdır. Marx, sermaye birikiminin “kapitalist üretim sürecinde içkin bir unsur” olduğunu vurguladı. Çünkü, “kapitalist üretimin amacı ve zorlayıcı güdüsü”, “artı-değeri kapmak ve onun kapitalizasyonu, yani birikim”dir.
Rus matematikçi Georg von Charasoff, Marx’ın analizini detaylandırdı ve bir yanda fiyatlar sistemi ile kar oranı, diğer yanda miktarlar sistemi ve büyüme oranı arasındaki temel ikilik ilişkisine dair net bir açıklama sunan muhtemelen ilk kişi oldu.
Temel argümanını, daha sonraki girdi-çıktı modelinin tüm özelliklerini sergileyen ve (Marx’ın durumunda olduğu gibi emek değerleri yerine) kullanım değerleri açısından tam olarak belirtilen birbirine bağlı (tek) bir üretim modeli çerçevesinde geliştirdi.
İçsel büyümenin en karmaşık lineer modeli, ilk olarak 1937’de Almanca olarak yayınlanan ve daha sonra 1945’te İngilizce’ye çevrilen bir makalede detaylandırılmıştır. Bu makalede von Neumann, m sabit ölçeğe göre üretim süreci tarafından üretilen n adet mal olduğunu varsaymıştır.
Hangi süreçlerin gerçekten kullanılacağını ve hangilerinin kullanılmayacağını belirlemekten ibaret olan bir teknik seçimi sorunu vardır ve bu sorun “karsız”dır. Tek tip üretim döneminin başlangıcında verilecek ve ödenecek olan “yaşamın gereklerinden” oluşan reel ücret oranını aldı, yani ücretleri yatırılan sermayenin ve dolayısıyla fiziki reel ücretin bir parçası olarak gördü.
Buna ek olarak, “yaşamın gerekliliklerini aşan tüm gelirin yeniden yatırıma dönüştürüleceğini” varsayıyordu. Von Neumann’ın modelinde büyüme oranı içsel olarak belirlenir. Birikemeyen tüm üretim faktörlerinin kıtlığı sorununu bir kenara koydu: emek dışındaki tüm birincil faktörler (yani tüm doğal kaynaklar) ihtiyaç duyulan miktarda sıfır fiyatla kullanılabilir olarak kabul edilirken, emeğin sıfır fiyatla mevcut olduğu varsayıldı. Belirli bir reel ücret oranında gerekli miktarda mevcuttur.
VAKALARIN SINIFLANDIRILMASI
Şimdi, kâr oranının ve dolayısıyla büyüme oranının sıfıra düşmediği bazı genel durumları sınıflandırabiliriz. Farklı durumların altında yatan öncüllerin sonsuza kadar geçerli olması koşuluyla, sürekli bir büyüme vardır. Tartışılan vakaların tümü, Adam Smith ve David Ricardo tarafından geliştirilen klasik bir analiz çerçevesinden türetilmiş olsa da, vakaların tartışılan NGM türleriyle bazı çarpıcı benzerlikler gösterdiği görülecektir.
Sermayeye Sabit Getiriler
Gördüğümüz gibi, Ricardian modelinde durağan bir durum elde etmenin ana bileşeni, sınırlı arzda mevcut arazinin varlığıdır. Eğer girdi olarak toprağa ihtiyaç duyulmasaydı ya da en iyi kalitede toprak bolca mevcut olsaydı, o zaman emek-sermayenin marjinal üretkenliğini veren grafik yatay bir çizgi olurdu ve dolayısıyla miktar ne olursa olsun kâr oranı sabit olurdu. emek-sermayenin. Sonuç olarak, büyüme hızı da sabit olacaktır.
Geri Döndürme Teknolojisi
Toprağın üretimde yararlı olmadığını veya belirli kalitede ve sınırsız miktarda mevcut olduğunu varsaymak gereksiz yere kısıtlayıcıdır. “Toprak”ın üretimde faydalı olmasına rağmen vazgeçilmez olmadığını varsaymak yeterlidir. Başka bir deyişle, herhangi bir ‘arazi’ girdisi olmadan metanın üretilmesine izin veren bir teknoloji var.
Emek-sermaye ile toprak arasındaki sürekli ikame ile, emek-sermayenin marjinal üretkenliği sürekli olarak azalacak, ancak aşağıdan sınırlanacaktır.
Gösterilen duruma göre CEGH eğrisi azalmaktadır, ancak içbükeylik tersine dönmektedir ve yatay bir asimptot bulunmaktadır. Bu durumda kâr oranı ve dolayısıyla büyüme oranı düşüyor, ancak hiçbir zaman belirli pozitif seviyelerin altına düşemezler. Sistem, verilen tasarruf oranının çarpımına kâr oranının (alt) sınırının değerine asimptotik olarak yaklaşan bir büyüme oranında süresiz olarak büyüyecektir.
Sermaye Getirisini Artırma
Son durum, tartışıldığı gibi, emek-sermayenin artan getirileridir. Ücret oranını verili ve sabit olarak kabul edersek, daha fazla emek-sermaye-sermaye kullanıldıkça kâr oranı ve büyüme oranı artacaktır.
Tek tip bir kâr oranı kavramını korumak için, artan getirilerin firmanın dışında olduğunu ve münhasıran bir bütün olarak pazarın genişlemesi ve toplumsal işbölümü ile bağlantılı olduğunu varsaymak gerekir.
Bu, arazi kıtlığı nedeniyle azalan getiri durumunda, ürünün marjinal verimlilik eğrisi altındaki alan tarafından verildiği halde, şimdi herhangi bir emek-sermaye-sermaye miktarı ile ilişkili ürünün bundan daha büyük veya ona eşit olduğu anlamına gelir. miktar, emek-sermaye birimi başına karşılık gelen çıktı düzeyi ile çarpılır.
Her durumda, kâr ve ücretlerin toplamı, verilen emek-sermaye-sermaye miktarının ürününe, birim emek-sermaye-sermaye başına karşılık gelen çıktı düzeyiyle çarpımına eşittir.
Sonuç olarak ürün, marjinal verimlilik eğrisinin altındaki alandan daha büyüktür. Dolayısıyla azalan ve artan getiri durumları simetrik değildir: artan getirilerle birlikte yükselen bir reel ücret oranı, düşen bir genel kâr oranını içermek zorunda değildir.