Matrisler (16) – Özdeğerler ve Özvektörler – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Sorunları İnceleyin
Rn’deki Bazlarda bazı sorunlar meydana gelebilir. Bu durumlarda;
1. LetS = {v1, …, vn} en alttafavectorspaceV. V’deki her w vektörü, S’deki vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir, bu durumda S, V’nin temelidir. Başka bir deyişle: V’deki her w vektörü için, c1v1 + · · · + cnvn = w olacak şekilde c1, …, cn sabitlerinin tam olarak bir küme olduğunu varsayalım. Bunun, S kümesinin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve V’yi kapsadığı anlamına geldiğini gösterin.
2. Vektörler, birlikte ekleyebileceğiniz nesnelerdir; R3 → R’yi eşleyen tüm doğrusal dönüşümler kümesinin kendisinin bir vektör uzayı olduğunu gösterin. Bu vektör uzayı için bir temel bulun. İspatınızın doğrusal dönüşümler Rn → R için çalışacak şekilde değiştirilebileceğini düşünüyor musunuz? RN → Rm için? RR için mi?
İpucu: R3’ü sütun vektörleri olarak temsil edin ve bir doğrusal dönüşüm T: R3 → R’nin sadece bir satır vektörü olduğunu iddia edin.
3. Sn tüm n × n simetrik matrislerin vektör uzayını göstersin; Sn: = {M: Rn → Rn | M = MT}.
An, tüm n × n anti-simetrik matrislerin vektör uzayını göstersin; Bir = {M: Rn → Rn | M = −MT}.
(a) S3 için bir temel bulun. (b) A3 için bir temel bulun.
(c) Sn için bir temel bulabilir misiniz? Bir … için?
İpucu: Bunu, i’inci satır ve j’inci sütunda 1 ve her yerde 0 olan Fji matrislerinin kombinasyonları cinsinden tanımlayın. M kr için {Fji | 1≤i≤r, 1≤j isk} isabasis olduğuna dikkat edin.
4. Aşağıda listelenen girdi ve çıktı tabanları B ve B’ye göre L doğrusal dönüşüm matrisini verin:
(a) L: V → W burada B = (v1, …, vn) V için bir temeldir ve B ′ = (L (v1), …, L (vn)) W için bir temeldir.
(b) L: V → V burada B = B ′ = (v1, …, vn) ve L (vi) = λivi tüm 1 ≤ i ≤ n için sonucu bulun.
Özdeğerler ve Özvektörler
Vektör uzayı kuralları dışında yapısı olmayan bir vektör uzayında, sıfır vektöründen başka hiçbir vektör diğerlerinden daha önemli değildir. Doğrusal bir dönüşüme sahip olunursa durum çarpıcı biçimde değişir. Gelecekteki bilimsel çalışmalarınızda yeniden ortaya çıkması beklenen türde eğlenceli bir örnekle başlıyoruz:
Sicim Teorisi t zamanında x noktasındaki yer değiştirmesi bir y (x, t) fonksiyonu ile verilen titreşimli bir sicim düşünün:
Dize için tüm yer değiştirme fonksiyonlarının kümesi bir vektör uzayı ile modellenebilir
V = y: R → Rtüm kısmi türevler ∂xk∂tm / n∂2y (x, t) ve ∂k + my (x, t) var
İpin ∂x2 (x, t) noktasındaki içbükeyliği ve ivmesi sırasıyla ∂2y (x, t) ‘dir. ∂t2 dalga denkleminin anlamlı olması için dizgenin her noktasında niceliklerin bulunması gerektiğinden, y (x, t) ‘nin tüm kısmi türevlerinin var olmasını zorunlu kılmıştır.
Ayrıca y (x, t) = 0 fonksiyonunun – gri olarak çizilmiş – V vektör uzayındaki tek özel vektör olduğuna dikkat edin.
Şimdi bazı ekstra bilgiler ekliyoruz. Dizenin zaman ve uzaydaki davranışı bir dalga denklemiyle modellenebilir.
İpteki bir noktanın ivmesinin o noktadaki içbükeyliğine eşit olduğunu söyler. Örneğin, ip gerilmiş kauçuktan yapılsaydı, düz bir çizgide olmayı tercih ederdi, bu nedenle bu denklem sezgisel olarak mantıklıdır. V’deki tüm fonksiyonlar dalga denkleminin çözümleri değildir; V vektör uzayındaki tüm fonksiyonlar bir dizgenin gerçekte nasıl titreyeceğini açıklamaz. Bir dizginin gerçekten titremesinin yolları (en azından yaklaşık olarak) yukarıdaki dalga denkleminin çözümleridir ve doğrusal bir fonksiyon olarak yeniden yazılabilir.
Burada bazı çözüm örnekleri vardır;
W y = 0 homojen bir doğrusal denklem olduğundan, çözümlerin doğrusal kombinasyonları çözümlerdir; diğer bir deyişle çekirdek ker (w) bir vektör uzayıdır. Doğrusal fonksiyon W göz önüne alındığında, bazı vektörler artık diğerlerinden daha özeldir.
Daha fazlasını yapmak için müzikal sezgiyi kullanabiliriz! Telin uçları sabit tutulursa, müzik notalarına karşılık gelen belirli frekanslarda titreşmeyi tercih edeceğinden şüpheleniyoruz. Bu, formun çözümlerine bakılarak modellenmiştir.
y (x, t) = günah (ωt) v (x).
Burada periyodik sinüs işlevi, dizenin titreşim hareketini açıklarken, v (x) işlevi, herhangi bir sabit zamanda dizenin şeklini verir.
Bunu gözlemleyin;
Wsin (ωt) v (x) = günah (ωt) d2f + ω2f.
Bu, aşağıdaki gibi yeni bir vektör uzayı sunmamızı öneriyor.
U = v: R → R Tüm türevlerde mevcuttur.
Tüm bunların yanı sıra yeni bir doğrusal işlev söz konusudur;
Ω sayısı birçok bağlamda açısal frekans olarak adlandırılır, daha sonra kullanacağımız gösterimlerle eşleşmesi için karesini λ: = −ω2 olarak adlandıralım (bu özel problem için λ o zaman negatif olmalıdır).
Daha sonra, d2f / dx2 = because2f anlamına gelen W (y) = 0 istediğimiz için, titreşen dizginin şeklini belirleyen v (x) ∈ U vektörünün formülü;
L (v) = λv’dır.
Bu belki de tüm lineer cebirdeki en önemli denklemlerden biridir! Özdeğer-özvektör denklemidir. Bu problemde, telimizin hangi frekansları (veya müzik notaları) söylemeyi sevdiğini ve telin şeklini belirleyen v vektörünü belirlemek için onu hem λ için çözmeliyiz. V vektörüne özvektör ve λ karşılık gelen özdeğer denir. Her λ için çözüm kümelerine Vλ denir.
Herhangi bir λ için Vk kümesi bir vektör uzayıdır, çünkü bu kümenin elemanları homojen denklemin (L – λ) v = 0 çözümlerdir.
Bu bölüme “Başka bir yapıya sahip olmayan bir vektör uzayında, hiçbir vektör diğerlerinden daha önemli değildir” diyerek başladık. Amacımız, bir L doğrusal operatörü bir vektör uzayına etki ettiğinde, L (v) = λv denklemini çözen vektörlerin merkezi bir rol oynadığını göstermektir.
Değişmeyen Yönler
Aşağıda tasvir edilen doğrusal dönüşüme L bir göz atın:
Kanonik temel vektörlere etki eden L’nin çıktıları olarak bir çift L (e1) ve L (e2) vektörü seçilerek rastgele seçildi. Başlangıç noktasında köşesi olan birim karenin bir paralelkenara nasıl eşlendiğine dikkat edin. Resmin ikinci satırı, bunların üst üste binmiş halini göstermektedir. Şimdi o satırdaki ikinci resme bakın. Orada, iki vektör f1 ve f2 dikkatlice seçilmiştir, öyle ki, L’ye girişler f1 ve f2 tarafından yayılan paralelkenarda ise, çıktılar da aynı iki yönde uzanan kenarları olan bir paralelkenar oluşturur. Açıkçası bu, L’nin ilginç özelliklerine karşılık gelmesi gereken çok özel bir durumdur.
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Değişmeyen Yönler Kanonik temel vektörlere etki eden L'nin çıktıları Matrisler (16) – Özdeğerler ve Özvektörler – Matrisler Ödev Yaptırma Özdeğerler ve Özvektörler Sorunları İnceleyin