Denklem Çeşitleri
Kesinlikle kurşunların kimyasal potansiyellerinden dolayı olan ve bu nedenle burada resme girmeyen elektron dağılım fonksiyonları dışında, bu, mevcut taşıma kodlarında yaygın olarak kullanılan bir formülasyondur. İlişkinin yalnızca sıfır yanlılık sınırında geçerli olduğuna dikkat edilmelidir.
Dağılım fonksiyonlarının baştan dahil edilmesiyle ilgili olan bu gerçek, uçlardaki sonlu öngerilim gerilimleri nedeniyle iletkendeki elektron özelliklerinin değişiminin ihmal edilmesiyle ilgilidir. Aşağıdaki bölümlerde daha ayrıntılı olarak incelenecektir.
Fiziksel olarak konuşursak, iletken yoluyla iletim bu nedenle A, B uçlarına temaslar tarafından tanımlanan tüm farklı yolların ve iletken aracılığıyla yayılmanın ürünüdür. Aşağıdaki bölümlerde görüldüğü gibi, katı sistemlerde Green'in fonksiyonları ve öz enerjileri genellikle biraz farklı hesaplansa da, ifade genellikle bir arayüz aracılığıyla elastik taşıma için geçerlidir.
Aşağıda hatırlanması gereken bu bölümün ana sonucu, en azından sonlu farklar yönteminde tam olarak açıklanmış olsalar bile, elde edilen taşıma denklemlerinden sonsuz ipuçlarının çıkarılmasıdır.
Bu özellik oldukça şaşırtıcıdır; iletkenlik özelliklerindeki değişikliklerin aslında iletkenin kontakları olan arayüzde yerelleştirilebilmesi gerçeğinden kaynaklanıyor gibi görünüyor.
Önceki açıklamadan, kabloların işlevlerinin taşıma özelliklerinin tanımına yalnızca çok sınırlı bir anlamda, aslında yalnızca iletkenle arayüzdeki özellikleri aracılığıyla girdiği açık olduğundan, açık gösterimi bırakacağız ve genel olarak Green'in iletkenin işlevine Green'in sistemin işlevi olarak bakın.
Şimdiye kadar denge halindeki bir sistemi ele aldık. İletken arayüzün uçlarının atomik yapısında herhangi bir sınırlama olmamasına rağmen, çoğu durumda elektron taşınmasının iki temel bileşenini ihmal ettik: sonlu ön gerilimin etkisi ve termal koşulların etkisi.
Sonlu ön gerilim, önerilen bir şemaya dahil edilebilir. Bu şemada, iletken arabirimi, birkaç sonsuz uç katmanını içerecek şekilde seçilir. Lead'in Hartree potansiyeli (Coulomb terimi) sonlu bir değer olan ∆VH = eVbias kadar kaydırılır.
İletkenin iki ucu farklı ∆VH değerleri ile değiştirilirse, net etki, sınır koşulları olarak uçlardaki Hartree potansiyellerinin değişen değerleri kullanılarak kendi kendine tutarlı bir şekilde hesaplanabilen iletken boyunca bir voltaj düşüşü olacaktır. Poisson denkleminin çözümü için. Bu da, iletken potansiyelinin sorunsuz bir şekilde kurşuna doğru devam etmesini mümkün kılar.
Çözmek için kullanılan etkin potansiyel Hartree terimini ve değişim-korelasyon potansiyeli VXC'yi içerdiğinden, Poisson denkleminin bir çözümü her DFT kendi kendine tutarlılık döngüsünün bir parçasıdır. Prensip olarak, sonlu öngerilim gerilimleri de dahil olmak üzere bu nedenle her standart DFT yöntemi için erişilebilir olmalıdır.
Yöntemin yakınsaması, uçlar ve iletken arasındaki sınırlarda yük yoğunluğunun yakınsaması ile sayısal olarak test edilebilir. Birçok modern DFT kodunda kullanılan bir süper hücre geometrisi için prosedürün biraz değiştirilmesi gerekiyor. Bu durumda, dış Hartree potansiyeli kurşun içindeki konumla doğrusal olacak ve süper hücrenin sınırında sıfır iken arayüzde maksimum değerine ulaşacaktır.
Bu durumda, süper hücre sınırındaki iki uç arasındaki arayüz yapay saçılma etkilerini ortaya çıkaracağından, iki farklı uç seçmek de olanaksız görünmektedir.
İşlem, bir metaldeki ek bir potansiyelin etkisinin birkaç atomik katman içinde taranacağı varsayımına dayanır. Bununla birlikte, örneğin yarı iletkenlerde meydana gelmesi zorunlu olan uzun menzilli etkiler için, varsayım genellikle doğrulanmaz.
Spektral Fonksiyonlar ve Yük Yoğunluğu
İki uca bir önyargı voltajı uygulamak, standart DFT yöntemlerinde hesaba katılmayan bir sorunu ortaya çıkarır. Orada, kendi kendine tutarlılık döngüsü genellikle, belirli bir yük dağılımının etkin potansiyeli için Kohn-Sham denklemlerini çözmekten ve tüm elektron durumlarını sistemin kimyasal potansiyeline μ kadar doldurarak güncellenmiş yük yoğunluğunu hesaplamaktan oluşur. N elektron içeren bir sistem için bu şu anlama gelir.
Burada, VS sistemin hacmi, i, i durumunun enerji özdeğeri ve ψi(r) onun Kohn-Sham yörüngesidir. İki uç arasında sonlu bir potansiyel içeren bir sistemde böyle bir Fermi seviyesi tanımlanamaz. Sorunu çözmenin farklı bir yolu, bir sistemin işlevinden yük yoğunluğunu hesaplamaktır.
Bu da bize, sistemdeki toplam elektron sayısının sabit kalmasını istiyorsak, entegrasyonun üst sınırını oluşturan enerji seviyesi E0'ı söyler, N0. Bu şekilde, bağlı kurşun-iletken-kurşun devresinin farklı bölümleri için Fermi seviyesini tanımlama probleminden kaçınılır. O halde her özdeğer, elektronların dolu (i E0 ise) durumuna karşılık gelir. Bu bilgiden, sistemdeki yük yoğunluğu hesaplanabilir.
Denklem nedir
denklem nedir
Denklem soruları
Denklem Nedir matematik
Denklem Örnekleri
Denklem NASIL ÇÖZÜLÜR
Denklem Çözme
Denklem nasıl kurulur
Spektral Fonksiyonlar ve Kontaklar
Spektral fonksiyon aslında Green fonksiyonunun daha genel bir versiyonudur. Green fonksiyonları, r sisteminin bir noktasındaki birim genlikli bir dalga fonksiyonunu r noktasındaki dalga fonksiyonunun genliğiyle ilişkilendirirken, spektral fonksiyon r'deki gelişigüzel bir genliği r'deki genlikle ilişkilendirir.
Bu özelliği göstermek için A(r, r , E ) ele alalım, burada E = k . Böylece enerji, sistemin özdeğerlerinden birine eşittir. η yeterince küçük seçilirse, toplam yalnızca bir terim olan k ile sınırlandırılabilir.
Sistemin iki farklı noktası arasındaki genliklerin korelasyonunu tanımlar. Bu nedenle bazen korelasyon fonksiyonu olarak adlandırılır. Yalnızca Green'in işleviyle değil, aynı zamanda bir sistemin kontaklarıyla da ilgilidir. Bu özelliği göstermek için, bir kurşun varlığında Green fonksiyonunun matris tanımını ve bir kontağın tanımını kullanıyoruz.
Bir Oˆ operatörünün ortalama değerinin, operatörün çarpımının izi ve ρ, Oˆ = Tr Oˆρ durumlarının yoğunluğu tarafından verildiği kuantum istatistiklerindeki standart formülasyonlarla karşılaştırıldığında, spektral fonksiyonun esasen rolü oynadığını görüyoruz. genelleştirilmiş bir durum yoğunluğu. Denklem daha sonra iletken ve kurşun B'den oluşan sistemin mevcudiyetinde ΓA kontağının iletimini tanımlıyor olarak yorumlanabilir.
Spektral fonksiyonun tanımı ve türetilmiş ilişkiler bu noktada biraz akademik görünebilir, ancak bunların sistemler dengeden çıktığında elektron yayılımının temel kavramlarını anlamamıza izin verdiklerini birazdan göreceğiz. Denge dışı durumları daha detaylı analiz etmek için önce öz enerjilere tekrar dönmeliyiz.
Eşitsizlik Kısıtlamaları
Bölümün başında gösterildiği gibi, sınırlı sinyalli süreçlerin GPC’si, lineer eşitsizlik kısıtlamaları olan bir QP problemiyle sonuçlanır.
Aktif küme yönteminin ana fikri, eşitsizlik kısıtlamaları QP problemini, daha önce açıklanan tekniklerle çözülebilen bir dizi eşitlik kısıtlaması QP problemine indirgemektir. Uygun bir uo noktası, yani Ruo ~ c ve aktif kısıtlamalar kümesini (tüm eşitlik kısıtlamaları ve riu = Ci olduğu R satırları)’ Bu satırları (ri) ve karşılık gelen limitleri ekleyerek A matrisini ve a vektörünü oluşturun (Ci) ve eşitlik kısıtlamalarıdır.
Sorun artık daha önce açıklanan yöntemle çözülebilir. ul’nin eşit derecede kısıtlı QP probleminin çözümü olduğunu varsayalım. Eğer ul, etkin olmayan kısıtlamalara göre mümkünse, global optimumun bulunup bulunmadığını kontrol etmek için bir optimallik testi yapılmalıdır.
Bu, tüm eşitlik kısıtlamaları Ai ~ O için Lagrange çarpanlarının doğrulanmasıyla gerçekleştirilebilir. Durum böyle değilse, en negatif Lagrange çarpanına sahip kısıtlama, etkin kısıtlama kümesinden çıkarılır ve önceki adımlar tekrarlanır.
Eğer ul noktası etkin olmayan kısıtlamalara göre uygun değilse, UO ve ul noktalarını birleştiren çizginin uO’dan en yakın kesişimi ve etkin olmayan kısıtlamalar hesaplanır. İlgili kısıtlama aktif kümeye eklenir ve önceki adımlar tekrarlanır. Yöntemin bir ilk uygulanabilir nokta gerektirdiğine dikkat edin. Uygulanabilir bir nokta bulma prosedürleri bölümün ilerleyen kısımlarında açıklanacaktır.
Uygulanabilir Yönlendirme Yöntemleri
Uygulanabilir yön yöntemlerinin ana fikri, optimuma ulaşılana kadar uygun bir noktadan iyileştirilmiş bir uygulanabilir noktaya hareket ederek amaç fonksiyonunu iyileştirmektir. Uygun bir nokta uk verildiğinde, dk boyunca yeterince küçük bir adım atılarak yeni noktanın uygulanabilir olacağı ve amaç fonksiyonu için daha küçük bir değere sahip olacağı şekilde iyileştirici bir uygun yön d k belirlenir.
Uygulanabilir yönler oluşturmanın çeşitli yolları vardır, basitlik açısından en popüler olanlardan biri Rosen’in aşağıdakilere dayanan gradyan projeksiyon yöntemidir.
Tanım: Bir n x n matrisi P, eğer P =pT ve PP =P ise izdüşüm matrisi olarak adlandırılır. Au ~ a ve uygun bir nokta =al ve A u < a2; burada Al ve A matrisleri ve al 2k2 uk vektörleri, AlUk ve a2 sırasıyla aktif kısıtlama ve aktif olmayan kısıtlama setlerine karşılık gelecek şekilde yapılır.
Öngörü : Sıfır olmayan bir yön d, ancak ve ancak AId ~ 0 ve V’.J(u)Td < O ise iyileştirici bir uygulanabilir yöndür.
İlk Uygulanabilir Nokta
Yukarıda tartışılan QP algoritmalarından bazıları uygun bir noktadan başlar. Proses üzerindeki sınırlar sadece kontrol sinyallerini etkiliyorsa, kontrol sinyali u(k+ j) =u(k -I) yapılarak (u(k -1)’in u(k -1)’in içinde olduğunu varsayarak) uygun bir nokta çok kolay bir şekilde elde edilebilir.
Ancak bu iyi bir başlangıç noktası olmayabilir ve optimizasyon algoritmasının verimliliğine yansıyabilir. Bir başlangıç çözümü elde etmenin daha iyi bir yolu, bir örnekleme zamanı kaydırılmış önceki yinelemede bulunan uygun çözümü kullanmak ve sıfıra eşit bir son terim eklemek olabilir.
Yani, eğer Uk-I =[6u(k- 1),6u(k),…,6u(k+n- 2),6u(k+n- I)],başlangıç çözüm[6u(k), 6u(k+1)”” ,6u(k+n-1),0] olur.
Referans k anında değiştiyse, bu iyi bir başlangıç noktası olmayabilir ve kısıtsız çözümü hesaplayarak ve onu kısıtlamalara uyacak şekilde kırparak daha iyi bir çözüm bulunabilir.
Çıkış kısıtlamaları gibi daha karmaşık kısıtlamalar mevcutsa, ilk uygun çözümü bulma problemi daha önce açıklandığı gibi çözülemez çünkü sadece giriş sinyalini kırpmak işe yaramayabilir ve bir politopun iç noktasını bulmak için bir prosedür gerekir. kullanılacak. Başlangıç çözümünü bulmanın en basit yollarından biri aşağıdaki algoritmayı kullanmaktır:
1. Herhangi bir başlangıç noktasını uO sabitleyin.
2. r =Ruo – c olsun
3. Eğer r :$ 0 DUR. (uO mümkündür)
4. Tmax=maks(r)
5. Aşağıdaki artırılmış optimizasyon problemini aktif bir küme kullanarak çözün.
Döndürme Yöntemleri
Simplex gibi döndürme yöntemleri, bu algoritmaların programlanmasının basit olması ve ayrıca optimumu bulma veya uygun bir çözümün olmadığını belirtmeleri nedeniyle sonlu sayıda adımda tamamlamaları nedeniyle doğrusal programlamada yaygın olarak kullanılmaktadır.
Bir dizi lineer kısıtlamaya tabi ikinci dereceden bir fonksiyonun minimizasyonu, pivot yöntemleriyle çözülebilir ve Camacho tarafından gösterildiği gibi MPC’ye uygulanabilir. En popüler pivot algoritmalarından biri, QP problemini lineer tamamlayıcı bir probleme indirgemeye dayanmaktadır.
Doğrusal Tamamlayıcı Problem
q ve M sırasıyla verilen bir m vektörü ve verilen bir N x N matrisi olsun. Doğrusal tamamlayıcı problem (LCP), iki m vektörü s ve z bulmaktan ibarettir.
Yukarıdaki sistemin (s, z) çözümüne, tamamlayıcı değişkenlerin (s;, z;) her çifti için bunlardan biri i=1″ .. ,m için temel ise, tamamlayıcı temel uygulanabilir çözüm denir, burada s ; ve z; sırasıyla s ve z vektörlerinin i-girişleridir.
q negatif değilse, s = q ve z = O yapılarak tamamlayıcı bir uygulanabilir temel çözüm bulunabilir. Bu değilse, Lemke’nin algoritması kullanılabilir. Bu algoritmada, °to’ya giden bir yapay değişken zo tanıtılır.
zo =rnax(-q;), z =° ve s =q +1zoo yaparak yukarıdaki sisteme bir başlangıç çözümü elde ederiz. lineer tamamlayıcı probleme bir çözüm elde edilir.
M matrisi üzerinde bazı hafif varsayımlar altında sonlu sayıda adımda bir çözüme yakınsayan bir pivot dizisini bulmanın etkili bir yolu, aşağıdaki tablodan Lemke algoritmasını kullanmaktır.
Lemke algoritmasını kullanmanın diğer avantajları, çözümün Zo 10 parametresi olarak izlenebilmesi, yozlaşmayı çözmek için özel bir tekniğin gerekmemesi ve QP problemleri tarafından oluşturulan LCP’ye uygulandığında, QP probleminin kısıtsız çözümünün şu şekilde kullanılabilmesidir.
H matrisi pozitif tanımlı olduğundan algoritma sonlu sayıda adımda optimum çözüme yakınsamasına rağmen, önemli miktarda hesaplama gerektirir.
Bunun nedenlerinden biri, Lemke algoritmasının başlangıç çözümündeki x değişkenlerinin temelin bir parçası olmamasıdır. Yani algoritma, optimum çözümden çok uzakta olabilecek x = 0 çözümünden başlar. Daha iyi bir başlangıç noktası bularak algoritmanın verimliliği arttırılabilir.