Matematiğin Resmileşmesi
Yüzyılın başında, küçük bir matematikçi grubu, tüm matematiği resmileştirme fikri konusunda çok heyecanlıydı. Bu konuda çalışmak için bir program ortaya koydu. Umut, tartıştığımız gibi aksiyomlar ve çıkarım kuralları ile formel bir mantıksal sistem bulmak ve tüm matematiksel sonuçların bu çerçevede formüle edilebileceğini göstermekti.
Ancak 1931’de Kurt GXid bunun ümit edilemeyecek kadar çok olduğunu kanıtladı. Burada, GaclE::l’in ispatının bir taslağını veriyoruz. Daha önce olduğu gibi, ispatın özü bir öz referansın inşasıdır. Gooel, kendisini doğal sayılar cinsinden ifade eden bir teoremin kodlamasını gerçekleştirdi; bunun yerine dizeleri kullanacağız. Bu bölümdeki tüm dize alıntılarını yazarken dikkatli olacağız çünkü bunu yapmazsak aşağıdaki kanıt çok kafa karıştırıcı hale gelir.
“Anlam” işlevi M, yani bir diziyi amaçlanan anlamıyla eşleyen yorumlayıcı, bu bölümün ilk kısmında tartıştığımız E işleviyle aynıdır. Bir anlam işlevi olarak rolünü vurgulamak için .M’ye bağlı kalıyoruz.
İlk karakteri — olan ve kalan karakterleri x dizisini oluşturan dizi için ‘ –, ‘ x yazdık; string katenasyonu için operatörü bir kez daha atladık. M, tırnak işaretlerinin tersi gibi davranır: işlenenini tırnak işaretinden kaldırır.
Dizeler için aynısını yaparken Quining (mantıkçı W.V.O. Quine’den sonra) olarak adlandırılmasına rağmen, Gooel tarafından “norming” işlevi olarak adlandırılan Q gibi ikinci bir işleve ihtiyacımız var. Parametre olarak bir s dizisi verildiğinde, Q, s’yi tüm karakter oluşumlarıyla birlikte döndürür.
Örneğin, Q( ‘Iraq’ ) = ‘Irairaq’ içinde bağımsız değişken dört karakterlik bir dizidir ve sonuç yedi karakterlik bir dizidir. Yine, programlama yeteneklerimize biraz güven duyarak, Q için nasıl program yazacağımızı biliyoruz, yani Q’nun düzgün bir şekilde tanımlanabileceğinden emin olabiliriz. M’nin tam bir anlam işlevi olabilmesi için, bunlar da dahil olmak üzere wff’leri temsil eden tüm dizelere uygulanması gerekir.
Ve yukarıda belirtilen olumsuzlama kuralıyla aynı damardadır, bu nedenle herhangi bir özel zorluk göstermemelidir. ‘ Q ( ‘ x ‘ )’, ilk karakteri Q, ikinci karakteri olan ve iç kısmı x olarak adlandırılan bir dizi anlamına gelir. M ve Q verildiğinde, bir çelişki elde ederiz.
Son satır, ilk satırın olumsuzlanmasıdır, ancak eşit olduklarını kanıtladık, bu nedenle bir tutarsızlık var. Mantığı tutarsızlıktan kurtarmak için çelişkinin ispatında kullandığımız bir şeyi geri çekmeliyiz.
Q gibi fonksiyonları tanımlama yeteneğimizi geri çekebiliriz, ancak o zaman çok zayıf bir biçimciliğe sahibiz. M için kurallardan birini geri çekerek onu eksik tanımlanmış bir yorumlayıcı olarak bırakabiliriz, yani mantığı eksik hale getirebiliriz. M’nin kurallarını öylece değiştiremeyiz, çünkü o zaman o hiç bir tercüman olmazdı.
Bununla birlikte, programcımızın bakış açısından, ‘ Q ( • Q (q) ) ‘ dizgesine M yorumlayıcısının uygulanmasının, yorumlayıcının sonsuz bir yürütmeye gitmesine ve ne doğru ne de yanlış vermesine neden olacağını biliyoruz. Bu açıdan, Gooel’in eksiklik sonucu yine durma problemidir.
Matematiği bulan kişiler
Matematik tarihi PDF
Matematik tarihi kısaca
Matematiğin Tarihi
Matematik tarihinin Dönemleri
Matematik tarihi kısaca eodev
Matematik tarihi kaç döneme ayrılır
Matematiği bulan adam
Tutarsızlık yok, tek şey M’nin bir toplam fonksiyon olmaması; M kısmi bir işlevdir ve ‘Q(•Q(q))’ dizesi, tanımlanmadığı 8 karakterlik bir dize örneğidir, işlevin etki alanı dışında bir dizedir. Rahatsız edici tek yön, M’yi yorumlayıcı olarak görülebilecek bütüncül bir işleve dönüştürmenin bir yolu olmamasıdır.
Gooel’in Q tanımı, q’yu tırnak işaretleri dahil tüm dizeyle değiştirir (aslında, serbest değişken –q-‘yi tüm formülü kodlayan bir sayıyla değiştirir; kodlama alıntıdır). İç tırnak işaretleri, yalnızca dış tırnak işaretleri içine alınmış dizedeki karakterlerdir.
Ve bir tutarsızlık elde eder. Tanımlarımızı geliştirirken mantığın tutarlı olduğuna inanacak kadar dikkatliysek, o zaman M’nin eksiksiz olduğu varsayımı bırakılmalıdır; özellikle ‘G’ için geçerli değildir.
Gödel’in ispatı bizim verdiğimizden daha zekice çünkü Q ile başlayan dizilere uygulanan M whm için verdiğimiz kurala ihtiyacı yok. M ve Q tanımları kendilerini çağırmaz, dolayısıyla prensipte isimlere gerek yoktur. Niteleyicileri kullanarak özyinelemeden kaçınır.
M ve Q yerine isimsiz fonksiyonlar da yazabiliriz – daha sonra anonim fonksiyonların nasıl yazılacağını göreceğiz – ama bu G’yi oldukça karmaşık hale getirir. Bu nedenle, açıklamanın netliği için sayısal kodlama yerine dizi kodlaması kullanarak, M’yi niceleyiciler yerine yinelemeli olarak tanımlayarak ve Q’yu Gooel d1d gibi bir ilişki yerine bir işlev olarak tanımlayarak GOdel’den saptık.
Köşegen Argümanı
Cantor’un köşegen argümanı, tamsayılardan daha fazla gerçek sayı olduğunu gösterir. Gerçeklerin 0 ila 1 aralığında ve tamsayıların doğal olanlarla sınırlandırıldığı genellikle aşağıdaki gibi sunulur. Her lim’de bir tane olmak üzere sonsuz bir gerçek dizisi yazın.
Satırlar doğal sayılarla numaralandırılmıştır. Her satırda sonsuz bir rakam dizimiz var. Aynı gerçek sayıyı temsil ettiği için endişelenmeyin; sadece iki diziden birinden kaçının.
n’inci sıradaki n’inci basamaktan farklı olan n’inci basamağını alarak tabloda olmayan sonsuz bir dizi oluşturuyoruz. Bu nedenle, her doğal sayı için bir satır olmasına rağmen, tablonun hiçbir yerinde olmayan bir gerçek sayı vardır: gerçeklerin sayısı tamsayıların sayısından fazladır.
Bunun durma sorunuyla nasıl bir ilgisi var? Biçimcinin bakış açısıyla olur. Formalist, malyl için her kanıtın verilmesi konusunda ısrar etmez (en azından, umarım değildir), ancak ısrar edildiğinde formalize edilebileceği konusunda ısrar eder.
Tartışma uğruna ısrar ediyoruz. Cantor’un argümanını nasıl resmi bir kanıt haline getirebiliriz? İlk satırda, söz verilmiş olmasına rağmen, sonsuz bir rakam dizimiz yok. 13 basamak ve ardından 3 nokta var. Resmileştirmek istiyorsak, o zaman bir yere yazılmış sonsuz bir diziye sahip olmayı bekleyemeyiz, ancak sonsuz bir basamak dizisini tanımlayan bir mekanizma sağlamalıyız.
Bu çok kolay: 13 rakam ve 3 nokta yerine rakamları basmak için bir program yazıyoruz. Dizi sonsuz olacağından, program sonlanmayan bir programdır. Bu, yatay noktalarla ilgilenir. Dikey noktalardan nasıl kurtuluruz? Sonsuz bir bitmeyen program dizisine ihtiyacımız var.
Elbette tüm programları arka arkaya üreten bir program yazabiliriz. Örneğin, tüm dizeler artan uzunluk sırasına göre ve uzunluk başına sözlük sırasına göre oluşturulur. Sözdizimsel olarak doğru olmayan tüm dizeleri dışarıda bırakın – bunu nasıl yapacağımızı biliyoruz.
Programları sonlandıran tüm programları bir kenara bırakın ve burada dostumuz var, durma sorunu. Hangi programları dışarıda bırakacağımızı söyleyemeyiz, dolayısıyla sonsuz rakam dizisinden oluşan bir diziyi resmi olarak tanımlayamayız. Cantor’un köşegen argümanı bu şekilde formüle edildiğinde, yine durma probleminin bir örneği haline gelir.
Biçimci, tamsayılardan daha fazla gerçek olduğu sonucuna nasıl varılabileceğini merak ediyor. Sonsuz bir gerçek dizisi yazmanın imkansız olduğu sonucuna varılabilir.