Matrisler – Alt Uzaylar Oluşturmak (11) – Tersin Belirleyicisi – Matris Sistemleri – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Alt Uzaylar ve Yayılma Kümeleri
Alt uzaylar
Tanım U, V’nin miras alınan toplama ve skaler çarpma işlemleri altındaki bir vektör uzayı ise, V vektör uzayının U alt kümesinin V’nin bir alt uzayı olduğunu söylüyoruz.
Misal :
Başlangıç noktasından geçen R3’te bir P düzlemini düşünün:
ax + by + cz = 0.
Bu denklem homojen sistem a b c x, y, z = 0 veya z olarak ifade edilebilir.
MX = 0withM temasıa b c. EğerX1 veX2, her iki çözüm içinMX = 0 ise, matris çarpımının doğrusallığına göre, μX1 + νX2 de öyle:
M (μX1 + νX2) = μMX1 + νMX2 = 0.
Böylece P toplama ve skaler çarpma altında kapalıdır. Ek olarak, P orijini içerir (yukarıdan μ = ν = 0 ayarlanarak türetilebilir). Diğer tüm vektör uzayı gereksinimleri P için geçerlidir çünkü bunlar R3’teki tüm vektörler için geçerlidir.
Teorem. (Altuzay Teoremi). U, V vektör uzayının boş olmayan bir alt kümesi olsun. O zaman U, ancak ve ancak, u1 + νu2 ∈ U, U’da u2 ve keyfi sabitler μ, ν ise bir alt uzaydır.
Kanıt. Bu ispatın bir yönü kolaydır: Eğer U bir altuzaysa, o zaman bir vektör uzayıdır ve bu nedenle vektör uzaylarının toplamsal kapanma ve çarpımsal kapanma özellikleriyle, tüm u1 için μu1 + νu2 ∈ U olduğu doğru olmalıdır, U’da u2 ve tüm sabitler μ, ν.
Diğer yön de hemen hemen aynı derecede kolaydır: eğer u1 + νu2 ∈ U ise, U’daki tüm u1, u2 ve tüm sabitler μ, ν ise, U’nun bir vektör uzayı olduğunu göstermemiz gerekir. Yani, vektör uzaylarının on özelliğinin karşılandığını göstermemiz gerekiyor. Katkı kapatma ve çarpımsal kapatma özelliklerinin karşılandığını zaten biliyoruz. Dahası, U diğer sekiz özelliğin tamamına sahiptir çünkü V bunlara sahiptir.
Alt uzay teoreminin gereksinimlerinin genellikle “kapanma” olarak anıldığına dikkat edin.
Bir kümenin vektör uzayı olup olmadığını kontrol etmek için bu teoremi kullanabiliriz. Yani, daha büyük bir V vektör uzayından gelen bazı U vektörleri kümesine sahipsek, U’nun kendisinin daha küçük bir vektör uzayı oluşturup oluşturmadığını kontrol etmek için sadece iki şeyi kontrol etmemiz gerekir:
1. U’da herhangi iki vektör toplarsak, U’da bir vektör mü elde ederiz?
2. U’daki herhangi bir vektörü herhangi bir sabitle çarparsak,
vektör U?
Bu soruların her ikisinin de cevabı evet ise, U bir vektör uzayıdır. Değilse, U bir vektör uzayı değildir.
Alt Uzaylar Oluşturmak
103 U = 0, 1 ⊂R kümesini düşünün. 0 0
U yalnızca iki vektörden oluştuğu için, bu vektörlerin herhangi bir sabit katı da U’da olması gerektiğinden, U’nun bir vektör uzayı olmadığı açıktır. Örneğin, 0 vektörü U’da değildir ve vektör toplama altında U kapalı değildir. .
Ancak herhangi iki vektörün bir düzlemi tanımladığını biliyoruz:
Bu durumda, U’daki vektörler, R3’teki xy düzlemini tanımlar. Xy düzlemini, U’daki iki vektörün doğrusal bir kombinasyonu olarak ortaya çıkan tüm vektörlerin kümesi olarak görebiliriz. Bu tüm doğrusal kombinasyonlar kümesine U’nun açıklığı diyoruz:
Xy düzlemindeki herhangi bir vektörün formunda olduğuna dikkat edin.
Tanım = {s1, s2, …} ⊂V asubsetofV. Ardından, span (S) olarak belirtilen S’nin açıklığı settir
aralık (S): = {r1s1 + r2s2 + ··· + rNsN | ri ∈R, N∈N}.
Yani, S’nin açıklığı, S’nin elemanlarının tüm sonlu doğrusal kombinasyonlarının1 kümesidir. “Bir sabit çarpı s1 artı bir sabit çarpı s2 artı bir sabit çarpı s3 ve benzeri” formunun herhangi bir sonlu toplamı, S.2 olur.
Öte yandan, aralıktaki (S) herhangi bir vektörün z koordinatında sıfır olması gerekir. (Neden?) Yani span (S), bir vektör uzayı olan xy-düzlemidir. (Bunu doğrulamak için bir resim çizmeyi deneyin!)
Lemma. Herhangi bir S ⊂ V alt kümesi için, span (S), V’nin bir alt uzayıdır.
Kanıt. Spanın (S) bir vektör uzayı olduğunu göstermemiz gerekiyor.
Açıklığın (S) doğrusal kombinasyonlar altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. İzin Vermek
u, v ∈ span (S) ve λ, μ sabit olabilir. Span (S) tanımına göre, ci ve di sabitleri vardır (bazıları sıfır olabilir) öyle ki:
u = c1s1 + c2s2 + ···
v = d1s1 + d2s2 + ···
⇒λu + μv = λ (c1s1 + c2s2 + ···) + μ (d1s1 + d2s2 + ···)
= (λc1 + μd1) s1 + (λc2 + μd2) s2 + ···
Bu son toplam, S’nin elemanlarının doğrusal bir birleşimidir ve bu nedenle açıklık (S) içindedir. O zaman açıklık (S) doğrusal kombinasyonlar altında kapatılır ve dolayısıyla V’nin bir alt uzayıdır.
Bu ispat, birçok ispat gibi, sadece tanımları yazmaktan biraz daha fazlasını içeriyordu.
Örnek:
A’nın hangi değerleri için
R3’te rastgele bir y vektörü verildiğinde, r1, r2, r3 sabitlerini bulmalıyız öyle ki
Bunu lineer sistem olarak r1, r2, r3 bilinmeyenlerinde şu şekilde yazabiliriz:
Matris M = tersinir ise, bir çözüm bulabiliriz.
herhangi bir y ∈ R3 vektörü için.
Bu nedenle, M’nin tersinir olması için a seçmeliyiz:
yani, 0̸ = detM = −2a2 + 3 + a = – (2a − 3) (a + 1).
O zaman açıklık R3, ancak ve ancak a̸ = −1,3.
Kapsayan kümeler olarak doğrusal sistemler
Alt uzayları oluşturmanın diğer bazı çok önemli yolları aşağıdaki örneklerde verilmiştir.
Örnek :
(Doğrusal haritanın çekirdeği).
L: U → V’nin vektör uzayları arasında doğrusal bir harita olduğunu varsayalım. O zaman eğer
L (u) = 0 = L (u ′),
doğrusallık bize şunu söyler
L (αu + βu ′) = αL (u) + βL (u ′) = α0 + β0 = 0.
Bu nedenle, alt uzay teoremi sayesinde, U’daki sıfır vektörüne eşlenen tüm vektörlerin kümesi, V’nin bir alt uzayıdır. L’nin çekirdeği olarak adlandırılır:
kerL: = {u ∈ U | L (u) = 0} ⊂ U.
Bir çekirdek bulmanın, homojen bir doğrusal denkleme bir çözüm bulmak anlamına geldiğini unutmayın.
Örnek :
(Doğrusal bir haritanın görüntüsü).
L: U → V’nin vektör uzayları arasında doğrusal bir harita olduğunu varsayalım.
O zaman eğer
v = L (u) ve v ′ = L (u ′), olursa, αv + βv ′ = αL (u) + βL (u ′) = L (αu + βu ′) sonucu çıkar.
Bu nedenle, alt uzay teoremini bir kez daha çağırmak, L haritasının çıktıları olarak elde edilen V’deki tüm vektörlerin kümesi bir alt uzaydır.
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
alt uzay teoremi Alt Uzaylar Oluşturmak Alt Uzaylar ve Yayılma Kümeleri Kapsayan kümeler olarak doğrusal sistemler Matrisler – Alt Uzaylar Oluşturmak (11) – Tersin Belirleyicisi – Matris Sistemleri – Matrisler Ödev Yaptırma