Kümülatif Frekans Eğrileri
Bazen, belirli belirli değerlerden daha az olan gözlemlerin sayısını göstermek yararlıdır. Örneğin, öğrenci sağlık kulübünün yönetimi için ayda 11’den az derse kaç üyenin katıldığını bilmek faydalı olabilir, böylece egzersiz uyumu ile ilgili bilgiler kendilerine e-posta ile gönderilebilir ve böylece onları düzenli bir egzersiz programına devam etmeye teşvik edebilir.
Kümülatif frekans değerleri, ikinci sınıftan başlayarak alt sınıf sınırlarının altına düşen puanların sayısıdır. Bunun nasıl çalıştığını görmek için, gösterilen aerobik derslerine katılımla ilgili önceki veri dizimizi kullanalım.
Sadece bir öğrencinin ayda üçten az oturuma katıldığını, üç öğrencinin ayda beş defadan daha azına katıldığını gösterir. Bir frekans dağılımının bir histogram ile grafiksel olarak gösterilebilmesi gibi, gösterilen kümülatif frekans dağılımı da kümülatif bir frekans eğrisi ile gösterilebilir. Kümülatif frekansın (F ile gösterilir) dikey eksende ve alt sınıf limitlerinin yatay eksende olduğuna dikkat edin.
Bu grafikten, yaklaşık 16 öğrencinin ayda 11’den az derse katıldığı görülmektedir. Bu, öğrenci sağlık kulübünün yönetimine, 19 öğrencinin 16’sına egzersiz davranışı ve uyumuna ilişkin tavsiyelerin gönderilmesi gerektiğini gösterebilir. Kümülatif frekans eğrileri de değişim oranlarını göstermek için kullanılabilir.
Örneğin, iki eğitim programının beceri gelişimini teşvik etmede ne kadar etkili olduğunu karşılaştırmakla ilgilendiğinizi hayal edin. Katılımcıların aktiviteyi başarılı bir şekilde gösterme sıklığı kaydedilir ve zamana karşı çizilirse, davranışlarının kümülatif bir kaydı oluşturulacaktır.
Bu durumda, grafikteki iki çizginin eğimi, becerinin her bir teknik tarafından ne kadar hızlı geliştirildiğini gösterecektir. Bu yaklaşım, davranışın kümülatif frekans kaydedici olarak bilinen şeye otomatik olarak kaydedildiği hayvanlarda öğrenmede sıklıkla benimsenmiştir.
Ekonomistlerin talep eğrisi dediği şeye prensipte benzer bir grafik oluşturmak için boş zaman çalışmalarında ilgili bir yaklaşım kullanılır. Örneğin, bir sağlık merkezi geliştirmekle ilgilendiğinizi hayal edin.
Halka planı açıkladıktan sonra, onlara tesisi kullanıp kullanmayacaklarını ve kullanmak için ne kadar ödemeye hazır olacaklarını soruyorsunuz. Daha sonra bir frekans dağılımı oluşturur ve her bir sınıf frekansının yüzde değerlerine dayalı kümülatif bir frekans eğrisi çizerseniz, grafiğe benzer bir şey elde edersiniz.
Bu grafikten sağlık ocağını kullanacağını iddia edenlerin oranının giriş ücreti arttıkça nasıl düştüğü görülmektedir. Tesisi kullanacağını iddia edenlerin yüzdesinin çeşitli noktalardaki ücretle çarpılması, tesisin gelirini maksimize edecek giriş ücretinin hesaplanmasını sağlayacaktır.
Merkezi Eğilim Ölçüleri
Verilerin nasıl dağıtıldığını bilmenin yanı sıra, tipik puanı belirleyebilmek de son derece yararlıdır. Öğrenci aerobik egzersiz örneğimizdeki verileri kullanarak, öğrencilerin her ay katıldığı tipik aerobik egzersiz seanslarının sayısını bilmek isteyebiliriz. Böyle bir değeri bulmak için, diğer puanların etrafa dağıldığı tipik bir puan sağlamayı amaçladıkları için, merkezi eğilim ölçüleri olarak bilinen şeylere başvururuz.
Öğrenci verilerini ayrıntılı olarak tartışmadan önce, araştırmacının öğrenci sağlık merkezinde aerobik egzersiz derslerine katılan üniversite personelinden elde ettiği ek bir veri setini ele alalım. Buradaki veriler, toplanan bilgilerin bir bölümünü temsil eder ve bir üniversite personeli örneğinin aerobik derslerine ayda kaç kez katıldığını gösterir. Daha önce olduğu gibi aynı prosedürü benimseyerek, verilen frekans dağılımı oluşturulabilir.
Şimdi sormak istediğimiz sorular, ilk olarak öğrencilerin aerobik derslerine ayda ortalama kaç kez katıldığı ve ikinci olarak personelin aerobik derslerine ayda ortalama kaç kez katıldığıdır.
Bu soruları yanıtlamak için kullanabileceğimiz üç merkezi eğilim ölçüsü olduğunu belirtmeliyiz. Bunlar:
1. mod
2. ortanca
3. ortalama
Kümülatif frekans
Kümülatif frekans hesaplama
Oransal frekans Nedir
Artan birikimli frekans hesaplama
Nispi frekans örnekleri
Nispi frekans hesaplama
Göreli frekans hesaplama
Birikimli frekans Nedir
Mod
Bu, örneklemde en sık meydana gelen gözlem olarak tanımlanır. En sık ortaya çıkan iki puan varsa, örneklemin iki modlu olduğu söylenir. İkiden fazla mod mevcutsa, veri seti çok modlu olarak kabul edilir. Öğrenci verilerinde sadece bir mod vardır ve bu, üç kez meydana gelen 8 sayısıdır. Bu nedenle, bu ölçüme göre, öğrenciler tipik olarak ayda sekiz derse katılırlar.
Personel için ise en sık gözlem 4’tür ve bu da üç kez gerçekleşir. Bu, personelin tipik olarak ayda dört seansa katıldığını göstermektedir.
Ortanca
Veriler en düşükten en yüksek değere doğru düzenlendiğinde, medyan dizideki ortadaki gözlemdir. Hem öğrenci hem de personel verilerimizde tek sayıda gözlemimiz var (n = 19), bu nedenle medyan gözlem 10. gözlemdir.
Ortalama
Bu, yapılan gözlemlerin sayısına bölünen tüm gözlemlerin toplamıdır. Öğrenciler için ortalama medyan ve moda çok benzerken, yani 8 ile karşılaştırıldığında 7,47’dir, personel için karşılık gelen rakamlar 5,84 ve 4’tür. iki önlem, ayda dört derse katılmalarını öneriyor, hangi ölçüye inanalım? Yani, hangisi gerçekten tipik bir puan sağlar?
Bu soruyu yanıtlamak için ortalamanın dizideki her puana duyarlı olduğunu, medyan ve modun ise duyarlı olmadığını anlamak önemlidir. Bunu göstermek için, personel verisindeki 14 puanın 140 olarak değiştirildiğini hayal edin; bu, bir öğretim üyesinin muhtemelen egzersiz konusunda takıntılı olduğunu gösterir. Ayrıca dizinin ortalamasını da etkiler, böylece ortalama 237/19 = 12.47 olur.
Bununla birlikte, medyan 4’te kalacaktır, çünkü hala orta puandır. Bu nedenle, ortalama bu uç değer tarafından bozulurken, medyanın etkilenmediği görülmektedir.
Bu örnek, verilerin değerler aralığında nasıl dağıtıldığının üç merkezi eğilim ölçüsünü farklı şekillerde etkileyeceğini göstermektedir. Bu nedenle çarpıklık olarak adlandırılan bir kavramın anlaşılması önemlidir.
Çarpık Dağılımlar
Öğrenci verileri için mod, medyan ve ortalama histogram üzerinde çizilirse, histogram üzerinde neredeyse aynı yere düştükleri, yani 8’e yakın oldukları not edilebilir. Dağılım gerçekten simetrik olsaydı, yani. puanlar bir orta nokta etrafında eşit olarak dağıtılmış olsaydı, o zaman ortalama, medyan ve mod tamamen aynı değere sahip olacak ve dağılımın orta noktasına düşecekti.
Ortalamanın düz dikey çizgi ile ve medyan ve modun kesikli çizgi ile temsil edildiğine dikkat edin. Bu işlem şimdi personel verileri için tekrarlanırsa, ortalama diğer iki ölçümün sağında yer aldığı için merkezi eğilim ölçülerinin aynı noktaya düşmediği görülebilir. Öğrenci verilerini temsil eden şekil neredeyse simetrik görünürken, personel verilerini temsil eden şeklin açıkça simetrik olmadığı da görülmektedir.
Simetrik olmayan dağılımlara çarpık denir. Sola (negatif) veya sağa (pozitif) çarpık olabilirler. Çarpıklığın yönü, dağılımın kuyruğunun düştüğü yöne, yani en uç puanların yönüne göre belirlenir. Bir dağılım çarpıksa, ortalaması bu uç puanlar doğrultusunda değişecektir.
O zaman ortalama bize tipik bir puanın en uygun temsilini sağlamayabilir. Nitekim personel verileri için de durumun böyle olduğu görülmektedir. Aerobik egzersiz derslerine diğerlerinden daha fazla meraklı olan bir veya iki personel, ortalamayı çarpıtıyor. Ancak, medyan bu aşırı puanlardan etkilenmez.
Bu nedenle, çarpık bir dağılımla, medyan tipik puanın daha uygun bir göstergesini sağlayacaktır. Çarpıklığın yönü, medyana göre ortalamanın konumu ile gösterilir. Personel verilerinin ortalaması medyanın sağında olduğu için dağılım sağa çarpık veya pozitif çarpıktır. Çarpıklığın büyüklüğü, ortalama ve medyan değerler arasındaki farkı yansıtacaktır.