Lineer Cebir Nedir? (6) – Doğrusal Denklem Sistemleri 2 - Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma

Lineer Cebir Nedir? (6) – Doğrusal Denklem Sistemleri 2 – Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma

Ödevcim Online, Lineer Cebir, Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır, Doğrusal Cebir, Lineer Cebir Ödevi, Lineer Cebir Yaptırma, Lineer Cebir Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Lineer Cebir danışmanlık, Lineer Cebir yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

Doğrusal Denklem Sistemleri

Bölmeden kalan girişler iki endeks taşır; alt simgeler sütun numarasını ve üst simgeler satır numarasını belirtir. Buradaki üst simgelerin üsleri göstermediğini vurguluyoruz. Herhangi bir artırılmış matris için denklem sistemini ve ilişkili matris denklemini yazabildiğinizden emin olun.

Şimdi aynı soruyu yazmanın üç yolu var. Denklemleri stratejik olarak ekleyip çıkararak sistemi çözerken onları yan yana koyalım. Size bu belirli adımlar dizisinin motivasyonunu henüz söylemeyeceğiz, ancak önce biraz sezgi geliştirmenize izin vereceğiz.

Örnek:

(Matris denklemleri ve artırılmış matrisler eliminasyonda nasıl değişir) x + y = 27􏰒 􏰍1 1􏰎􏰍x􏰎 􏰍27􏰎 􏰍1 1 27􏰎
2x – y = 0 ⇔ 2 −1 y = 0 ⇔ 2 −1 0. İlk denklemin iki denklemin toplamı ile değiştirilmesiyle bu şu olur:

3x + 0 = 27􏰒 􏰍3 0􏰎􏰍x􏰎 􏰍27􏰎 􏰍3 0 27􏰎 2x – y = 0 ⇔ 2 −1 y = 0 ⇔ 2 −1 0.

Yeni ilk denklem, 3’e bölünen eski ilk denklem olsun:

x + 0 = 9􏰒 􏰍1 0􏰎􏰍x􏰎 􏰍9􏰎 􏰍1 0 9􏰎 2x – y = 0 ⇔ 2 −1 y = 0 ⇔ 2 −1 0.

İkinci denklemi ikinci denklem eksi ilk denklemin iki katı ile değiştirin:
x + 0 = 9􏰒􏰍10􏰎􏰍x􏰎􏰍9􏰎􏰍10 9􏰎 0 – y = −18 ⇔ 0 −1 y = −18 ⇔ 0 −1 −18.

Yeni ikinci denklem, -1’e bölünen eski ikinci denklem olsun:
x + 0 = 9􏰒 􏰍1 0􏰎􏰍x􏰎 􏰍9􏰎 􏰍1 0 9􏰎 0 + y = 18 ⇔ 0 1 y = 18 ⇔ 0 1 18.

Stratejinin ne olduğunu bu örnekte daha iyi kavramış olmalıyız. Y’yi birinci denklemden çıkarmak ve sonra ikinci denklemden x’i çıkarmak gerekir. Sonuç, sistemin çözümü olur.

İşte büyük fikir: Yukarıdaki talimatların her yerinde “denklem” kelimesini “satır” kelimesiyle değiştirebilir ve bunları bize denklem sistemi yerine artırılmış matrisle ne yapacağımızı söylediği şeklinde yorumlayabiliriz. Sistemik olarak gerçekleştirilen sonuç, Gauss eleme algoritmasıdır.

Denklik ve Çözme İşlemi

Şimdi, “tilde” olarak adlandırılan ancak “(satır) eşdeğeridir” olarak okunması gereken ∼ sembolünü sunuyoruz çünkü her adımda artırılmış matris, satırlarındaki bir işlemle değişir, ancak çözümleri değişmez.

Örneğin, bunun üzerinde şu sonuçları bulduk:
􏰍1 1 27􏰎 􏰍1 0 9􏰎 􏰍1 0 9􏰎 2−1 0∼2−10∼0118.
Bu artırılmış matrislerin sonuncusu bizim favorimizdir!

Eşdeğerlik Örneği

Bunun gibi bir denklikler dizisi oluşturmak, bir doğrusal denklem sistemini çözmenin bir yoludur. Bu bölümün ana fikri budur. Bu sonraki örnek ana numarayı gösteriyor:

Örnek:

(Bir doğrusal denklem sistemini çözmek için Gauss eliminasyonunu kullanma) x + y = 5􏰒 􏰍1 1 5􏰎 􏰍1 1 5􏰎 􏰍1 0 2􏰎 􏰑x + 0 = 2
x + 2y = 8 ⇔ 1 2 8 ∼ 0 1 3 ∼ 0 1 3 ⇔ 0 + y = 3

Birinci genişletilmiş matrise giderken, sol alttaki girişi sıfır yapmak için sol üst 1’i kullandık. Bu nedenle sol üstteki girdiye pivot diyoruz. Benzer şekilde, ikinci genişletilmiş matristen üçüncü matrisi elde etmek için, sağ alttaki giriş (bölmeden önce) sağ üstteki matrisi yok etmek için kullanıldı; bu nedenle sağ alttaki girişe “pivot” da denir.

Bu pivot adı, sütunundaki diğer girişleri “sıfırlamak” için kullanılan matris girişini belirtmek için kullanılır; pivot, sütunundaki başka bir sayıyı elemek için kullanılan sayıdır.

İndirgenmiş Sıralı Kademe Formu

İki doğrusal denklem sistemi için, Gauss eliminasyonunun amacı, genişletilmiş matrisin bölme çizgisinin solundaki bölümünü
matrisi 1 0􏰎 I = 01, olarak tanımlanır.

Kimlik Matrisi olarak adlandırılır, çünkü bu x = a, y = b çözümünün basit ifadesini verir. Aynısı, köşegen boyunca 1’lere sahip olan kimlik matrisinin ve tüm köşegen dışı girişlerin kaybolduğu daha büyük denklem sistemleri için de geçerlidir:

Pek çok sistem için, artırılmış matristeki kimliğe Gauss eliminasyonu yoluyla ulaşmak mümkün değildir. Her halükarda, elenen maksimum bileşen sayısına sahip olan matrisin belirli bir versiyonunun Sıra Azaltılmış Aşamalı Form (RREF) olduğu söylenir.

Örnek:

(Artık denklemler)
x + y = 2􏰘 􏰓112􏰔 􏰓112􏰔 􏰗x + y = 2 ⇔∼⇔
2x + 2y = 4 2 2 4 0 0 0 0 + 0 = 0

Bu örnek, bir denklemin diğerinin katı olması durumunda kimlik matrisine ulaşılamayacağını gösterir. Bunun nedeni, elemedeki ilk adımın ikinci sırayı bir sıra sıfır haline getirmesidir. Çözümlerin hala var olduğuna dikkat edin (1, 1) bir çözümdür. Buradaki son artırılmış matris RREF içindedir; ikiden fazla bileşen ortadan kaldırılamaz.

Örnek:

(Tutarsız denklemler)
x + y = 2􏰘 􏰓112􏰔 􏰓112􏰔 􏰗x + y = 2 ⇔∼⇔
2x + 2y = 5 2 2 5 0 0 1 0 + 0 = 1

Bu denklem sisteminin, iki sayı varsa bir çözümü vardır ve y 0 + 0 = 1’dir. Bu, çözüm olmadığını söylemenin aldatıcı bir yoludur. Buradaki artırılmış matrisin son biçimi RREF’dir.

Örnek:

(Aptalca denklem sırası)
Bir robot şu hatayı yapabilir:
0x + y = −2 􏰘 􏰓0 1 −2􏰔
⇔ ∼ ···,
x + y = 7 117

ve sonra pes eder çünkü sol üstteki yuva bir pivot olarak işlev göremez, çünkü orada yaşayan 0, altındaki sıfırı ortadan kaldırmak için kullanılamaz. Elbette yapılacak doğru şey, başlamadan önce denklemlerin sırasını değiştirmektir.

x + y = 7 􏰘 􏰓1 1 7􏰔 􏰓1 0 9􏰔 􏰗 x + 0 = 9 0x + y = −2 ⇔ 0 1 −2 ∼ 0 1 −2 ⇔ 0 + y = −2.

Yukarıdaki üçüncü artırılmış matris, birinci ve ikinci RREF’tir. Yani, RREF’e giderken sıraları değiştirebilirsiniz.

Daha büyük denklem sistemleri için artıklık ve tutarsızlık, kimlik matrisini elde etmenin ve dolayısıyla x = a, y = b, … biçiminde basit bir çözüm ifadesinin önündeki engellerdir. Genel olarak bir denklem sistemini maksimum düzeyde basitleştirmek için ne yapabiliriz?

Çözümlerini değiştirmeden sistemimizi basitleştiren işlemler gerçekleştirmemiz gerekiyor. Denklemlerin sırasını değiş tokuş etmek, bir denklemi sıfır olmayan bir sabitle çarpmak veya denklemler eklemek sistemin çözümlerini değiştirmediği için üç işleme yönlendiriyoruz:

• (Satır Değiştirme) Herhangi iki satırı değiştirin.
• (Skaler Çarpma) Herhangi bir satırı sıfır olmayan bir sabitle çarpın.
• (Satır Ekleme) Bir satırı başka bir satıra ekleyin.

Bunlar Temel Satır İşlemleri veya kısaca ERO’lar olarak adlandırılır ve önceki bölümde ayrıntılı olarak incelenmiştir. Şimdi, ilk satırdaki ilk girişin kaybolmadığı genel bir genişletilmiş matrisimiz olduğunu varsayalım. Sonra, sadece üç ERO kullanarak, aşağıdaki işlemleri yapabiliriz.

RREF Elde Etme Algoritması:

• Çarparak en soldaki sıfırdan farklı girişi en üst satır 1’de yapın. • Sonra bu 1’i, altındaki her şeyi ortadan kaldırmak için bir pivot olarak kullanın.
• Sonra bir sonraki satıra gidin ve en soldaki sıfır olmayan girişi 1 yapın.
• Bu 1’i, altındaki ve üzerindeki her şeyi ortadan kaldırmak için bir pivot olarak kullanın!
• Sonraki satıra gidin ve en soldaki sıfır olmayan girişi 1 … vb yapın.

İlk satırın ilk girişinin sıfır olması durumunda, önce ilk satırı, ilk girişi yok olmayan başka bir satırla değiştirebilir ve ardından yukarıdaki algoritmayı uygulayabiliriz. İlk sütunun tamamı kaybolursa, algoritmayı kalan sütunlara da uygulayabiliriz.

Başlangıç Elemesi

Bu algoritma ve varyasyonları Gauss eliminasyonu olarak bilinir. Algoritmanın uç noktası, formun artırılmış bir matrisidir.

Buna Reduced Row Echelon Form (RREF) denir. Yıldız işaretleri, rastgele sayıların olasılığını gösterir.

Bu algoritmayı elle yapmayı öğrenmek, doğrusal cebiri öğrenmenin ilk adımıdır; bu dersin birincil hesaplama aracı olacaktır. İlerlemek için bunu iyi öğrenmek gerekiyor. Bu yüzden, olabildiğince çabuk çalışmaya başlayın ve sık sık pratik yapın.

Başlangıç Elemesi Denklik ve Çözme İşlemi Doğrusal Denklem Sistemleri Eşdeğerlik Örneği İndirgenmiş Sıralı Kademe Formu Lineer Cebir Nedir 6 – Doğrusal Denklem Sistemleri 2 - Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma RREF Elde Etme Algoritması

Lineer Cebir Nedir? (6) – Doğrusal Denklem Sistemleri 2 – Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma