Matrisler – Alt Uzaylar Oluşturmak (12) – Doğrusal Bağımsızlık – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Örnek :
(Doğrusal haritanın uzayı)
Varsayalım L: V → V isalinearmapveV isavectorspace. O halde, eğer L (u) = λu ve L (v) = λv,
doğrusallık bize şunu söyler:
L (αu + βv) = αL (u) + βL (v) = αL (u) + βL (v) = αλu + βλv = λ (αu + βv).
Dolayısıyla, yine alt uzay teoremine göre, V’deki özvektöre uyan tüm vektörlerin kümesi
denklem L (v) = λv, V’nin bir alt uzayıdır. Buna özuzay Vλ denir: = {v∈V | L (v) = λv}.
Çoğu skaler λ için, L (v) = λv’nin tek çözümü v = 0 olacaktır ve bu da önemsiz altuzayı {0} verir. L (v) = λv’ye basit olmayan çözümler olduğunda, λ sayısı özdeğer olarak adlandırılır ve L haritası hakkında gerekli bilgileri taşır.
Çekirdekler, görüntüler ve öz uzaylar önceki bölümlerde derinlemesine tartışılmaktadır.
Sorunları İncele
- Okuma Problemleri
- Alt uzaylar
- Aralıklar
1. x3 ∈span {x2,2x + x2, x + x3} ‘ü belirleyin.
2. U ve W, V’nin alt uzayları olsun:
(a) U ∪ W (b) U ∩ W
ayrıca alt uzaylar? Nedenini veya neden olmadığını açıklayın. R3’te örnekler çizin.
3. LetL: R3 → R3 nerede
L (x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + y + z, 0).
KerL, imL ve R3−1, R3 öz uzaylarını bulun. Cevaplarınız R3’ün alt kümeleri olmalıdır. Açıklık gösterimi kullanarak bunları ifade edin.
Doğrusal Bağımsızlık
Kökeni R3’te ve sıfır olmayan vektörleri {u, v, w} P’de içeren bir P düzlemini düşünün.
U, v ve w’nin ikisi paralel değilse, o zaman P = span {u, v, w}. Ancak herhangi iki vektör bir düzlem belirler, bu nedenle düzlemi u, v, w vektörlerinden sadece ikisini kullanarak yayabilmeliyiz.
Sonra {u, v, w} ‘deki yayılımı P olan vektörlerden ikisini seçebilir ve diğerini bu ikisinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edebiliriz. U ve v span P varsayalım. O zaman w = d1u + d2v gibi d1, d2 sabitleri (her ikisi de sıfır değil) var. W, u ve v cinsinden ifade edilebildiğinden bağımsız olmadığını söylüyoruz.
Daha genel olarak, ilişki c1u + c2v + c3w = 0 ci ∈R, someci ̸ = 0, u, v, w’nin tamamen bağımsız olmadığı gerçeğini ifade eder.
Tanım v1, v2, vektörlerinin olduğunu söylüyoruz. . . , vn, sabitler1 c1, c2, varsa doğrusal olarak bağımlıdır. . . , cn hepsi sıfır değil öyle ki c1v1 + c2v2 + ··· + cnvn = 0 olur.
Aksi takdirde, v1, v2,. . . , vn doğrusal olarak bağımsızdır.
Açıklama Sıfır vektör 0V hiçbir zaman bağımsız vektörler listesinde olamaz çünkü herhangi bir skaler α için α0V = 0V.
Örnek :
R3’teki aşağıdaki vektörleri düşünün:
Bu vektörler doğrusal olarak bağımsız mı?
Hayır, 3v1 + 2v2 – v3 + v4 = 0 olduğundan, vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.
Doğrusal Bağımlılığı Gösterme
Yukarıdaki örnekte, görünüşte sihirle 3v1 + 2v2 – v3 + v4 doğrusal kombinasyonu verilmişti. Bir sonraki örnek, eğer varsa, böyle bir doğrusal kombinasyonun nasıl bulunacağını gösterir.
Örnek :
R3’teki aşağıdaki vektörleri düşünün:
Doğrusal olarak bağımsız mı?
Sistemin c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 c1, c2, c3 için herhangi bir çözümü vardır. Sütunları v1, v2 ve v3 vektörleri olan bir matris oluşturarak bunu homojen bir sistem olarak yeniden yazabiliriz:
Bu sistemin çözümleri vardır ancak ve ancak M = (v1 v2 v3) matrisi tekil ise, bu nedenle M’nin determinantını bulmalıyız:
Bu nedenle önemsiz çözümler mevcuttur. Bu noktada vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olduğunu biliyoruz. Gerekirse, doğrusal bağımlılığı gösteren katsayıları çözerek bulabiliriz
Çözüm kümesi {μ (−2, −1, 1) | μ ∈ R} sıfıra eşit doğrusal kombinasyonları kodlar; herhangi bir μ seçimi, doğrusal homojen denklemi sağlayan c1, c2, c3 katsayılarını üretecektir. Özellikle, μ = 1 denkleme karşılık gelir.
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0⇒ − 2v1 −v2 + v3 = 0.
Tanım Herhangi bir vektör toplamı v1,. . . , vk skaler c1 ile çarpılır. . . , ck, yani
c1v1 + ··· + ckvk, v1’in doğrusal birleşimi olarak adlandırılır.
Teorem (Doğrusal Bağımlılık). Sıfır olmayan vektörlerin sıralı bir kümesi (v1,.., Vn) doğrusal olarak bağımlıdır, ancak ve ancak vk vektörlerinden biri önceki vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilirse gerçekleşir.
Kanıt. Teorem sadece ve ancak if ifadesidir, bu yüzden gösterilecek iki şey vardır.
İlk olarak, eğer vk = c1v1 + · · · ck − 1vk − 1 ise setin doğrusal olarak bağımlı olduğunu gösteriyoruz.
Bu kolay. Sadece varsayımı yeniden yazıyoruz:
c1v1 + ··· + ck − 1vk − 1 −vk + 0vk + 1 + ··· + 0vn = 0.
Bu, vektörlerin kaybolan doğrusal bir kombinasyonudur {v1,. . . , vn} tüm katsayılar sıfıra eşit değildir, yani {v1,. . . , vn} doğrusal olarak bağımlı bir kümedir.
Şimdi, doğrusal bağımlılığın, vk’nin {v1, vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğu k’nin var olduğunu ima ettiğini gösteriyoruz. . . , vk − 1}.
Varsayım diyor ki
c1v1 + c2v2 + ··· + cnvn = 0 olur.
K’yi, ck’nin sıfıra eşit olmadığı en büyük sayı olarak alın. Yani: c1v1 + c2v2 + ··· + ck − 1vk − 1 + ckvk = 0.
(K> 1 olduğuna dikkat edin, aksi takdirde c1v1 = 0 ⇒ v1 = 0 olur, bu vi hiçbirinin sıfır vektörü olmadığı varsayımıyla çelişir.)
Böylece denklemi yeniden düzenleyebiliriz:
c1v1 + c2v2 + ··· + ck − 1vk − 1 = −ckvk c1 c2 ck − 1 ⇒ − ckv1 − ckv2− ··· −ckvk − 1 = vk.
Bu nedenle vk’yi önceki vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade etmiş olduk.
Örnek :
Daha küçük derecedeki polinomların P2 (t) vektör uzayını düşünün.
2’ye eşittir. Ayarlayın:
v1 = 1 + t
v2 = 1 + t2
v3 = t + t2
v4 = 2 + t + t2 v5 = 1 + t + t2.
{V1,. . . , v5} doğrusal olarak bağımlıdır, çünkü v4 = v1 + v2.
Doğrusal Bağımsızlığı Gösterme
Bir vektörler kümesinin doğrusal olarak bağımlı olduğunu göstermenin iki farklı yolunu gördük: ya sıfıra eşit olan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu bulabiliriz ya da vektörlerden birini diğer vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edebiliriz.
Öte yandan, bir vektörler kümesinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol etmek için, vektörlerimizin sıfır olmayan katsayılarla her doğrusal kombinasyonunun sıfır vektöründen başka bir şey verdiğini kontrol etmeliyiz. Benzer bir şekilde, v1, v2, …, vn kümesinin doğrusal olarak bağımsız olduğunu göstermek için, c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn = 0 denkleminin başka bir şey1 = c2 = ··· = cn = 0 olur.
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Doğrusal Bağımlılığı Gösterme Doğrusal Bağımsızlığı Gösterme Doğrusal Bağımsızlık Matrisler – Alt Uzaylar Oluşturmak 12 – Doğrusal Bağımsızlık – Matrisler Ödev Yaptırma