Pertürbasyon Teorisi
Şimdiye kadar tüm etkileşimlerin kendi enerjileri için kullandığımız birinci dereceden pertürbasyon teorisinde, sürecin veya pertürbasyonun, sistemin geri kalanının dengede kalması için yeterince küçük olduğu varsayılır.
Öz-enerji terimlerinin bir dizi farklı kaynağının varlığı için bu, her terimi kendi başına ele alabileceğimiz ve yayılan elektronlar sistemi üzerindeki toplam etkiyi, bireysel olarak bir öz-enerji tarafından tanımlanan kısmi etkilerin bir toplamı olarak düşünebileceğimiz anlamına gelir. enerji terimi. Birinci dereceden pertürbasyon sonucu öz-enerji terimlerini yok ettiği için elektron-elektron etkileşimlerinin dikkate alınmadan kalabileceğini gördük. İletken arayüzde iki kurşun A, B ve elastik olmayan etkiler içeren bir sistemi düşünürsek, toplam öz enerji tüm katkıların toplamı olacaktır.
Bir iletken ve iki uçtan oluşan bir sistemi göz önünde bulundurarak, iletken içindeki elektron-fonon etkileşimlerini hesaba katarak ve A, B uçlarının termal dengede olduğunu varsayarak öz enerjiler için (matris notasyonunda) elde ederiz.
Şu anda ele alınan Green'in denge dışı fonksiyonları dışında, açık sistemlerde elektron taşınmasının ana sorunu, sonsuz yolların öz enerjilerini bulmaktır. Literatür taraması ve örneğin iki uçtaki Hartree potansiyellerinin değişmesi nedeniyle kendi kendine tutarlılık prosedürünü göz önünde bulundurarak, bu gerçekten de biçimciliğin geniş bir şekilde uygulanmasının önündeki ana engeldir.
Bir süper hücre yaklaşımında, sorunun çözülmesi aslında daha kolay olabilir. Hartree potansiyelinde bağlı uçların uzunluğu boyunca doğrusal bir artış göz önüne alındığında, sistemin tepkisi, iletken ile arayüzlerde iki yüzey dipolü geliştirmek olacaktır. Birleştirilmiş uçların kütle bölgesinde, elektron dağılımının herhangi bir önyargı voltajı uygulanmadan denge dağılımına yakın olması beklenebilir. Bu durumda denklemler azalacaktır.
Burada ΓL(R)(E), iletkenin solundaki (sağındaki) kontağı belirtir. Eğer A kontakları uçların çok içinde hesaplanırsa, böylece yüzey dipolleri iletken arayüzünün bir parçası olur, o zaman bunların yalnızca uçların denge durumu (kimyasal potansiyel μ0 ile) için hesaplanması gerekir.
Bununla birlikte, şimdiye kadar, açık sistemlerin taşıma simülasyonları yalnızca yerel bir temel set içinde gerçekleştirildi ve işlemi en hassas elektronik yapı yöntemlerimize, yani düzlem dalga ve tam potansiyel yoğunluk fonksiyonel hesaplamalarına dahil etmenin hiçbir yolu bulunamadı.
Pertürbasyon nedir ftr
Pertürbasyon Nedir
Pertürbasyon egzersizleri
Pertürbasyon eğitimi
Perturbation
Dengesiz Fonksiyonlar
Sistemin dengesiz Green fonksiyonu, yukarıda tanımlandığı gibi ileri ve geri kalmış fonksiyonlarına ve elastik olmayan etkiler de dahil olmak üzere kendi enerjilerine bağlıdır. Geliştirilen biçimcilik içinde bunlar aşağıdaki matrislerle verilmektedir.
Yük yoğunluğunu ve toplam yükü, denge halindeki bir sistemin geciktirilmiş ve gelişmiş fonksiyonuyla ilişkilendirmek mümkün olsa da, bu yalnızca her iki kurşunun Fermi seviyesinden daha küçük bir enerji seviyesi için dengenin olmadığı durumda geçerlidir.
Bir sistemin toplam yükünü hesaplamak için, bölümün sistemin yük yoğunluğuna enerji entegrasyonu iki bölüme ayrılmalıdır: ilk bölüm geciktirilmiş fonksiyon GR(E)'ye dayanır, n1 değerini verecektir.
Burada E1, (μA −eV, μB +eV )'nin minimum değeridir. Ara aralıkta, sistem içindeki yük, dengesizlik fonksiyonundan belirlenmelidir. GR gerçek eksenin altında analitik olmadığı ve GA yukarıda analitik olmadığı için, G< için enerji üzerinden entegrasyon gerçek eksen boyunca gerçekleştirilmelidir.
E2'nin (μA − eV, μB + eV ) maksimum değeri olduğu yerde. Sistemdeki toplam yük artık sabitlenebilir, böylece n1 + n2 = N0 olur. Burada, dengede olmayan Green fonksiyonunun, iki ucun etkin potansiyelleri arasındaki enerji aralığındaki yük yoğunluğuyla ilgili olduğunu not ediyoruz.
Bu aynı zamanda elektron taşınmasının meydana geldiği aralık olduğundan, G<(E)'yi varsayımsal bir çok cisim dalga fonksiyonunun karesiyle ilişkilendirebilir ve taşıma özelliklerini dengesiz Green fonksiyonuna bağlamak için ilişkiyi kullanabiliriz.
Dengesiz koşullar altında akımın kesin türevleri, bu bölümün sonunda alıntılanan literatürde verilmektedir. Bununla birlikte, genellikle ikinci nicelemenin sembolleri ve kavramlarında kullanılırlar, bu da onları uzman olmayanlar için anlamalarını oldukça zorlaştırır; temel ilişkiler ayrıca bir sonraki alt bölümde açıklanan sezgisel yöntemle elde edilebilir.
Dengesiz Sistemlerde Elektron Taşınımı
Dengesiz Green fonksiyonunun köşegen elemanlarının yük yoğunluğuna eşit olduğunu gördük. Bu nedenle fonksiyonu, r ve r olmak üzere iki farklı konumdaki varsayımsal bir çok cisim dalga fonksiyonunun genliklerinin ürünü olarak yorumluyoruz.
Burada ikinci terimi, matrisler için kullanılan ve birazdan tanıtılacak olan çarpma sırasına uyacak şekilde yeniden sıraladık. Kaynağın, terimin köşeli parantez içindeki köşegen ifadesi olduğu göz önüne alındığında, yük yoğunluğu için öncekiyle aynı yöntemi kullanırız ve genel bir kaynak fonksiyonu S tanımlarız.
Uzayda bir entegrasyona eşit olan bu matrisin izi, iletken yüzeyinden geçen akımı verir. Yalnızca matris ifadesinin iziyle ilgilendiğimizi düşünürsek, ifade basitleştirilebilir. Çarpma sırasının değiştirilmesi, iz sabitini bırakır.
Dengesiz koşullar altında bir iletkenin yüzeyinden geçen akım akışını tanımlayan bu denklem, Keldysh biçimciliği içindeki taşıma teorisinin merkezi sonucudur.
Ancak, toplam akımı verir ve bu nedenle uçlar aracılığıyla iletken arayüzüne giren ve çıkan akımla sınırlı değildir. Uçlardan geçen bileşenleri izole etmek için öz enerjilerin toplam kurallarını hatırlarız ve yalnızca tek bir bileşen alırız, örneğin bir kurşun A'nın bileşeni yer alır.
Dengesiz koşullar altında arayüzden geçen akımın hesaplanması için gerekli bilgi bu nedenle uçların öz enerjisi ve dengesizlik fonksiyonudur. Genel olarak, gerçek hesaplamalardaki ana sorun, iletken arayüzü içinde hesaplanması gereken öz-enerji terimleriyle ortaya çıkar.
Sonuç, elastik tünel açma ve Landauer-Buttiker yaklaşımı için elde ettiğimizden oldukça farklı görünse de, denge dışı sonuç aslında elastik formülasyona indirgenebilir.
Bu, aynı zamanda, elastik ilişkide biraz gelişigüzel bir şekilde tanıtılan, ancak termal dengedeki kurşunların koşulu altında ortaya çıktığı gösterilebilen Fermi dağılım fonksiyonlarıyla da ilgilenecektir. Eşdeğerliği göstermek için önce G) fonksiyonlarını olağan formda genişletiriz ve yukarıdaki ifadeyi elde ederiz.
Kazançta Belirsizlik
Bu durumda, nominal süreç G’nin bir Ge kazancı vardır, gerçek sürecinki ise “fGe h” birimden daha büyük veya daha küçük olabilir. Bu faktör, her iki işlemin de aynı faza ancak farklı modüllere sahip olmasına neden olacaktır. Şimdiye kadar kullanılan yapılandırılmamış belirsizlikler için, her w için diskin yarıçapı, sürecin kazanımları ile nominalin arasındaki fark olacaktır.
a = 0,8, m = 1 ve d =5 parametreleriyle nominal bir işlem için ailedeki işlemlerin kazançlarından daha büyük olan işlemlerin kararlılık sınırını gösterir. Gölgeli bölge içindeki herhangi bir işlem, nominal işlem için tasarlanmış kontrolör ile kararlı olacaktır.
Görüldüğü gibi, ‘Y = 1,6 olan bir işlem her zaman güvenli bölge içinde bulunurken, ‘Y = 1.8 ise işlem belirli w değerleri için kararlı bandı terk eder ve bu nedenle kapalı döngü kararsız olacaktır.
a = 0.9, m = 1 ve d = 10 gibi başka bir durumu incelemek, 4.28’de gösterilen sonuçları elde eder. Burada “I = 1.5” olan işlemin kararlı bölgede kaldığını, “I 1.6 değerine yükseltilirse, onu terk ettiğini görür. Sayısal olarak (4.12) ifadesinden limitin “I =1.52.
Belirlenen durumlar için elde edilen bu sonuçlar önceki bölümlerde sunulanlarla karşılaştırılabilir. Böylece, şekil 4.5’e bakıldığında, a = 0.8 ve gecikme 5 için süreç “I =1.6 için kararlıdır, ancak” I =1.8 için değildir. Aynı şekilden, a =0.9 ve gecikme 10 için stabilitenin “I =1.5” için korunduğu, ancak “I =1.6 için korunmadığı da görülebilir. Sonuçların beklendiği gibi benzer olduğunu göstermek için başka herhangi bir değer kullanılabilir.
Gecikmede Belirsizlik
Gecikmedeki belirsizlik, tesis transfer fonksiyonunda z-d±l:.d için z-d terimi değiştirilerek modellenebileceğinden, yapılandırılmış bir belirsizlik olarak ele alınabilir. Kazanca benzer şekilde, daha önce belirtilen sağlamlık kriterini uygulamak için yapılandırılmamış olarak kabul edilecektir.
İyi bilindiği gibi, herhangi bir işlemin gecikmesindeki bir değişiklik, modülü değiştirmeden bırakarak, yalnızca fazının davranışını etkiler. Bu gerçek belirli bir frekans için yansıtılır. Diskin yarıçapı la, aynı ailedeki işlemler arasında izin verilen maksimum faz değişim katsayısını belirler.
Sınırın, Ia > 2 IGI olacak şekilde olduğu frekanslar için, herhangi bir faz değişikliğine izin verildiğine ve bu nedenle gecikmedeki herhangi bir değişikliğin, süreci kararlılık bölgesi (söz konusu frekanslar için) içinde tutacağına dikkat edin.
ÇOK DEĞİŞKENLİ GPC
Çoğu endüstriyel tesis, kontrol edilmesi gereken birçok değişkene (çıktılar) ve tesisi kontrol etmek için kullanılan birçok manipüle edilmiş değişkene veya değişkene (girdiler) sahiptir. Belirli durumlarda, manipüle edilen değişkenlerden birindeki bir değişiklik, esas olarak karşılık gelen kontrol edilen değişkeni etkiler ve giriş-çıkış çiftlerinin her biri, tek girişli tek çıkışlı (SISO) bir tesis olarak kabul edilebilir ve bağımsız döngüler tarafından kontrol edilebilir.
Çoğu durumda, manipüle edilen değişkenlerden biri değiştirildiğinde, yalnızca ilgili kontrollü değişkeni etkilemekle kalmaz, aynı zamanda diğer kontrollü değişkenleri de bozar. Süreç değişkenleri arasındaki bu etkileşimler, kontrol sürecinin zayıf performansına ve hatta kararsızlığa neden olabilir.
Etkileşimler ihmal edilebilir olmadığında, tesis, bir dizi SISO süreci yerine, birden çok girdi ve çıktıya (MIMo) sahip bir süreç olarak düşünülmelidir. MIMO süreçlerinin kontrolü literatürde kapsamlı bir şekilde ele alınmıştır; MIMO süreçlerini kontrol etmenin belki de en popüler yolu, etkileşimleri bastırmak veya azaltmak için ayrıştırıcı dengeleyiciler tasarlamak ve ardından birden fazla SISO denetleyicisi tasarlamaktır.
Bu öncelikle girdi ve çıktı değişkenlerinin nasıl eşleştirileceğini, yani çıktı değişkenlerinin her birini kontrol etmek için hangi manipüle edilmiş değişkenin kullanılacağını ve ayrıca tesisin aynı sayıda manipüle edilmiş ve kontrol edilen değişkene sahip olmasını gerektirir. Karmaşık dinamikleri olan veya ölü zamanlar sergileyen süreçler için toplam ayrıştırma elde etmek çok zordur.
Model Öngörülü Kontrolün avantajlarından biri, çok değişkenli süreçlerin basit bir şekilde ele alınabilmesidir. Bu bölüm, GPC’nin MIMO süreçlerinde nasıl uygulanabileceğini göstermeye ayrılmıştır.
Çok Değişkenli GPC’nin Türetilmesi
Operatör 6, 6 = 1 – r l olarak tanımlanır. y(t), u(t) ve e(t) değişkenleri, t zamanında n x 1 çıktı vektörü, Tn x 1 giriş vektörü ve n x 1 gürültü vektörüdür. Gürültü vektörünün sıfır ortalamalı beyaz bir gürültü olduğu varsayılır.
y(t + .1 I t), t zamanına kadar olan veriler üzerinde sistem çıktısının optimum .1-adım ileri tahmini olduğu durumda; yani, geçmiş girdi ve çıktı vektörleri ve gelecekteki kontrol dizisi biliniyorsa, t zamanında çıktı vektörünün beklenen değeri. N1 ve N2, minimum ve maksimum tahmin ufuklarıdır ve w(t +.1), çıktı vektörü için gelecekteki bir ayar noktası veya referans dizisidir. Rand Qare pozitif kesin ağırlık matrisleridir.
Beyaz Gürültü Kılıfı
İlk önce, matris C(z-l) = I nxn olduğunda en olağan durumu ele alacağız. Bunun nedeni, özellikle çok değişkenli durumda renklendirme polinomlarının pratikte yeterli doğrulukla tahmin edilmesinin çok zor olmasıdır. Aslında, birçok tahmine dayalı kontrolör, tasarım parametreleri olarak renklendirme polinomlarını kullanır. Çıkış vektörü için optimal tahmin, aşağıdaki gibi tek değişkenli durumda olduğu gibi üretilebilir.
(5.9) denkleminin sağ tarafındaki son iki terimin, proses çıktısı ve girdi değişkenlerinin geçmiş değerlerine bağlı olduğuna ve kontrol sinyalleri sabit tutulduğunda ele alınan prosesin serbest yanıtına karşılık geldiğine ve sadece ilk terimin sadece ilk terime karşılık geldiğine dikkat edin. kontrol sinyalinin gelecekteki değerlerine bağlıdır ve zorunlu yanıt olarak yorumlanabilir. Yani j = 0,1··· için başlangıç koşulları sıfır olduğunda elde edilen yanıttır.
beklenen çıktı dizisi [y(t + I)T, y(t + 2)T, … ,y(t + N)TlT, G matrisinin ilk satırına veya Go, Gt matrislerinin ilk satırlarına eşittir ,···, GN – I. Yani, G matrisinin ilk satırı, ilk kontrol sinyaline bir birim adım uygulandığında tesisin adım yanıtı olarak hesaplanabilir. Satır i, i-girişine bir birim adım uygulanarak benzer şekilde elde edilebilir.