Basamak Gösterimi
Bize N doğal sayısı verildi ve N’nin basamaklarının toplamını ondalık gösteriminde hesaplayacak bir program istiyoruz. ds işlevinin bağımsız değişkeninin basamak toplamını döndürdüğünü sunuyoruz.
Yani, orijinal problem {nanu,ly, ds(N)’yi hesaplamak için) ilgili bir probleme (ds(n) hesaplamak için) indirgenir ve iki çözüm arasındaki fark bir değişkende (yani, x) depolanır. .
x = ds(n) şeklindeki bir değişmez uçmaz; diğer türe gerçekten ihtiyacımız var. Bir sonraki deneyeceğimiz örnek, eyer sırtında aramayla biraz ilgili. x tamsayısı ve a[0…!\.1-1,O..N-1] matrisi verildiğinde, x’in arama y’nin bir öğesi olarak ne sıklıkla oluştuğunu saymak için bir program oluşturacağız.
Satırlar ve sütunlar, uygun i ve j için a[i,j] < a[i,j + 1] ve a[i,j] > a[i + 1,j]’ye göre sıralanır. (Bu sefer bize x’in en az bir kez olduğu verilmedi; bunun yerine oluşumların sayısını sayacağız.)
Problem boyutunu küçülterek bu problemi çözüyoruz. Bu özel durumda, M x N boyutunda belirli bir dikdörtgen bölgedeki x sayısını saymamız isteniyor. Problemi daha küçük bir dikdörtgen bölgedeki x sayısını saymaya indirgiyoruz ve k değişkenini değişkene ekliyoruz. sonucu M x N bölgesi için sayıyı verir. Büyük bölgedeki x sayısını temsil etmek için K sabitini kullanıyoruz.
Her zaman başlatmayı olabildiğince basit hale getirmeye çalışıyoruz. Sol taraf, M x N bölgesindeki x’lerin sayısı olan K’yi içerir ve bu nedenle, sağ taraftaki sıralamanın aynı M x N bölgesi üzerinde olduğundan emin olsak iyi olur. Bu, başlangıçta m, n’nin 0, 0 ve dolayısıyla k’nin 0 olarak ayarlanmasını önerir.
Sonlandırma üzerine K = k olmasını istiyoruz; yani cevap k değişkenidir. K = k’yi elde etmek için, daha küçük bölge üzerindeki x’lerin sayısının 0 olması gerekir, bu en iyi bölgenin boş bırakılmasıyla elde edilir. Bu, m=M’In=N ile gösterilir. Daha güçlü m=M1\n=N gerekli değildir; yüksekliği veya genişliği sıfırsa, dikdörtgen bir alan boştur.
Başlangıçta m = n = 0 olduğundan, döngünün gövdesi m’yi veya n’yi veya her ikisini birden artıran ifadeler içerir. Programın V.’e benzeyeceğini artık belirledik.
Ve ifadelerin sabit kalmasını sağlayacak şekilde noktalar için koşullar düşünmeliyiz. {K ·’nin üç alternatiften birinde de artacağına dair cesur bir tahminde bulunduk aslında, k sonsuza kadar sabit kalamayacağı için bu o kadar da cesur bir tahmin değildir.
Öte yandan, değişmezi tahrif etmeden m ve n sabitse k değiştirilemez ve bu nedenle k değiştiğinde m veya n veya her ikisi de değişir; en simetrik seçimi seçeriz.) Hem m hem de n’nin a’nın indeks aralığında olması gerçeğinden faydalanabiliriz, böylece a[m,n] döngü gövdesinde iyi tanımlanır.
Tabii ki: Koşul, beklediğimiz veya umduğumuz şeydir, bu da programımızın bittiği anlamına gelir. Değişmez, bağlı fonksiyonun aşağıdan sınırlı olduğunu ima eder. Yinelemenin her adımı, m veya n’yi veya her ikisini birden artırır ve bu durumların her birinde sınır işlevi azaltır. Bu nedenle, program sonlandırılır.
Bu örnekte kullanılan değişmezin türüne bazen kuyruk değişmezi denir. Resimli. k’nin değeri, gölgeli, L şeklindeki alanda x’in oluşum sayısına eşittir. Değişmez bunu, x’in büyük dikdörtgendeki oluşum sayısı olan K’nin, k artı daha küçük beyaz dikdörtgendeki x’in oluşum sayısına eşit olduğunu belirterek ifade eder. Şekil ayrıca m veya n veya her ikisini birden artırırken küçük dikdörtgenden kaybolan i,j çiftlerini göstermektedir.
k’nin, şeklin sol alt köşesindeki bir dikdörtgende x’in görülme sayısı olduğunu ifade eder. m veya n’nin artmasını sağlamak için, böyle bir değişmez, L şeklindeki bölgenin geri kalanını oluşturan iki kolda x’in oluşmadığını ifade edecek terimlerle genişletilmelidir.
Bu ek karmaşıklık, kuyruk değişmeziyle önlenir. Bu bölümü, ünlü sorunu olarak bilinen bir örnekle daha bitiriyoruz. Bir grup insan arasında ünlü, herkes tarafından tanınan ancak kimseyi tanımayan kişidir. 0’dan itibaren numaralandırılan N kişilik bir grup için, ilişki boolean b[i,j] ile temsil edilir. Bir ünlünün var olduğu göz önüne alındığında, bizden bir ünlü bulmak için bir program yazmamız istendi.
Ondalık gösterim basamak adları
Ondalık gösterimde Basamak Değeri
Ondalık basamaklar
Onda birler basamağına Yuvarlama
Yüzde birler basamağı
ondalık gösterimlerin basamak değerleri
Binde binler basamağı
Yüzde birler basamağı Yuvarlama
Problem, var olduğuna göre c(i)’nin tuttuğu 0 ile N-1 aralığında bir i indeksi bulmaktır. İkinci aralığı kısıtlayarak problem boyutunu azaltırız; bu değişmeze yol açar.
Mümkün olan en yüksek aralık olan m= 0 An n= N-1’den başlayarak ve aralık bir eleman, yani aradığımız indeks olan m = n’yi içerdiğinde durarak, sınır fonksiyonunun olduğunu ayarladık.
Programı biraz daha az simetrik hale getirmesine rağmen, if ifadesinin iki koruyucusunu bile güçlendirebiliriz. (Korumalardan en az biri doğru olduğu sürece, programın doğruluğunu etkilemeden bir if-ifadesinin koruyucularını her zaman güçlendirebiliriz.)
Rastgele Örnekler
İşte ikili aramanın bir varyasyonu. Diyelim ki bize N doğal sayısı verildi. N’nin karekökünün tamsayı kısmını, yani i2N<(i+1)2’yi i’de saklayan bir program yazacağız. Bir değişkenle değiştirilecek sabit 1’dir. (2’yi değiştirmek pek mantıklı görünmüyor.
Değişken daha sonra karekök aramanın sınırlandırıldığı t aralığının boyutunu gösterir. İkili arama fikri, bu aralığın boyutunu her adımda yarıya indirmektir, bu nedenle boyutun 2’nin gücü olmasına izin vermeye çalışalım.
Değişmezliğin doğrulanmasını atlıyoruz.) (i + k)2’nin her zaman hesaplandığını gözlemleyin. Bu hesaplamayı ortadan kaldırmaya çalışalım. Aslında, (i+k)2 her zaman N ile karşılaştırılır. (i+k)2=i2+2ik+k2 olduğundan ve N ile karşılaştırmadan dolayı, aşağıdaki değişkenleri tanıtmaya karar verdik.
a, b ve c’yi tanıttıktan sonra, i ve k değişkenleri gereksizdir ve onları programdan kaldırırız. Gerektiğinde, değerlerini her zaman a, b ve c’den “kurtarabiliriz”. Bu koordinat dönüşümü sayesinde, program dönüşür.
Bir önceki programın cevabı i’dir. Ancak şimdi, uzakta “geliştirildim”. Bununla birlikte, sonlandırma üzerine, k = 1’e sahip olduk, bu da b = i anlamına gelir, dolayısıyla b, yeni programın sonucudur. Son bir iyileştirme olarak, a + 2 · b’nin üçlü değerlendirmesinden kaçınıyoruz.
Ardından, başlamak için iyi bir fikre ihtiyacınız olan bir probrram örneği geliyor. Sorun, doğal logaritmanın tabanı olan e’nin ilk çok sayıda basamağını yazdırmaktır. Bu durumda iyi fikir, e = L::o olmasıdır. Sonsuz toplamlarla çalışmak zordur, bu yüzden kendimizi kısıtladığımızı varsayalım.
Yaptığımız hata yaklaşık olarak dışarıda bırakılan ilk terim, yani 1cil!’ 10-159’dan daha az olan. Bu nedenle, toplamı doğru hesapladığımızda, ondalık noktadan sonraki ilk 159 haneye kadar e’ye sahibiz.
E: h olduğundan, ikinci toplama e’nin kesirli kısmıdır (2 < e < 3 olduğundan). Kesirleri ondalık gösterimde bir basamak dizisi olarak yazmaya alışkınız, €4, L;iA; rakamların ağırlıklarında. Yeni icat ettiğimiz faktöriyel notasyonumuzda, c4 basamağının ondalık gösterimde sahip olduğu ağırlık yerine f ağırlığı vardır.
Görünüşe göre e = 2.1111 yazabiliriz · e’nin ondalık gösterimde basılmasını gerçekten istiyorduk. Yapılması gereken tek şey bir gösterimden diğerine dönüştürmektir.
Bunu nasıl yaparız ? fr eyleminin baştaki ondalık basamağı, 10 · f’nin tamsayı kısmıdır. (Bu gözlem, f’nin temsil edilme biçiminden bağımsızdır; hesaplama algoritması, temsile bağlıdır.)
İkinci ondalık basamak, 10 katın tamsayı kısmıdır (10 · f’nin kesri) ve kötü niyetli tümevarımla, f’nin baştaki 159 ondalık basamağının gerçekleştirilerek yazdırıldığını buluruz.