Matrisler (5) – Ters Matris – Matrisler Nasıl Hesaplanır? – Matris Sistemleri – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Matrislerde İlişkisellik ve Değişmezlik
3. A = 1/3 −1 4 olsun.
b) M herhangi bir m × n matris olsun. MTM ve MMT’nin simetrik olduğunu gösterin. (İpucu: önceki problemin sonucunu kullanın.) Boyutları nedir? İzleri arasındaki ilişki nedir?
c) x = (x1 … x2) ve y = (y1..y2) sütunvektörleri olsun. X y = xT I y iç çarpımını gösterin.
5. Yukarıda, bir r × s matrisi N ile sol çarpmanın doğrusal bir dönüşüm Mk – → Mk olduğunu gösterdik. Doğru çarpma sR’lerini gösterin
k × m matris ile R doğrusal bir dönüşümdür Mk – → Mm. Başka bir deyişle, sağ matris çarpımının doğrusallığa uygun olduğunu gösterin.
6. V, B = (v1, v2) ‘nin sıralı bir temel olduğu bir vektör uzayı olsun. Diyelim ki L: V −−− → V ve
B bazında L matrisini hesaplayın ve ardından izini hesaplayın. Bu matris diyelim ki reklam – bc ̸ = 0 ve şimdi yeni temeli düşünün:
B ′ bazında L matrisini hesaplayın. Bu matrisin izini hesaplayın. Ne buluyorsun Bir matrisin izi hakkında ne sonuca varıyorsunuz? Herhangi bir temele atıfta bulunmadan “doğrusal bir dönüşümün izinden” bahsetmek mantıklı mı?
7. Aşağıdaki durumlarda bir matrise ne olduğunu açıklayın:
(a) Solda köşegen bir matrisle çarparsınız.
(b) Sağda köşegen bir matrisle çarparsınız. Açıklamaya başlamadan önce birkaç basit örnek verin.
8. Aşağıdaki matrisler için exp (A) hesaplayın:
9. M, bir 4 × 4 kimlik matrisi ile adlandırılmış bloklara bölündü ve ardından M2’yi hesaplamak için blokları çarptı.
10. Bir matris A, eğer AT = −A ise anti-simetrik (veya çarpık-simetrik) olarak adlandırılır. Her n × n matris M için, A’nın anti-simetrik bir matris ve S’nin simetrik bir matris olduğu M = A + S yazabileceğimizi gösterin.
İpucu: M + MT ne tür bir matris? M −MT’ye ne dersiniz?
11. İlişkilendirici olmayan bir işlem örneği çapraz çarpımdır.
(a) 3-uzaylı u, v, w gibi üç vektörün basit bir örneğini verin
bu u × (v × w) ̸ = (u × v) × w.
b) Bölüm 1’de B = u × operatörünün (vektör ile çapraz çarpım) doğrusal bir operatör olduğunu gördük. Bu nedenle, bir matris olarak yazılabilir (standart temel gibi sıralı bir temel verildiğinde). Matris çarpımı ilişkisel olsa bile, bu tür doğrusal operatörleri oluşturmak nasıl ilişkisizdir?
Ters Matris
Tanım Bir kare matris M tersinirdir (veya tekil değildir), eğer M − 1 matrisi varsa öyle ki
M − 1M = I = MM − 1.
M’nin tersi yoksa, M’nin tekil olduğunu veya tersinemez olduğunu söyleriz.
2 × 2 Matrisin Tersi M ve N matrisler olsun:
Bu matrisleri çarpmak şunu verir:
Tersin Üç Özelliği
1. Eğer A kare bir matrisse ve B, A’nın tersiyse, AB = I = BA olduğundan A, B’nin tersidir. Yani kimliğimiz var
(A − 1) −1 = A.
2. B − 1A − 1AB = B − 1IB = I = ABB − 1A − 1 olduğuna dikkat edin
(AB) −1 = B − 1A
Şekil 7.1: 2 × 2 matrisin tersinin formülü ezberlemeye değer! Böylece, tıpkı devrik gibi, bir ürünün tersini almak ürünün sırasını tersine çevirir.
3. Son olarak, (AB) T = BT AT olduğunu hatırlayın.
IT = I olduğundan, (A − 1A) T = AT (A − 1) T = I. Benzer şekilde, (AA − 1) T = (A − 1) T AT = I. Sonra: (A − 1) T = (AT) −1
Misal
Tersleri Bulma (Redux)
Ters matrisleri bulmak için Gauss eliminasyonu kullanılabilir. Bu kavram, bölüm 2, bölüm 2.3.2’de ele alınmaktadır, ancak burada yine daha karmaşık terimlerle inceleme olarak sunulmuştur.
M’nin kare şeklinde ters çevrilebilir bir matris olduğunu ve MX = V’nin doğrusal bir sistem olduğunu varsayalım. Çözüm benzersiz olmalıdır, çünkü her iki taraftaki denklemi M − 1 ile çarparak X = M − 1V elde ederek bulunabilir. Dolayısıyla, doğrusal sistemin indirgenmiş satır basamaklı formunun solda bir özdeşlik matrisi vardır:
M V∼I M − 1V
Lineer sistem MX = V’yi çözmek, bize M − 1V’nin ne olduğunu söyler.
Aynı matrise sahip birçok doğrusal sistemi aynı anda çözmek için, MX = V1,
MX = V2
Sağda birçok sütun bulunan artırılmış matrisleri düşünebilir ve ardından matrisin sol tarafına Gauss satırı indirgemesini uygulayabiliriz. Özdeşlik matrisi artırılmış matrisin sol tarafında olduğunda, her bir lineer sistemin çözümü sağdadır.
M V1 V2 ∼I M − 1V1 M − 1V2
M − 1’i hesaplamak için, artırılmış matrisimizin sağ tarafında M − 1V yerine M − 1 görünmesini isteriz. Bu, MX = ek sistemlerini çözerek elde edilir; burada ek, k’inci girişte 1 olan sıfırların sütun vektörüdür. Yani, n × n özdeşlik matrisi, bir grup sütun vektörü In = (e1 e2 · · · en) olarak görülebilir. Öyleyse, ek’leri bir kimlik matrisinde bir araya getirerek şunu elde ederiz:
M I∼I M − 1I = I M − 1
Misal
Bul Artırılmış matrisi yazarak başlıyoruz, sonra sol tarafa satır indirgeme uyguluyoruz.
Bu noktada, alay etmediğimizi varsayarak M − 1’i biliyoruz. Bununla birlikte, satır indirgeme, aritmetik hatalar için bolca yer olan uzun ve karmaşık bir süreçtir, bu nedenle MM − 1 = I olduğunu (veya M − 1M = I tercih ederseniz) onaylayarak cevabımızı kontrol etmeliyiz:
İki matrisin çarpımı aslında kimlik matrisidir, yani işimiz bitti.
Doğrusal Sistemler ve Tersler
M − 1 varsa ve biliniyorsa, o zaman M ile ilişkili doğrusal sistemleri hemen çözebiliriz.
Örnek :
Doğrusal sistemi düşünün:
−x + 2y −3z = 1
2x + y = 2
4x −2y + 5z = 0
İlişkili matris denklemi MX = (1 2 3) olup, burada M, önceki 0 bölümdeki ile aynıdır, bu nedenle yukarıdaki sistem matris denklemine eşdeğerdir:
Yani, sistem (x y z) = (3-4 -4) denklemine eşdeğerdir ve z −4 için kolaydır. Bu denklemin çözümlerinin ne olduğuna bakın.
Özetle, M − 1 olduğunda Mx = v ⇔ x = M − 1v.
Homojen Sistemler
Teorem : Bir kare matris M tersine çevrilebilir ancak ve ancak homojen sistemdir.
Mx = 0 Sıfır olmayan çözümü yoktur.
Kanıt. İlk olarak, M − 1’in var olduğunu varsayalım. O zaman Mx = 0 ⇒ x = M − 10 = 0. Dolayısıyla, eğer M tersine çevrilebilirse, o zaman Mx = 0’ın sıfır olmayan çözümü yoktur.
Öte yandan, Mx = 0 her zaman x = 0 çözümüne sahiptir. Başka bir çözüm yoksa, M, her değişken bir pivot ile indirgenmiş sıralı basamak formuna konulabilir. Bu durumda, M − 1 önceki bölümdeki işlem kullanılarak hesaplanabilir.
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Bir kare matris Doğrusal Sistemler ve Tersler Homojen Sistemler Matrislerde İlişkisellik ve Değişmezlik sağ matris çarpımının doğrusallığa uygun Ters Matris Tersin Üç Özelliği Tersleri Bulma (Redux)