Lineer Cebir Nedir? (7) – RREF – Gelişmiş Eliminasyon – Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Lineer Cebir, Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır, Doğrusal Cebir, Lineer Cebir Ödevi, Lineer Cebir Yaptırma, Lineer Cebir Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Lineer Cebir danışmanlık, Lineer Cebir yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
RREF
Aşağıdaki özellikler RREF’i tanımlar:
1- Her satırda en soldaki sıfır olmayan giriş (pivot olarak adlandırılır).
2- Verilen herhangi bir sıranın pivotu her zaman üstündeki satırın pivotunun sağındadır.
3- Pivot, sütunundaki sıfır olmayan tek girdidir.
Örnek :
(RREF’de artırılmış matris)
1 0 7 0 0 1 3 0 0 0 0 1
0000
Örnek :
(Arttırılmış matris RREF’te DEĞİL)
1 0 3 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0001
Aslında bu OLMAYAN örnek üç kuralı da çiğniyor!
Genel RREF biçiminde yıldız işaretlerine ihtiyaç duymamızın nedeni, örnekler 13 ve 16’da gösterildiği gibi her sütunun bir pivota sahip olmasının gerekmemesidir. Birden çok sütunun pivot içermediği bir örnek:
Örnek :
(RREF’de pivotsuz ardışık sütunlar)
x + y + z + 0w = 2 11102 11102
2x + 2y + 2z + 2w = 4 ⇔ 2 2 2 1 4 ∼ 0 0 0 1 0 x + y + z = 2
⇔ w = 0.
Başladığımız artırılmış matrisin şekli nedeniyle özdeşlik matrisine ulaşma umudunun olmadığını unutmayın.
Biraz pratikle, eleme hızlı bir şekilde gidebilir. İşte size bazı püf noktaları gösteren bir uzman. Onu şimdi takip edemezseniz, biraz daha deneyiminiz olduğunda geri gelin ve tekrar izleyin. Bunda gerçekten iyi olmanız gerekecek!
Gelişmiş Eliminasyon
RREF’i tekrar bir denklem sistemine dönüştürebilmeniz önemlidir. Fark edebileceğiniz ilk şey, bk + 1 sayılarından herhangi biri varsa. . . , 2.1.3’deki br sıfırdan farklıdır, bu durumda denklem sistemi tutarsızdır ve çözümü yoktur. Bir sonraki görevimiz, RREF artırılmış bir matristen olası tüm çözümleri çıkarmaktır.
Çözüm Kümeleri ve RREF
RREF, aşağıdaki anlamda orijinal denklem sisteminin en üst düzeyde basitleştirilmiş bir versiyonudur:
• Değişkenlerin olabildiğince çok katsayısı 0’dır. • Değişkenlerin olabildiğince çok katsayısı 1’dir.
Sonsuz sayıda çözüm olsa bile, çözümleri en fazla basitleştirilmiş denklemlerden okumak, orijinal denklemlerden daha kolaydır.
Örnek :
(Bir denklem sisteminden çözüm kümesine standart yaklaşım)
x + y y
- + 5w = 1
- + 2w = 6
- z + 4w = 8
1 1 0 5 1 1 0 0 3 −5 ⇔0 1 0 2 6 ∼ 0 1 0 2 6 0 0 1 4 8 0 0 1 4
8
x + 3w = −5
⇔ y + 2w = 6 ⇔ z + 4w = 8
x = −5−3w
y = 6−2w z = 8 – 4w
x −5 −3
y6 −2 ⇔ = +w .
z8 −4 w01
Her w değeri için bir çözüm vardır, dolayısıyla çözüm kümesi:
− 5 −3 6 − 2
+ α : α∈R. 8 − 4
01
İşte standart yaklaşımın önceki örneğinin sözlü bir açıklaması. RREF’de bir pivot katsayısıyla göründükleri için x, y ve z’nin pivot değişkenler olduğunu söylüyoruz. W asla bir pivot katsayı ile görünmediğinden, bu bir pivot değişkeni değildir. İkinci satırda, tüm pivot değişkenleri bir tarafa ve tüm pivot olmayan değişkenleri diğer tarafa koyduk ve çözümleri kolayca okumamıza izin veren bir sistem elde etmek için önemsiz w = w denklemini ekledik.
Çözüm Kümelerine Standart Yaklaşım
1. Artırılmış matrisi yazın.
2. RREF’e ulaşmak için ERO’lar gerçekleştirin.
3. Pivot değişkenleri pivot olmayan değişkenler cinsinden ifade edin.
Çözümlerinizi dizine eklemek için her zaman tam olarak yeterli pivot olmayan değişken vardır. Herhangi bir yaklaşımda, diğer değişkenler açısından ifade edilmeyen değişkenlere serbest değişkenler denir. Standart yaklaşım, pivot olmayan değişkenleri serbest değişkenler olarak kullanmaktır.
Standart olmayan yaklaşım: w’yi z cinsinden çözün ve diğer denklemlerin yerine koyun. Artık her bileşen için z cinsinden bir ifadeniz var. Ama neden y veya x yerine z’yi seçelim? (veya x + y?) Standart yaklaşım sadece doğal hissettirmekle kalmaz, aynı zamanda kanoniktir, yani herkesin aynı RREF’e sahip olacağı ve dolayısıyla aynı değişkenleri özgür olarak seçeceği anlamına gelir. Bununla birlikte, çözüm setleri aynı olduğu sürece, herhangi iki serbest değişken seçeneğinin iyi olduğunu hatırlamak önemlidir. (Bunu, Google MapsTM veya MapquestTM kullanmak arasındaki fark olarak düşünebilirsiniz; haritaları farklı görünse de, tarif ettikleri yer aynıdır)
Pivotu olmayan iki sütunlu bir RREF artırılmış matrisi gördüğünüzde, iki serbest değişken olacağını bilirsiniz.
Örnek:
(Standart yaklaşım, birden çok serbest değişken)
RREF’ten Çözüm Setine
Üç, dört veya elli altı pivot olmayan sütun ve çözüm kümenizi indeksleyen aynı sayıda serbest değişken olduğunu hayal edebilirsiniz. Genel olarak, n serbest değişkenli bir denklem sistemine bir çözüm seti, formda olacaktır.
{xP +μ1xH1 +μ2xH2 +···+μnxHn :μ1,…,μn ∈R}
Bu çözümlerin parçaları, ilişkili matris denkleminde özel roller oynar. Bu, temel hesaplama yöntemleriyle ilgili bu tartışmayı tamamladıktan çok sonra tekrar tekrar gündeme gelecektir, bu nedenle şimdi bu parçalara adlar vermek için doğrusal cebirin genel dilini kullanacağız.
Tanım: Lx = v doğrusal denklemin homojen bir çözümü, L ve v’nin bilindiği şekilde, LxH = 0 olacak şekilde bir xH vektörüdür, burada 0 sıfır vektörüdür.
Eğer belirli bir çözüm xP toalinearequation’a sahipseniz ve ona homojen çözümlerin bir toplamını eklerseniz, başka bir özel çözüm elde edersiniz.
Özel ve Homojen Çözümler
Şimdi, çözümlerin katsayı olarak serbest değişkenli kısımlarının önceki örneklerden homojen çözümlerdir ve ekleyerek belirli bir çözüme homojen bir çözüm, kişi için bir çözüm elde edilir.
Bu matris denklemi tekrar tekrar ortaya çıkacak.
Örnek olarak
matrisler olmadan d2 f = 3 diferansiyel denklemini düşünün.
Belirli bir dx2
çözüm 3 x2 iken x ve 1 homojen çözümlerdir.
Çözüm seti 2
{3 x2 + ax + c1: a, b ∈ R}.
Benzer diferansiyel denklemleri hayal edebilirsiniz.
Doğrusal sistemlerin çözüm kümelerini, artırılmış matrislerinin RREF’inden okumakta çok ustalaşmanız gerekir; doğrusal cebir için temel bir beceridir.
Gauss eliminasyonunun çalışılmış örnekleri
1.Okuma sorunları
- Artırılmış matris
- 2 × 2 sistemler
- 3 × 2 sistemler
- 3 × 3 sistemler
Aşağıdaki artırılmış matrislerin RREF’te olup olmadığını belirtin ve çözüm setlerini hesaplayın.
2. Aşağıdaki doğrusal sistemi çözün:
2×1 + 5×2 −8×3 + 2×4 + 2×5 = 0 6×1 + 2×2 −10×3 + 6×4 + 8×5 = 6 3×1 + 6×2 + 2×3 + 3×4 + 5×5 = 6 3×1 + 1×2 −5×3 + 3×4 + 4×5 = 3 6×1 + 7×2 −3×3 + 6×4 + 9×5 = 9
Çalışmanızı, her adım arasında, gerçekleştirdiğiniz satır işlemleriyle etiketlenen eşdeğerlik işaretleriyle ∼ dikkatlice ayarladığınızdan emin olun.
3. Aşağıdaki iki matrisin satıra eşdeğer olduğunu kontrol edin:
1 4 7 10 0 −1 8 20
2 9 6 0 ve 4 18 12 0.
Şimdi her bir matristen üçüncü sütunu kaldırın ve ortaya çıkan iki matris (aşağıda gösterilmiştir) satır eşdeğeridir: 1 4 10 0 −1 20
2 9 0 ve 4 18 0.
Şimdi, orijinal iki matrisin her birinden dördüncü sütunu kaldırın ve artırılmış matrisler olarak görülen (aşağıda gösterilen) ortaya çıkan iki matrisin satır eşdeğeri olduğunu gösterin:
1 4 7 0 −1 8 2 9 6 ve 4 18 12.
Sütunların kaldırılmasının satır eşdeğerliğinin neden asla etkilenmediğini açıklayın.
4. Artırılmış matrise karşılık gelen denklem sisteminin çözümü olmadığını kontrol edin.
Bu matrisin satırlarından birini kaldırırsanız, yeni matrisin herhangi bir çözümü var mı? Genel olarak, satır eşdeğerliği satırların kaldırılmasından etkilenebilir mi? Nedenini veya neden olmadığını açıklayın.
1 4 10 3 13 9 4 17 20
Ödevcim Online, Lineer Cebir, Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır, Doğrusal Cebir, Lineer Cebir Ödevi, Lineer Cebir Yaptırma, Lineer Cebir Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Lineer Cebir danışmanlık, Lineer Cebir yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Artırılmış matris Aşağıdaki doğrusal sistemi çözün Çözüm Kümeleri ve RREF Çözüm Kümelerine Standart Yaklaşım Gauss eliminasyonunun çalışılmış örnekleri Gelişmiş Eliminasyon iki matrisin satıra eşdeğer olduğunu kontrol edin Okuma sorunları Özel ve Homojen Çözümler RREF RREF'ten Çözüm Seti