Matrisler (19) – Köşegenleştirilebilirlik – Matrisler Ödev Yaptırma

Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

Köşegenleştirilebilirlik

V’nin herhangi bir n boyutlu vektör uzayı olduğunu varsayalım. L için doğrusal olarak bağımsız n tane özvektörden oluşan bir koleksiyon varsa L: V 􏰀 → V köşegenleştirilebilir bir doğrusal dönüşümü diyoruz. Diğer bir deyişle, L için özvektörlerin V için bir temel varsa L köşegenleştirilebilir.

Özvektörler temelinde, doğrusal dönüşümün matrisi tanısaldır. Öte yandan, bir n × n matris köşegen ise, o zaman standart temel vektörler ei zaten doğrusal olarak bağımsız n tane özvektör kümesi olmalıdır.

Teorem. V vektör uzayı için sıralı bir temel B ve doğrusal bir dönüşüm L: V → V verildiğinde, B temelindeki L matrisi köşegendir, ancak ve ancak B, L için özvektörlerden oluşuyorsa.

Köşegenleştirilemez Örnekler

Ancak tipik olarak, özvektörler temelinde bir probleme başlamıyoruz, bunun yerine bunları hesaplamak zorundayız. Dolayısıyla, bir temelden diğerine nasıl geçeceğimizi bilmemiz gerekir:

Temel Değişiklik

V vektör uzayı için S = (v1, …, vn) ve S ′ = (v1 ′, …, vn ′) olmak üzere iki sıralı tabanımız olduğunu varsayalım. (Burada vi ve vi ′ vektörlerdir, temelde vektörlerin bileşenleri değil!) O zaman her vk ′ ‘yı benzersiz bir şekilde yazabiliriz.

Bu vi’nin doğrusal bir kombinasyonu olarak vk ′ ‘dir. Matris gösteriminde;

Burada pik, kare matrisin P = (pik) girdileri olarak kabul edebileceğimiz sabitlerdir. P matrisinin bir tersi olması gerekir, çünkü her vj’yi benzersiz bir şekilde vk the’nın doğrusal bir kombinasyonu olarak yazabiliriz;

O zaman yazabiliriz. Ancak 􏰛k pikqjk, PQ çarpım matrisinin k, j girişidir. S tabanındaki vj ifadesi vj’nin kendisi olduğundan, P Q her vj’yi kendisine eşler. Sonuç olarak, her vj, özdeğeri 1 olan P Q için bir özvektördür, dolayısıyla P Q özdeşliktir, yani;

PQ = I ⇔ Q = P − 1 olur.

P matrisine temel matris değişikliği denir. Bunu elde etmenin hızlı ve kirli bir numarası var; Yeni temel vektörler v1 ′, v2 ′, … vn ′ ile eskileri v1, v2, …, vn’yi ilişkilendiren yukarıdaki formüle bakın. Özellikle v1 ′ üzerine odaklanın ki bunun için;

Bu, P temel matrisinin değişiminin ilk sütununun gerçekten sadece v1, v2, temelindeki v1 ′ vektörünün bileşenleri olduğunu söylüyor.

Temel matris değişiminin sütunları, eski temel vektörler açısından yeni temel vektörlerin bileşenleridir.

Örnek :

S ′ = (v1 ′, v2 ′) ‘nin bir V vektör uzayı için sıralı bir temel olduğunu ve V için diğer bazı sıralı temele göre S = (v1, v2) olduğunu varsayalım.

Bu şu anlama gelir:

Temel matrisin değişimi, sütunlarında yalnızca v1 ′ ve v2 ′ bileşenlerine sahiptir;

Temeli değiştirmek, doğrusal bir dönüşümün matrisini değiştirir. Bununla birlikte, vektör uzayları arasında bir harita olarak, hangi temeli kullanırsak kullanalım doğrusal dönüşüm aynıdır. Doğrusal dönüşümler, matrisler değil, bu kitabın asıl çalışma nesneleridir; matrisler yalnızca hesaplama yapmanın uygun bir yoludur.

Dayanak Değişimi Örneği

Şimdi, temeli değiştirirken doğrusal bir dönüşümün matrisinin nasıl değiştiğini hesaplayalım. Sıralı giriş ve çıkış tabanlarında S = (v1, …, vn) ve T = (w1, …, wm) matrisi M = (mij) olan L: V – → W

Şimdi, S ′ = (v1 ′, …, vn ′) ve T ′ = (w1 ′, …, wm ′) M M = (m′ki) matrisli yeni sıralı giriş ve çıkış tabanları olduğunu varsayalım. Sonra;

P = (pij), temel matrisin girdi tabanı S’den S ′ tabanına değişimi olsun ve Q = (qkj), temel matrisin çıktı tabanı T’den T ′ tabanına değişimi olsun. Sonra:

Bu arada bizde:

Tabandaki bir vektör için ifade benzersiz olduğundan, MP’nin girişlerinin QM ′ girişleriyle aynı olduğunu görürüz. Başka bir deyişle, bunu görüyoruz.

MP = QM ′ veya M ′ = Q − 1MP.

Örnek :

V, t ve derece 2 veya daha düşük polinom uzayı olsun ve L: V → R2 burada

L1 = (1 2) Lt = (2 1) Lt2 = (3 3)

Bu bilgiden, R2’nin standart temeli olan S = (1, t, t2) ve T = (e1, e2) tabanlarındaki L matrisini hemen okuyabiliriz, çünkü

Şimdi, üslerle daha çok ilgilendiğimizi varsayalım;

S = (1 + t, t + t, 1 + t), T = (1 2, 2 1) = 🙁 w1, w2).

L’nin yeni M ′ matrisini hesaplamak için, basitçe L’nin yeni girdi temel vektörlerinin yeni çıktı temel vektörleri cinsinden ne yaptığını hesaplayabiliriz:

Alternatif olarak, P ve Q temel matrislerinin değişimini şunu belirterek hesaplayabiliriz:

P ve Q temel matrislerinin değişiminin hem kare hem de tersinir olduğuna dikkat edin. Ayrıca, gerçekten Q − 1’i istediğimizden, doğrudan Q − 1 verecek olan (w1 ′, w2 ′) cinsinden denemek ve yazmak (e1, e2) daha etkilidir. Alternatif olarak, MP = QM ′ olup olmadığı kontrol edilebilir.

Bir Özvektör Temeline Geçmek

Özvektörler temelinde değiştiriyorsak, o zaman çeşitli basitleştirmeler vardır:
• L: V → V olduğundan, büyük olasılıkla, çıktı temeli S = (u1,.., Un) (diyelim) ile aynı girdi tabanını kullanan L matrisini zaten biliyorsunuzdur.
• S ′ (v1, …, vn) özvektörlerinin yeni temelinde, L’nin matrisi D köşegendir çünkü Lvi = λivi vb.

L(v1),L(v2),…,L(vn) = (v1,v2,…,vn)

• P, temel matrisin S’den S’ye değişimiyse, D özdeğerlerinin köşegen matrisi ve orijinal matris ile ilişkilidir

D = P − 1 MP

Bu, aşağıdaki tanımı destekler:

Tanım: Bir matris M köşegenleştirilebilir, eğer tersinir bir matris P ve diyagonal bir matris D varsa, öyle ki
D = P − 1 MP. Şöyle özetleyebiliriz.

• Temel değişikliği, bileşenleri yeni temelde vermek için, temel matris P’nin değişmesiyle bir vektörün bileşenlerini yeniden düzenler.
• Doğrusal bir dönüşümün matrisini yeni temelde elde etmek için, L matrisini temel matrisin değişmesiyle eşleştiririz: M 􏰀 → P − 1MP.

İki N ve M matrisi için M = P − 1NP olacak şekilde bir P matrisi varsa, o zaman M ve N’nin benzer olduğunu söyleriz. Daha sonra yukarıdaki tartışma köşegenleştirilebilir matrislerin köşegen matrislere benzer olduğunu gösterir.

Sonuç: Bir kare matris M köşegenleştirilebilir, ancak ve ancak M için bir özvektör temeli varsa, bu özvektörler, M’yi köşegenleştiren P temel matrisinin bir değişikliğinin sütunlarıdır.

tercüman tercüman

Biyografinin Tamamını Gör

Bir Özvektör Temeline Geçmek Dayanak Değişimi Örneği Köşegenleştirilebilirlik Köşegenleştirilemez Örnekler Matrisler (19) – Köşegenleştirilebilirlik – Matrisler Ödev Yaptırma Temel Değişiklik temel matrisinin bir değişikliğinin sütunları

Matrisler (19) – Köşegenleştirilebilirlik – Matrisler Ödev Yaptırma