Matrisler (30) – Tekil Değer Ayrışımı – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Tekil Değer Ayrışımı
Bir sistemi matematiksel olarak modellediğimizde, herhangi bir “kanonik nicelik” (onları hesaplamak için yaptığımız herhangi bir seçime bağlı olmayanlar) sistemin önemli özelliklerine karşılık gelecektir. Örneğin, inceleme sorusu 1, bölüm 12’de bulduğunuz özvektör denkleminin özdeğerleri, bir gitar telinin çalabileceği notaları ve armonikleri kodlar!
Tekil değerler birçok doğrusal cebir uygulamasında, özellikle istatistik ve sinyal işleme gibi çok büyük veri kümelerini içerenlerde ortaya çıkar. Doğrusal dönüşüm L: V → W’nin m × n matrisine M odaklanalım.
L’nin girdi ve çıktıları için ortonormal tabanlarda yazılmıştır (dikkat edin, bu otonormal tabanların varlığı, V ve W için iç çarpımlara sahip olmaya dayalıdır). M matrisi kare olmasa da, hem M M T hem de M T M matrisleri kare ve simetriktir! Doğrusal dönüşümler açısından M T, doğrusal dönüşümün matrisidir.
∗ doğrusal
L: W −−− → V.
Böylece LL ∗: W → W ve L ∗ L: V → V ve her ikisinin de özdeğer problemleri vardır. Dahası, Bölüm 15’te gösterildiği gibi, hem L ∗ L hem de LL e, özvektörlerin ortonormal tabanlarına sahiptir ve hem M M T hem de M T M köşegenleştirilebilir.
Sonra, basitleştirici bir varsayım yapalım, yani ker L = {0}. Bu gerekli değildir, ancak bazı hesaplamalarımızı daha basit hale getirecektir. Şimdi, L L için özvektörlerden oluşan V için bir ortonormal taban (u1,.,., Un) bulduğumuzu varsayalım. Bu L ∗ Lui = λiui’dir.
Sonra L ile çarpmak gerekir, L ∗ Lui = λiui. LL ∗ Lui = λiLui.
Yani, Lui, LL ∗’nin bir özvektörüdür. Vektörler (Lu1,…, Lun) doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü ker L = {0} (bu bizim basitleştirici varsayımımızı kullandığımız yerdir, ancak analizimizi deneyip artık geçerli olmadığı duruma genişletebilirsiniz. ).
Bu vektörlerin arasındaki açıları ve uzunlukları hesaplayalım. Bunun için, ui vektörlerini L’nin M matrisini hesaplamak için kullanılan bazlarda ifade ediyoruz. Bu sütun vektörlerini Ui ile ifade ederek sonra hesaplıyoruz
(MUi) · (MUj) = UiTMTMUj = λj UiTUj = λj Ui · Uj = λjδij.
Vektörlerin (Lu, …, Lu) ortogonal olduğunu ancak ortonormal olmadığını görüyoruz.
Dahası, Lui’nin uzunluğu λi’dir. Normalleştirme, ortonormal ve doğrusal olarak bağımsız sıralı kümeyi verir.
Genel olarak, bu W için bir temel olamaz çünkü ker L = {0}, dim L (V) = dimV veinturndimV ≤dimW, son≤m.
Bununla birlikte, LL of ‘nin özvektörlerinin bir alt kümesidir, dolayısıyla LL ∗ formunun özvektörlerinin ortonormal bir temeli vardır. Şimdi L matrisini birimdik tabana göre hesaplayalım
O = (u1, …, un) V için ve ortonormal taban O ′ = (v1, …, vm) W için.
Her zamanki gibi, başlangıç noktamız girdi baz vektörlerine göre hareket eden L’nin hesaplanmasıdır; LO = Lu1, …, Lun = λ1 v1, …, λn vn olur.
Sonuç, köşegenleştirmeye çok yakın; köşegen sayılarına L’nin tekil değerleri denir.
Misal
Doğrusal dönüşümün matrisi 11 olsun
Önde gelen Clearly ker M = {0} boyunca λi, özdeğerleri ve özvektörleri vardır, dolayısıyla ortonormal girdi tabanımız
Bunlara M’nin sağ tekil vektörleri denir.
Vektörler özvektörleridir;
sırasıyla 1 ve 2 özdeğerleri ile. MMT’nin üçüncü özvektörü (özdeğer 0 olan),
Mu1 ve Mu2 özvektörleri zorunlu olarak ortogonaldir ve onları sol tekil vektörleri elde ettiğimiz uzunlukları ve sırayla ortonormal çıktı tabanımızı, O ve O ′ tabanlarına göre M tarafından verilen doğrusal dönüşümün yeni matrisi M ′dir.
Yani tekil değerler 1,
Son olarak, O ve O ′ sütun vektörlerini, her zamanki gibi sahip olduğumuz taban matrislerinin değişimine yerleştirmenin,
Tekil vektörler ve değerlerin çok güzel bir geometrik yorumu vardır; L’nin alanı ve aralığı için ortonormal bazlar sağlarlar ve L’nin ortonormal girdi taban vektörlerini esnettiği faktörleri verir. Bu, az önce hesapladığımız örnek için aşağıda tasvir edilmiştir.
Sorunları İnceleyin
Okuma Problemi
1. L: U → V doğrusal bir dönüşüm olsun. Varsayalım ki v ∈ L (U) ve L (ups) = v’ye uyan bir vektör ups buldunuz.
Doğrusal sistem L (u) = v’nin çözüm kümesini açıklamak için neden ker L’yi hesaplamanız gerektiğini açıklayın.
2. M’nin önemsiz çekirdekli bir m × n matris olduğunu varsayalım. Bunu Rm’deki herhangi bir u ve v vektörü için gösterin:
• uTMTMv = vTMTMu.
• vT MT Mv ≥ 0. Endişelenmeniz durumunda (buna gerek yoktur) ve ileride başvurmak için, v ≥ 0 gösterimi her bileşen vi ≥ 0 anlamına gelir.
• IfvTMTMv = 0, sonrav = 0.
(İpucu: Rn’deki iç çarpımı düşünün.)
3. Gram-Schmidt algoritmasını projeksiyon matrisleri açısından yeniden yazın.
4. Eğer v1,. . . , vk, M = (v1 · · · vk) matrisinin mutlaka tersine çevrilebilir olmadığından doğrusal olarak bağımsızdır, ancak M T M matrisi tersine çevrilebilir.
5. 3 × 1, 3 × 2 ve 3 × 3 simetrik matrisin tekil değer ayrıştırma teoremini yazın. Matrislerinizin hiçbir bileşeni sıfır olmasa da hesaplamalarınız basit olacak şekilde yapın. Neden seçtiğiniz matrisleri seçtiğinizi açıklayın.
6. D f = x + x2 diferansiyel denkleminin çözümüne en iyi polinom yaklaşımını, türevi etki alanına sahip olduğunu düşünerek bulun.
dx
ve eş alan aralığı {1, x, x2}.
(İpucu: Etki alanı ve ortak etki alanı için tabanları tanımlayarak başlayın.)
- Sembol Listesi∈ “Bir öğesidir”.
- ∼ “Eşdeğerdir”, bkz. Denklik ilişkileri. Ayrıca, matrisler için “satır eşdeğeridir”.
- R Gerçek sayılar.
- N × n birim matrisinde.
- PnF F alanındaki katsayılarla en çok n dereceli polinomların vektör uzayı.
- Mrk r × k matrislerinin vektör uzayı.
Örnek Sınav
Burada, ilk ara sınavda bekleyebileceğiniz tipik bazı çalışılmış problemler verilmiştir.
1. Aşağıdaki doğrusal sistemi çözün. Çözüm kümesini vektör biçiminde yazın. Çözümünüzü kontrol edin. Varsa, belirli bir çözüm ve homojen bir çözüm yazın. Çözüm seti geometrik olarak neye benziyor?
x + 3y = 4
x – 2y + z = 1 2x + y + z = 5
2. Denklem sistemini düşünün
x – z + 2w = −1
x + y + z − w = 2
– y – 2z + 3w = −3 5 x + 2 y – z + 4 w = 1
(a) Bu sistem için genişletilmiş bir matris yazın.
(b) İndirgenmiş satır basamaklı biçimini bulmak için temel satır işlemlerini kullanın.
(c) Sistem için çözüm kümesini S = {X0 + μiYi: μi ∈ R} biçiminde yazın.
(d) X0 ve Yi olarak adlandırılan vektörler nelerdir ve hangi matris denklemlerini çözerler?
(e) X0 ve her Yi’nin (d) bölümünde çözdüklerini iddia ettiğiniz matris sistemlerini çözdüğünü ayrı ayrı kontrol edin.
3. M = 3 −1 olsun. HesaplaM M. Simetrik mi? Nedir f (M) devrik izi, burada f (x) = x2 – 1 kaç olur ?
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Bir sistemi matematiksel olarak modellediğimiz Matrisler (30) – Tekil Değer Ayrışımı – Matrisler Ödev Yaptırma Okuma Problemi özellikle istatistik ve sinyal işleme gibi çok büyük veri Tekil Değer Ayrışımı Tekil vektörler ve değerleri Vektörler özvektörleridir