Lineer Cebir Nedir? (8) – RREF – Gelişmiş Eliminasyon Örnekleri – Temel Satır İşlemleri – Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Lineer Cebir, Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır, Doğrusal Cebir, Lineer Cebir Ödevi, Lineer Cebir Yaptırma, Lineer Cebir Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Lineer Cebir danışmanlık, Lineer Cebir yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Gelişmiş Eliminasyon Örnekleri
Bir önceki yazımızda başladığımız “Gelişmiş Eliminasyon Örnekleri “‘ne bu yazıda da devam edeceğiz
5- Doğrusal sistemin neden çözümü olmadığını açıklayın:
1 0 3 1 0 1 2 4 0006
Aşağıdaki sistemin hangi k değerleri için bir çözümü var?
x − 3y = 6
x + 3z = −3 2x + ky + (3 − k) z = 1
6- Bir matrisin RREF’sinin benzersiz olduğunu gösterin
(İpucu: Aynı artırılmış matrisin iki farklı RREF’i varsa ne olacağını düşünün. Bu iki RREF artırılmış matristen sütunları kaldırırsanız ne olacağını görmeye çalışın.)
7- Doğrusal sistemleri kullanın
Bu sistemi çözmenin diğer bir yöntemi, artırılmış matrisi Satır Eşyon Formuna (RREF’in aksine REF) getirmek için satır işlemlerini kullanmaktır. REF’de, pivotlar mutlaka bir olarak ayarlanamaz ve pivotlardan kalan tüm girişlerin sıfır olmasını isteriz, mutlaka bir pivotun üzerindeki girişler gerekmez. Satır basamak şeklinin benzersiz olmadığını göstermek için bir karşı örnek sağlayın.
Bir sistem sıralı kademeli formda olduğunda, “arka ikame” ile çözülebilir. Aşağıdaki satır basamak matrisini bir denklem sistemi olarak yazın, sonra sistemi geri ikameyi kullanarak çözün.
2 3 1 6 0 1 1 2 0033
8. Bu genişletilmiş matris çiftinin, ad – bc ̸ = 0 varsayılarak satır eşdeğeri olduğunu gösterin:
a b e 1 0 de − bf ∼ ad − bc
c d f 0 1 af − ce ad − bc
9. Artırılmış matrisi düşünün:
2 −1 3
İlişkili denklem sisteminin çözümü olmadığına dair geometrik bir neden verin. (İpucu, bu artırılmış matrisin sütunlarında verilen üç vektörü düzlemde çizin.) Genel bir genişletilmiş matris verildiğinde:
a b e cdf,
a, b, c ve d sayıları üzerinde bulduğunuz geometrik duruma karşılık gelen bir koşulu bulabilir misiniz?
10. Bir nesne kümesine bakın
Bu küme üzerindeki ∼ ilişkisi, aşağıdaki üç özellik karşılanırsa bir eşdeğerlik ilişkisidir:
• Dönüşlü: Foranyx∈U, wehavex∼x.
• Simetrik: Herhangi bir x, y ∈ U için, x ∼ y ise y ∼ x.
• Geçişli: Foranyx, yandz∈U, ifx∼yandy∼zthenx∼z.
Matrislerin satır eşdeğerliğinin bir eşdeğerlik ilişkisi örneği olduğunu gösterin.
11. İki matrisi tanımlayın
Arttırılmış matrislerin denkliği, çözüm kümelerinin eşitliğinden gelmez. Bunun yerine, biri diğerinden temel satır işlemleri ile elde edilebiliyorsa, iki matrisi eşdeğer olacak şekilde tanımlarız.
Satır eşdeğeri olmayan ancak aynı çözüm kümesine sahip bir çift artırılmış matris bulun.
Temel Satır İşlemleri
Temel satır işlemleri, Gauss eliminasyonunda eski ve yeni satırları ilişkilendiren doğrusal denklem sistemleridir:
ERO’lar ve Matrisler
İlginç bir şekilde, eski ve yeni satırlar arasındaki ilişkiyi tanımlayan matris, artırılmış matriste karşılık gelen ERO’yu gerçekleştirir.
Örnek :
(ERO’ların Matrislerle Gerçekleştirilmesi)
0100117 1 0 02 0 0 4 001 0014
1 002004 2
0 1 00 1 1 7 001 0014
10 01002 0 1−10 1 1 7 001 0014
53
2004 0 1 1 7 0014
1002 0 1 1 7 0014
1002 0 1 0 3 0014
Burada, artırılmış matrisi, Örnek 21’in sağında listelenen satırlar üzerinde etkili olan matrislerle çarptık.
ERO’ları matrisler olarak kullanmak, somut bir “matrisle bölme” kavramı vermemize olanak tanır; Artık bir denklemin her iki tarafında da bilindik bir şekilde manipülasyonlar gerçekleştirebiliriz:
Örnek :
(AinA = yavaşça, A = 6 = 3 · 2 için)
6x = 12 ⇔ 3−16x = 3−112 ⇔ 2x = 4 ⇔ 2−12x = 2−1 4 ⇔ 1x = 2
ERO’lara karşılık gelen matrisler, bir matrisi adım adım geri alır.
0 1 1 x 7
2 0 0y = 4 001z 4
⇔
0 1 00 1 1x 1 0 02 0 0y 001 001 z
2 0 0 x 0 1 1 y
0 1 0 7 =1004
001 4 4
0 1 1 x 7
2 0 0y = 4 001z 4
= 7 001z 4
1 0 02 0 0x 1 0 04 22
0 1 00 1 1y 001 001 z
1 0 0 x 0 1 1 y
=0107 001 4
2 = 7
001z 4
1 0 01 0 0x 1 0 02
0 1−10 1 1y = 0 1−17
001001z 0014 1 0 0 x 2
0 1 0 y = 3. 001z 4
Bu, bir çözüme ulaşana kadar “bir denklemin her iki tarafına da bir şeyler yaptığınız” anlamında daha çok temel cebire benzeyen Gauss eliminasyonu hakkında başka bir düşünme biçimidir.
ERO’ları (M | I) olarak kaydetme
6x = 12’nin her iki tarafına da 6’yı geri almak için tek bir şey elde etmek üzere 3−12−1 = 6−1’i bir araya getirdiğimiz gibi, matrisimizi geri alan tek bir şey elde etmek için birden çok ERO’yu bir araya getirmeliyiz. Bunu yapmak için, kimlik matrisiyle (yalnızca tek bir sütun değil) artırın ve ardından Gauss eliminasyonunu gerçekleştirin. Bunu yaparken ERO’ları denklem sistemleri veya matrisler olarak yazmaya gerek yoktur.
M − 1 nasıl bulunur?
Ters çevrilebilir matrislerin ERO’larla geri alınabileceği gerçeğinden çok yararlanılır. Öncelikle, her temel satır işleminin bir tersi olduğu için,
M = E − 1E − 1 ···, 12
M’nin tersi ise
M − 1 = ··· E2E1. Bu sembolik olarak doğrulandı
M − 1M = ··· E E E − 1E − 1 ··· = ··· E E − 1 ··· = ··· = I. 2112 22
Bu nedenle, M tersine çevrilebilirse, M, ERO’ların ürünü olarak ifade edilebilir. (Aynısı tersi için de geçerlidir.) Bu, aritmetiğin temel teoremi (tamsayılar asalların çarpımı olarak ifade edilebilir) veya cebirin temel teoremi (polinomlar ilk önce [karmaşık] ‘ın ürünü olarak ifade edilebilir. sıra polinomları); ERO’lar, tersinir matrislerin yapı taşlarıdır.
Üç Temel Matris
Şimdi somut örnekler ve uygulamalar üzerinde çalışıyoruz. ERO’lar ve ERO’ları gerçekleştiren matrisler arasında çeviri yapmak şaşırtıcı derecede kolaydır. Bu türlere karşılık gelen matrisler, form olarak kimlik matrisine yakındır:
• Satır Değiştirme: İki satırın değiştirildiği kimlik matrisi.
• Skaler Çarpma: Bir köşegen girişi 1 olmayan özdeşlik matrisi. • Satır Toplamı: Köşegen dışı bir girişi 0 olmayan kimlik matrisi.
Örnek :
(ERO’lar ve matrisleri arasındaki yazışmalar)
• 2. ve 4. satırı değiştiren satır takas matrisi, 2. ve 4. satırın takas edildiği kimlik matrisidir:
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0. 0 1 0 0 0
00001
• 3. satırı 3. satırın 7 katı ile değiştiren skaler çarpım matrisi, 3. satırda 1 yerine 7 ile kimlik matrisidir:
1 0 0 0 0 1 0 0. 0 0 7 0
0001
• 4. satırı 4. satır artı 2. satırın 9 katı ile değiştiren satır toplam matrisi, 4. satır, 2. sütunda 9 ile kimlik matrisidir:
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0000001
RREF’e ulaşmada kullanılan ERO’ları takip ederek bir matrisin açık bir çarpanlarına ayırmasını ERO’lara yazabiliriz.
Örnek 28 (ERO’ların bir ürünü olarak Örnek 25’ten Ekspres M)
Önceki örnekte, az önce verilen sırayla, ERO türlerinin her birinin kullanıldığına dikkat edin. Eliminasyon benziyordu
011 200 100 100 E1 E2 E3
M = 2 0 0∼0 1 1∼0 1 1∼0 1 0 = I, 001001001001
ERO matrislerinin olduğu
010 1 00 10 0 2
E1 = 1 0 0, E2 = 0 1 0, E3 = 0 1 −1. 001 001 001
ERO matrislerinin tersi (ters satır manipülasyonlarının açıklamasına karşılık gelir)
010 200 100 E − 1 = 1 0 0, E − 1 = 0 1 0, E − 1 = 0 1 1.
001 001 001
010200 011 = 100011 = 200 = M.
001 001 001
123
001 001 001
Bu veriyi çarparak
010200100 E − 1E − 1E − 1 = 1 0 00 1 00 1 1 sonucu elde edilir.
Ödevcim Online, Lineer Cebir, Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır, Doğrusal Cebir, Lineer Cebir Ödevi, Lineer Cebir Yaptırma, Lineer Cebir Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Lineer Cebir danışmanlık, Lineer Cebir yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Artırılmış matris Bir matrisin RREF'sinin benzersiz olduğunu gösterin Bir nesne kümesi Bu genişletilmiş matris çifti Doğrusal sistemin neden çözümü olmadığını açıklayın Doğrusal sistemleri kullanın ERO'lar ve Matrisler ERO'ları (M | I) olarak kaydetme Gelişmiş Eliminasyon Örnekleri İki matrisi tanımlayın Lineer Cebir Nedir? (8) – RREF - Gelişmiş Eliminasyon Örnekleri – Temel Satır İşlemleri - Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma M − 1 nasıl bulunur? Temel Satır İşlemleri Üç Temel Matris