Pertürbasyon Teorisi
Şimdiye kadar tüm etkileşimlerin kendi enerjileri için kullandığımız birinci dereceden pertürbasyon teorisinde, sürecin veya pertürbasyonun, sistemin geri kalanının dengede kalması için yeterince küçük olduğu varsayılır.
Öz-enerji terimlerinin bir dizi farklı kaynağının varlığı için bu, her terimi kendi başına ele alabileceğimiz ve yayılan elektronlar sistemi üzerindeki toplam etkiyi, bireysel olarak bir öz-enerji tarafından tanımlanan kısmi etkilerin bir toplamı olarak düşünebileceğimiz anlamına gelir. enerji terimi. Birinci dereceden pertürbasyon sonucu öz-enerji terimlerini yok ettiği için elektron-elektron etkileşimlerinin dikkate alınmadan kalabileceğini gördük. İletken arayüzde iki kurşun A, B ve elastik olmayan etkiler içeren bir sistemi düşünürsek, toplam öz enerji tüm katkıların toplamı olacaktır.
Bir iletken ve iki uçtan oluşan bir sistemi göz önünde bulundurarak, iletken içindeki elektron-fonon etkileşimlerini hesaba katarak ve A, B uçlarının termal dengede olduğunu varsayarak öz enerjiler için (matris notasyonunda) elde ederiz.
Şu anda ele alınan Green'in denge dışı fonksiyonları dışında, açık sistemlerde elektron taşınmasının ana sorunu, sonsuz yolların öz enerjilerini bulmaktır. Literatür taraması ve örneğin iki uçtaki Hartree potansiyellerinin değişmesi nedeniyle kendi kendine tutarlılık prosedürünü göz önünde bulundurarak, bu gerçekten de biçimciliğin geniş bir şekilde uygulanmasının önündeki ana engeldir.
Bir süper hücre yaklaşımında, sorunun çözülmesi aslında daha kolay olabilir. Hartree potansiyelinde bağlı uçların uzunluğu boyunca doğrusal bir artış göz önüne alındığında, sistemin tepkisi, iletken ile arayüzlerde iki yüzey dipolü geliştirmek olacaktır. Birleştirilmiş uçların kütle bölgesinde, elektron dağılımının herhangi bir önyargı voltajı uygulanmadan denge dağılımına yakın olması beklenebilir. Bu durumda denklemler azalacaktır.
Burada ΓL(R)(E), iletkenin solundaki (sağındaki) kontağı belirtir. Eğer A kontakları uçların çok içinde hesaplanırsa, böylece yüzey dipolleri iletken arayüzünün bir parçası olur, o zaman bunların yalnızca uçların denge durumu (kimyasal potansiyel μ0 ile) için hesaplanması gerekir.
Bununla birlikte, şimdiye kadar, açık sistemlerin taşıma simülasyonları yalnızca yerel bir temel set içinde gerçekleştirildi ve işlemi en hassas elektronik yapı yöntemlerimize, yani düzlem dalga ve tam potansiyel yoğunluk fonksiyonel hesaplamalarına dahil etmenin hiçbir yolu bulunamadı.
Pertürbasyon nedir ftr
Pertürbasyon Nedir
Pertürbasyon egzersizleri
Pertürbasyon eğitimi
Perturbation
Dengesiz Fonksiyonlar
Sistemin dengesiz Green fonksiyonu, yukarıda tanımlandığı gibi ileri ve geri kalmış fonksiyonlarına ve elastik olmayan etkiler de dahil olmak üzere kendi enerjilerine bağlıdır. Geliştirilen biçimcilik içinde bunlar aşağıdaki matrislerle verilmektedir.
Yük yoğunluğunu ve toplam yükü, denge halindeki bir sistemin geciktirilmiş ve gelişmiş fonksiyonuyla ilişkilendirmek mümkün olsa da, bu yalnızca her iki kurşunun Fermi seviyesinden daha küçük bir enerji seviyesi için dengenin olmadığı durumda geçerlidir.
Bir sistemin toplam yükünü hesaplamak için, bölümün sistemin yük yoğunluğuna enerji entegrasyonu iki bölüme ayrılmalıdır: ilk bölüm geciktirilmiş fonksiyon GR(E)'ye dayanır, n1 değerini verecektir.
Burada E1, (μA −eV, μB +eV )'nin minimum değeridir. Ara aralıkta, sistem içindeki yük, dengesizlik fonksiyonundan belirlenmelidir. GR gerçek eksenin altında analitik olmadığı ve GA yukarıda analitik olmadığı için, G< için enerji üzerinden entegrasyon gerçek eksen boyunca gerçekleştirilmelidir.
E2'nin (μA − eV, μB + eV ) maksimum değeri olduğu yerde. Sistemdeki toplam yük artık sabitlenebilir, böylece n1 + n2 = N0 olur. Burada, dengede olmayan Green fonksiyonunun, iki ucun etkin potansiyelleri arasındaki enerji aralığındaki yük yoğunluğuyla ilgili olduğunu not ediyoruz.
Bu aynı zamanda elektron taşınmasının meydana geldiği aralık olduğundan, G<(E)'yi varsayımsal bir çok cisim dalga fonksiyonunun karesiyle ilişkilendirebilir ve taşıma özelliklerini dengesiz Green fonksiyonuna bağlamak için ilişkiyi kullanabiliriz.
Dengesiz koşullar altında akımın kesin türevleri, bu bölümün sonunda alıntılanan literatürde verilmektedir. Bununla birlikte, genellikle ikinci nicelemenin sembolleri ve kavramlarında kullanılırlar, bu da onları uzman olmayanlar için anlamalarını oldukça zorlaştırır; temel ilişkiler ayrıca bir sonraki alt bölümde açıklanan sezgisel yöntemle elde edilebilir.
Dengesiz Sistemlerde Elektron Taşınımı
Dengesiz Green fonksiyonunun köşegen elemanlarının yük yoğunluğuna eşit olduğunu gördük. Bu nedenle fonksiyonu, r ve r olmak üzere iki farklı konumdaki varsayımsal bir çok cisim dalga fonksiyonunun genliklerinin ürünü olarak yorumluyoruz.
Burada ikinci terimi, matrisler için kullanılan ve birazdan tanıtılacak olan çarpma sırasına uyacak şekilde yeniden sıraladık. Kaynağın, terimin köşeli parantez içindeki köşegen ifadesi olduğu göz önüne alındığında, yük yoğunluğu için öncekiyle aynı yöntemi kullanırız ve genel bir kaynak fonksiyonu S tanımlarız.
Uzayda bir entegrasyona eşit olan bu matrisin izi, iletken yüzeyinden geçen akımı verir. Yalnızca matris ifadesinin iziyle ilgilendiğimizi düşünürsek, ifade basitleştirilebilir. Çarpma sırasının değiştirilmesi, iz sabitini bırakır.
Dengesiz koşullar altında bir iletkenin yüzeyinden geçen akım akışını tanımlayan bu denklem, Keldysh biçimciliği içindeki taşıma teorisinin merkezi sonucudur.
Ancak, toplam akımı verir ve bu nedenle uçlar aracılığıyla iletken arayüzüne giren ve çıkan akımla sınırlı değildir. Uçlardan geçen bileşenleri izole etmek için öz enerjilerin toplam kurallarını hatırlarız ve yalnızca tek bir bileşen alırız, örneğin bir kurşun A'nın bileşeni yer alır.
Dengesiz koşullar altında arayüzden geçen akımın hesaplanması için gerekli bilgi bu nedenle uçların öz enerjisi ve dengesizlik fonksiyonudur. Genel olarak, gerçek hesaplamalardaki ana sorun, iletken arayüzü içinde hesaplanması gereken öz-enerji terimleriyle ortaya çıkar.
Sonuç, elastik tünel açma ve Landauer-Buttiker yaklaşımı için elde ettiğimizden oldukça farklı görünse de, denge dışı sonuç aslında elastik formülasyona indirgenebilir.
Bu, aynı zamanda, elastik ilişkide biraz gelişigüzel bir şekilde tanıtılan, ancak termal dengedeki kurşunların koşulu altında ortaya çıktığı gösterilebilen Fermi dağılım fonksiyonlarıyla da ilgilenecektir. Eşdeğerliği göstermek için önce G) fonksiyonlarını olağan formda genişletiriz ve yukarıdaki ifadeyi elde ederiz.
Kısıtlı MPC ve Kararlılık
İyi bilinen Lineer Quadratic Gauss optimal kontrolör (LQG) gibi sonsuz ufuk optimal kontrolörlerinin uygulanması kolaydır ve oldukça genel varsayımlar altında doğrusal süreçler için kararlı bir kapalı döngü garanti eder. Bununla birlikte, sonsuz ufuk kontrolü problemleri ancak tüm süreç değişkenleri kısıtsız olduğunda da çözülebilir.
Sınırlı değişkenli süreçlerle sonsuz ufuk kullanmanın ana zorluğu, ilgili optimizasyon problemini çözmek için zorunlu olarak sonlu sayıda karar değişkeni olan sayısal yöntemlerin kullanılması gerektiği gerçeğinden de kaynaklanmaktadır.
Sonlu ufuk denetleyicilerinin kararlılık analizi, özellikle değişkenler doğrusal olmayan bir kontrol yasasına yol açacak şekilde kısıtlanmışsa, çok daha zor bir iştir. Ayrıca, sorunu daha da zorlaştıran kontrol yasasının açık bir işlevsel tanımı da bulunamamıştır.
Son birkaç yılda bu alanda bir atılım yapıldı. Morari’nin belirttiği gibi, “son çalışmalar bu teknik ve bir dereceye kadar psikolojik engeli kaldırdı (insanlar denemedi bile) ve bu temel sorunun uzantılarını yeni araçlarla ele almak için geniş kapsamlı çabalar başlattı”.
Yeni yaklaşımların temel fikri, eğer uygun bir çözüm varsa, sonsuz ufuk maliyet fonksiyonlarının monoton olarak azalan gösterilebileceği ve böylece istikrarı garanti eden bir Lyapunov fonksiyonu olarak yorumlanabileceğidir.
Sonsuz maliyet ufku kontrol problemine sayısal bir çözüm bulmak için karar değişkenlerinin sayısı sonlu olmalıdır.
Bunun için iki temel yaklaşım kullanılmıştır: birincisinde amaç fonksiyonunun iki bölümden oluştuğu düşünülmüştür; biri sonlu ufuklu ve kısıtlı, diğeri sonsuz ufuklu ve kısıtsız. İkinci yaklaşım esasen eşdeğerdir ve uç durum kısıtlamalarını dayatmaktan ve sonlu bir kontrol ufku kullanmaktan oluşur.
İlk tür yaklaşım, açıklanan süreçler için asimptotik kararlılık gösteren Rawlings ve Muske tarafından elde edilen aşağıdaki sonuçları doğurmuştur. r kararsız modları ve Nu ::::: r ile stabilize edilebilir çiftler (M, N) için, yukarıda belirtilen minimizasyon problemi uygulanabilir.
Ana fikir, eğer minimizasyon problemi t örnekleme zamanında mümkünse, o zaman sonludur ve it+! :S it +x(qRx(t) +u(qSu(t) Maliyet fonksiyonu daha sonra monoton olarak azalan bir Lyapunov fonksiyonu olarak yorumlanabilir ve bu nedenle asimptotik kararlılık garanti edilir. t + 1’deki problemin de mümkün olduğuna dikkat edin. (harici bozulmalar olmadan gürültüsüz durum için).
Ayrıca amaç fonksiyonunun sonsuz ve kısıtsız kısmının bir Riccatti denklemi ile çözülebileceğini ve duruma bağlı bir maliyet fonksiyonunun elde edilebileceğini unutmayın. Bu maliyet fonksiyonu, sayısal yöntemlerle çözülen sonlu ufuk optimizasyon probleminde tanıtılmıştır.
Kontrol Sistemleri Kararlılık Analizi
Kararlılık nedir
Sistem kararlılığı nedir
Kararlılık Nedir Kimya
Routh Hurwitz kararlılık kriteri
Kararlılık analizi
Lyapunov kararlılık analizi
Kararlılık Analizi nedir
İkinci tip yaklaşım, Clarke ve Scattolini CRHPc’nin ardından GPC bağlamında geliştirilmiştir. Ana fikir, durum terminal kısıtlamalarını dayatmak veya girdi-çıktı bağlamında, maliyetlendirme ufkundan sonra yeterince geniş bir Tn ufku boyunca tahmin edilen çıktıyı tam olarak referansı takip etmeye zorlamaktır.
Kısıtlanmamış durum için CRHPC için kararlılık sonuçları elde edilmiştir. Scokaert ve Clarke, kısıtlamaların varlığında CRHPC stabilite özelliğini gösterdi.
Temel fikir, eğer uygun bir çözüm bulunursa ve yerleşme ufku Ny, çıktı değişkenlerinin geçici olayını kapsayacak kadar büyükse, maliyet fonksiyonunun monoton olarak azalmasıdır (dış rahatsızlıklar yoksa ve süreç gürültüsüz ise) ve istikrarı garanti edecek bir Lyapunov fonksiyonu olarak dayorumlanabilir.
Bir sonraki iterasyonda problemin uygulanabilir olacağı da gösterilebilir. Kısıtlı SGPC için kararlılık sonuçları, belirli sayıda (N) örnekleme döneminden sonra sabit bir w* değeri alan herhangi bir w(t) referansı için, eğer kısıtlı SGPC yeterince büyük değerler için uygunsa, Rossiter ve Kouvaritakis tarafından da elde edilmiştir. ufukların (N’ye bağlı olarak), kapalı döngü kararlı olacak ve çıktı asimptotik olarak da gidecektir.
Tüm kararlılık sonuçları, kontrol yasasının uygulanabilirliğini gerektirir. Eğer uygun bir çözüm bulunamazsa, her zaman kısıtsız çözüm kullanılabilir ve manipüle edilen değişken sınırlara klipslenebilir, ancak bu çalışma şekli kapalı döngünün (nominal tesis için) stabilitesini de garanti etmez.
Giriş kısıtlamalarının her zaman kontrol sinyallerini doyurarak karşılanabileceğini unutmayın, ancak bu, uygulanamazlığın gerçek nedeni olan çıktı veya durum kısıtlamaları için geçerli değildir. Literatürde uygulanamazlığın üstesinden gelmek için bazı önerilerde bulunulmuştur.
Rawlings ve Muske, sorunu mümkün kılmak için sonsuz ufkun ilk kısmında durum kısıtlamalarının kaldırılmasını önerdi. Zheng ve Morari, fizibiliteyi sağlamak için durum üzerindeki katı kısıtlamaların (Hx(i) ~ h) yumuşak kısıtlamalarla (Hx(i) ~ h + E ile E ~ 0) değiştirilmesini önerdiler ve maliyet fonksiyonuna sırasıyla EtQE terimini eklediler. kısıtlama ihlalini cezalandırmak ve böylece daha iyi bir performans elde etmeyi de sağlar.
Ayrıca, Nu yeterince büyük olarak seçilirse, herhangi bir stabilize edilebilir sistemin MPC tarafından yumuşak kısıtlamalar ve durum geri beslemesi ile asimptotik olarak stabilize edilebileceğini ve ayrıca herhangi bir açık döngü kararlı sistemi çıkış geri beslemesi (bir gözlemci tarafından hesaplanan durum vektörü) ile stabilize ettiğini de gösterdiler.
Muske ve diğerleri, ilk aşamalarda durum kısıtlamalarını zorlamayan çıktı geri beslemeli bir sonsuz ufuklu MPC’nin, açık döngü kararlı sistemleri kontrol ederken kararlı bir kapalı döngü ürettiğini ve aynı zamanda, ilk süreç ve gözlemci durumlarının olması koşuluyla kararsız süreçleri de stabilize ettiğini göstermiştir. Bunlar, uygulanabilir bölge içindedir.
Scokaert ve Clarke, uygun çözümler bulunmadığında kısıtlamaları ortadan kaldırmanın bir yolunu önerdiler. Fikirleri, uygun bir çözüm bulunana kadar alt kısıtlama ufkunu da arttırmaktır.
Ayrıca, kısıtlamaları ortadan kaldırmanın başka bir olası yolunun, bir uçta kritik olanlar ve diğer uçta daha az önemli olan hiyerarşik bir şekilde organize edilmesini sağlamak olduğunu öne sürüyorlar. Bu sıralama, uygun bir çözüm bulunmadığında kısıtlamaları kaldırmak için de kullanılabilir.