Matris Oluşturmak
Önceki yazılarımızda, öz enerjiyi, bir veya daha fazla uçla birleştiğinde bir iletkendeki elektron durumlarındaki değişiklikleri tanımlayan Hamiltoniyene ek bir karmaşık terim olarak ele aldık. İletken içinde elektron dalgalarının tutarlı olduğunu, yani iletkenin uzunluk ölçeği üzerinde fazda olduklarını varsaydık.
Ancak bu, yalnızca elektronlar birbirleriyle veya iletken kafesin fononlarıyla etkileşime girmezse doğrudur. Etkileşimler, bir uçtan diğerine iletimi elde etmek için dahil edilmesi gereken iletkenin kendisinde ek faz kırılmasına neden olur.
Farklı işlemler için faz kesmeyi dahil etmenin bir yolu gösterildi. Yöntemin ana başarısı, Green'in GR ve GA fonksiyonlarını denge durumu olmayan bir sistemin Green fonksiyonlarıyla ilişkilendirmekti. Önce kendi enerjilerinin Σ iletken içindeki akım akışı üzerindeki etkisini ele alalım. Gecikmeli fonksiyonun matris tanımını yerel bir temsile yeniden yazarsak, matris çarpımlarını uzaydaki integrallerle değiştirmemiz gerekir.
Sağdaki kaynak terim, r noktasındaki birim uyarımı temsil eder. Bu terimi atlarsak, öz enerji terimini içeren bir Schrödinger denklemine ulaşırız.
Bu durumda kendi kendine enerji terimi, Hamiltonyen'de ek bir enerji bileşeni olarak ortaya çıkar. Daha önce, Green'in iletkenin GR işlevi aracılığıyla kendi enerjisini iletim olasılıklarıyla ilişkilendirerek, yalnızca sonsuz uçların iletkenlik özellikleri üzerindeki etkisini değerlendirdik.
Daha genel bir tablo içinde, kendi enerjilerini bir potansiyel olarak düşünebiliriz; bu, yalnızca iletkenleri değil, aynı zamanda iletkenin kendi içindeki faz değiştirme süreçlerini de ifade eder. İletkendeki akımların kaynaklarını ve yutaklarını düşünürsek, böyle bir görüşün haklı olmasının nedeni görülebilir.
Burada gelişmiş self enerjisinin retarded olanın eşleniği olduğu gerçeğini kullandık ve ikinci integralde değişkenleri değiştirdik. r üzerinden integral alarak ve bir kontağın iΓ = ΣA − ΣR ile tanımlandığını hatırlayarak, akım yutakları için elde ederiz.
İletkenin kendi enerjilerinin sıfır olmadığı her noktasında, elektron dalgalarının tutarlı yayılımı bu noktada sona erdiğinden veya başka bir tutarlı yörünge başladığından, ya bir akım kaynağıyla ya da bir yutakla karşılaşırız. Temel olarak, bu noktada elektronların faz uzayındaki bir durumundan diğerine geçişini ele alıyoruz.
Temasın fiziksel özellikleri, onu açıklayan öz enerjinin tam biçimi gibi, dikkate alınan etkileşimlere bağlıdır. Dengesiz Green fonksiyonlarının biçimciliğinde, bir sistemin bu özelliği, Σ ile sembolize edilen iki yeni değişken tarafından dahil edilir.
Bu işlevlerin tanımı ve adı konusunda bazı farklılıklar vardır. Geleneksel olarak bunlara ΣR ve ΣA, "öz enerjiler" denir, örn. orijinal Keldysh yayınlarında, gazetelerde.
Datta'nın çalışmasında ve bazı daha yeni yayınlarda "saçılma fonksiyonları" olarak anılırlar. Bu kitap boyunca geleneksel notasyonun yanı sıra öz-enerji adını da koruyacağız. Daha önce olduğu gibi, öz enerjiler Σ> ve Σ(E) ve Σ<(E), ΣR(E) ve ΣA(E)'ye eşit değildir. İkincisi, yalnızca belirli bir enerjide elektron durumlarının varlığını tanımlarken, ilki ayrıca bu durumların işgal edilip edilmediğini de tanımlar.
Fark, örneğin, kurşun içindeki değişen Hartree potansiyeline bağlı olarak farklı bir kimyasal potansiyele μ sahip olabilecek, ancak bunun dışında termal dengede olduğu düşünülen bir kurşun için gösterilebilir. Bu durumda “sigma küçüktür” ve “sigma büyüktür” aşağıdaki bağıntılara uyar.
R Matris oluşturma
Matris tablo oluşturma
Excelde matris oluşturma
Matris oluşturma java.
Matlab boş matris oluşturma
Matris hesaplama
Excelde matris çarpımı
Matlab matris Oluşturma
Elektron-elektron etkileşimlerinden kaynaklanan kendi kendine enerji
Bir pertürbasyon genişlemesinin en düşük mertebesinde, açıklanan yaklaşımda, elektron elektron etkileşimlerinden kaynaklanan temas sıfırdır. Bu nedenle, yalnızca en düşük mertebeden genişlemelerle ilgileneceğimiz için, denge dışı süreçlerin tanımında elektron elektron süreçlerini güvenle ihmal edebiliriz.
Elektron-fonon etkileşimlerinden kaynaklanan kendi kendine enerji
Aynısı elektron-fonon etkileşimleri için geçerli değildir. Fiziksel olarak, süreç oldukça açıktır: bir elektron, yörüngesi boyunca bir fononu uyarır; enerji kaybeder ve yoluna farklı bir yörüngede devam eder.
Süreçleri açıklayan biçimcilik, yalnızca fonon uyarımından kaynaklanan enerji kaybını değil, aynı zamanda enerji fononlardan yayılan elektronlara geri aktarılırsa potansiyel kazancı da hesaba katmalıdır. Bu durumda ve yerel bir temsilde öz-enerjiler açıklanmaktadır.
D fonksiyonları, fonon adsorpsiyon ve emisyon işlemlerinin korelasyonunu ve enerji spektrumunu tanımlar. ω 0 bir fononun adsorpsiyonuna karşılık gelir. Burada, bir sonraki bölümde geciktirilmiş ve gelişmiş Green fonksiyonları cinsinden tanımlanacak olan, dengesiz Green fonksiyonları G'yi de tanıttık.
Bu denklemlerden herhangi birini, yayılan bir elektrondan bir fonon tarafından enerjinin adsorpsiyonu veya fonon enerjisinin emisyonu ve bir fonon uyarımının sona ermesi gibi belirli bir sürece bağlamak kolay değildir. Bu belirsizliğin nihai nedeni, korelasyonların yapısıdır: zaman içinde belirli bir düzene ve buna karşılık gelen benzersiz bir enerji aktarımına sahip olabilecek süreçler, tersine çevrilmiş zaman evrimi boyunca düşünülürse zıt özelliklere sahip olabilir.
Korelasyonlar için her iki yola da izin verilir: bu nedenle, kesin bir olay sırası artık korelasyonlarla tanımlanmaz. Her iki durumda da Green'in işlevleri, sistemin bu sürece verdiği yanıtı yansıtır. Fonon korelasyon fonksiyonunu tanımlayan integral denklemlerdeki D'nin açık biçimine bakarsak, bu belirsizlik özellikle netleşir.
Bu ilişkide Uq, elektronlar ile q dalga vektörünün bir fonon modu arasındaki etkileşim potansiyelidir, delta fonksiyonları enerji korunumunu tanımlar ve fonon dağılım fonksiyonu Nq, Bose-Einstein dağılım fonksiyonudur.
D'nin fonksiyonel formu, fonon korelasyon fonksiyonu tarafından aynı anda açıklanan iki ayrı süreci hesaba kattığını ima eder. Belirli bir fonon modunu düşünürsek, öz enerji Σ< olacaktır.
Burada, ilk satır bir fononun enerji (E − ωq) ile (elektronları yayma sisteminin bir parçası olan ve bu nedenle G<'de kodlanmış) bir elektron tarafından adsorpsiyonunu tanımlarken, ikincisi bir fononun bir fonon tarafından emisyonunu verir.
Her iki süreç de Eq = ωq ile fonon sayısına katkıda bulunur; bu nedenle her iki süreç de öz enerjiye dahil edilmelidir. Esasen bir muhasebe probleminden kaynaklanan bu özellik ve formülasyonlardaki muğlaklık, esnek olmayan süreçler nedeniyle öz enerjilerin anlaşılmasını veya görselleştirilmesini oldukça zorlaştırır.
Arama Ağacı – Bilgisayar Bilimleri Ödevleri – Bilgisayar Bilimleri Ödev Hazırlatma – Bilgisayar Bilimleri Alanında Tez Yazdırma – Bilgisayar Bilimleri Ödev Yaptırma Fiyatları
Aşağıda G = (V,E), etiketi C(G)’yi hesaplamak istediğimiz yönsüz grafiktir. V’nin kardinalitesi n olsun. İlk önce V = {v1, . . . , vn}. Şimdi köşe bölümü ile ne demek istediğimizin resmi bir tanımını veriyoruz.
Bundan sonra, köşe bölümü ile her zaman G’nin bir köşe bölümünü kastedeceğiz. Herhangi bir T düğümü, o düğümü tanımlayacağımız bir köşe bölümüne karşılık gelir. Bu köşe bölümlerini belirtmek için, önceden bir arıtma prosedürü f tanıtmalıyız. Bir köşe bölümü Π için, f(Π), Π, yani foreachcellV’ inf(Π)therewillbeacellV inΠwithV′ ⊆V’nin bir iyileştirmesi olacaktır.
İyileştirme, ‘eşit’ komşuluklara sahip köşeler birlikte gruplanacak şekilde düzenlenmiştir. Bir v ∈ V tepe noktası ve W ⊂ V tepe noktası kümesi için d(v,W), W’de v’ye komşu olan köşelerin sayısı olsun. bölüm Π = (V ).
İlk iyileştirme adımında, her bir v köşesi için d(v, V ) sayısı hesaplanır, bu da basitçe v’nin derecesi anlamına gelir. Ardından, köşeler derecelerine göre bölünür, yani bu ilk iyileştirme adımının sonucu bölme Π1 = (W1,…,Wj), her bir hücrenin herhangi iki köşesinin aynı derecede olduğu ve bir v ∈ Wk tepe noktası ve bir w ∈ Wl tepe noktası için d(v,V) < d(w) olduğunu tutar ,V) ancak ve ancak k < l ise daha sonra, Π1’in her hücresi Π1’e göre rafine edilir.
Temel olarak öncekiyle aynı şekilde ilerliyoruz. Bir W hücresinin her v tepe noktası için, sayısı η(v) = d(v, W1), . . . , d(v, Wj ) hesaplanır ve Wi’nin köşeleri bu sayılara göre bölümlenir. (İki vektör, sözlüksel sıralarına göre karşılaştırılır.) Bunu tüm hücreler için yapmak, iyileştirilmiş bir bölüm Π2 ile sonuçlanır. Π3 bölümü, Π2’nin rafine edilmiş bölümüdür ve böyle devam eder. Bu, Πi+1, Πi’nin gerçek bir iyileştirmesi olduğu sürece yapılır.
f(Π) = (V1,…,Vr′) bölümünün aşağıdaki özelliği yerine getirdiğine dikkat edin: f(Π)’nin herhangi iki (farklı olması gerekmez) hücresi için Vi,Vj ve herhangi iki v, w ∈ köşesi için Vi, d(v, Vj ) = d(w, Vj ) olduğunu kabul eder.
Bu özelliği karşılayan bir bölme, aynı yöntemin tartışıldığı yerlerde eşitlikçi olarak adlandırılmıştır. Aynı f(Π) hücresinde bulunuyorlarsa, iki köşenin yapısal olarak eşdeğer olduğunu (w.r.t. f(Π)) söylüyoruz.
Şimdi, T düğümlerini tam olarak tanımlayabiliriz. Tüm düğümler, adil bölümlere karşılık gelecektir. Kök Π = V1 , . . . , Vr, f(V) birim bölümünün ayrıntılandırılmasına karşılık gelir. Eğer Π zaten ayrık bir bölüm ise, Π’nin alt öğesi yoktur ve T yalnızca bir düğümden oluşur, aksi halde Π’nin alt öğeleri şu şekilde türetilir: Let Vi = {v1′ , . . . , vm’} Π’nin önemsiz olmayan ilk hücresi, yani birden fazla tepe noktası içeren ilk hücre olsun.
O halde, Π’nin m alt öğesi vardır, yani f(Π \ v1′ ),… ,f(Π \ vm’ ), burada f(Π \ vj’ ) f( V ,…,V için kısa eldir ,{v′},V \{v′},V ,…V ). Bu, Vi’den her 1 i−1 j i j i+1 r köşe v′ ∈ Vi’yi bir kez aldığımız, {v′}’yi yapay olarak yeni hücre olarak tanımladığımız ve f(Π \ v′) soyundan gelenleri elde etmek için bu bölümü iyileştirdiğimiz anlamına gelir.
İkili Arama ağacı derinlik bulma İkili arama ağacı soruları İkili arama ağacı Java İkili ağaç oluşturma İkili arama ağacı C kodu İkili Arama ağacı Örnekleri İkili arama ağacı yüksekliği hesaplama İkili arama ağacı silme işlemi
Π önceden eşitlikçi olduğu için bu mantıklıdır, yani Π’nin bir hücresinin herhangi iki köşesi yapısal olarak eşdeğerdi ve şimdi her bir v’ köşesini Vi’den çıkarıp onu yapay bir hücre yaparak Π’yi iyileştirme olasılığını kontrol ediyoruz.
Ayrık bir parçaya karşılık gelmeyen diğer herhangi bir Π′ ∈ T düğümü içintorunları, Π için olduğu gibi tamamen aynı şekilde türetilir. Bu nedenle, T’nin tüm yaprakları ayrık bölümlere karşılık gelir. Böyle ayrı bir bölümün sırası {vδ(1)}, . . . , {vδ(n)} , δ ∈ Sn karşılık gelen yaprağın komşuluk matrisini belirler.
F’nin amacının, geçerli bölüme göre yapısal olarak eşdeğer köşeler aracılığıyla T’yi mümkün olduğu kadar küçük yapmak olduğunu hatırlayın.
Bununla birlikte, T’nin gerçek boyutu G’nin yapısına bağlıdır. Örnek grafik T için yalnızca üç düğüm bulunurken, grafikten biraz daha düzenli yapılar içeren örnek grafiğin arama ağacı T çok daha büyüktür.
McKay şimdi C(G) etiketini T’nin tüm yaprakları arasında bulunan minimum komşuluk matrisi olarak tanımlar. Bu gerçekten kanonik bir etikettir.
Bir yandan, izomorfik olmayan G1 ve G2 grafiklerinin aynı etikete sahip olamayacağı açıktır, çünkü G1’in her bitişik matrisi, G2’nin her bir bitişik matrisinden farklıdır (aksi takdirde grafikler izomorfik olur). Diğer yönde, arama ağaçlarını oluşturmak için açık reçete, iki izomorfik grafiğin gerçekten aynı etiketi aldığına dair bir ipucu verir. Elbette bunun tam olarak kanıtlanması gerekiyor. Ancak, kanıt çok tekniktir. İlgili okuyucuyu yönlendiririz.
T’yi Budamak İçin Otomorfizmleri Kullanma
Nauty algoritması, T’yi açıkça hesaplamaz. Bunun yerine, algoritma T’yi erkenden geçe özel bir sırayla ayrıştırır ve olabildiğince çok alt ağacı aramadan çıkarmaya çalışır. Aslında, bir düğüme karşılık gelen bölüm, arama tarafından düğüm ziyaret edilene kadar hesaplanmaz. Algoritma bir l yaprağına ulaştığında, l tarafından indüklenen komşuluk matrisi Al hesaplanır.
Geçiş sırasında, algoritma şimdiye kadar bulduğu minimum komşuluk matrisi Amin’i korur. Algoritma ilk yaprağa l1 ulaştığında, Amin, Al1 tarafından başlatılır. Başka bir l yaprağına ulaşıldığında, Al < Amin olup olmadığı test edilir ve öyleyse Amin, Al olarak ayarlanır.
Böylece Amin sonunda C(G) etiketini içerir. Ek olarak, algoritma şimdiye kadar hesaplanan G’nin otomorfizm grubunun Φt(G) alt grubunu korur. Bu grubu Φt(G) ile göstereceğiz. Φt(G)=⟨φ1,…,φi(t)⟩,buradaφ1,…,φi(t)’nin t zamanında bildiğimiz tüm otomorfizmalar olduğunu kabul eder.
Bir otomorfizm φ, iki yaprak eşit komşuluk matrislerini indüklediğinde bulunur: w1,…,wn ve w1′ ,…,wn’ iki yaprağın köşe sıraları olsun. O halde i = 1,…,n için φ : wi → wi’ bir otomorfizmadır.
