Landauer–Buttiker Yaklaşımı
Landauer–Bütiker yaklaşımının ana avantajı, matematiksel kesinliği ve STM uçlarının farklı sınır koşullarını içermesidir. Prensip olarak, bu nedenle tünel açma durumunun daha doğru bir tanımını vermelidir.
Ayrıca tedavi, ayrı iletkenlik kanalları arasındaki girişim etkilerini içerir. Landauer tarafından bir makalede yeniden ele alınan orijinal tek boyutlu türetme aslında oldukça basittir.
Ana varsayımlar şunlardır:
1. İki kurşun ideal metallerden oluşur, elektron durumlarının dağılımı serbest bir elektron gazının dağılımına eşittir, bu da bir boyutta, belirli bir k değerindeki elektron sayısının k ile doğrusal olduğu anlamına gelir.
2. Vakum bariyerine çarpan elektronlar ya bariyer boyunca iletilir ya da kurşuna geri yansıtılır. Elektronların geçişi, kurşunlardaki işgali değiştirir, böylece kaynağın işgal ettiği en yüksek seviye olan μ1, Fermi seviyesinden daha yüksektir. Tersine, drenajın en düşük boş seviyesi olan μ2, Fermi seviyesinden daha düşüktür.
3. Gerçek Fermi seviyeleri veya kaynağın (μA) ve tahliyenin (μB) kimyasal potansiyelleri, dolu ve boş durumların sayısıyla tanımlanır. Her iki seviye de, yukarıdaki işgal edilmiş durumların sayısının, aşağıdaki işgal edilmemiş durumların sayısına eşit olmasıyla karakterize edilir.
4. Uygulanan bias eV, iki gerçek Fermi seviyesi arasındaki potansiyel farktır.
5. Meslek sayılarındaki gerçek değişiklikler, küçük bir enerji aralığında meydana gelir; tünelleme elektronlarının enerji seviyesi bu nedenle Fermi seviyesine eşittir.
Potansiyel bariyerden geçen toplam akım, iletilen ve yansıtılan akım katkıları arasındaki fark olacaktır. Kaynaktan yayılan akım verilir.
Burada e elektron yükü, v Fermi seviyesindeki elektron hızı, n elektron sayısı ve E enerjidir. Kapalı bir sistemdeki elektron durumlarının sayısı, 2πn = k ile k ile orantılıdır; elde ettiğimiz iki dönüş yönünü hesaba katar.
Aşağıdakiler için, tüm durumlar tamamen dolu olduğu için μ2'nin altındaki durum aralığının akıma katkıda bulunmayacağını not etmek önemlidir. Tüm durumlar boş olduğu için μ1'in üzerindeki aralık da olmayacaktır. Bu nedenle, ilgili tek değişiklik bu değerler arasındaki aralıkta meydana gelir.
Enerji seviyeleri μ1 ve μ2, her kurşundaki dolu ve boş durumların sayısının Fermi seviyesine göre dengelenmesi gerektiği özelliği kullanılarak kimyasal potansiyellerden hesaplanır. Pozitif ve negatif hızlar için her kurşundaki taşıyıcıların toplam sayısı N verilmiştir.
Sol kurşun için, μA'nın üzerindeki dolu durumların sayısı, çarpan ve yansıyan elektronlardan kaynaklanır; Aşağıdaki boş durum sayısı, bu aralıktaki toplam taşıyıcı sayısı ile işgal altındaki durum sayısı arasındaki farktır.
Sağ uç içinde, Fermi seviyesinin üzerindeki işgal edilmiş durumların sayısı, kaynaktan bariyeri geçen iletimlerden kaynaklanırken, μB'nin altındaki kullanılmayan durumların sayısı, kaynağa geri iletimlerden kaynaklanmaktadır.
Sonuç kesinlikle yalnızca sıfır sıcaklıkta geçerlidir. Geçiş matrisleri çerçevesinde ve ortam termal koşulları altında bu önemli denklemin kompakt gösterimi için detaylara bakmak gerekir.
landauer-büttiker formula
landauer-büttiker formalism
landauer--büttiker formula derivation
landauer formula pdf
Saçılma ve Pertürbasyon Yöntemi
Çok kanallı geçişlerin genel bir çerçevesi içinde, Landauer-Buttiker denklemi genellikle matris gösteriminde yeniden yazılır. İki uç ve bir vakum bariyerinden oluşan basit bir arayüz için, iletkenlik daha sonra açıklanmaktadır.
Matris çarpımı üzerindeki izin bu durumda tüm iletim kanallarının toplamına eşdeğer olduğuna dikkat edin. Bununla birlikte, bir arayüz boyunca farklı yollar mevcutsa, örneğin bir yüzey üzerinde adsorbe edilmiş bir molekül boyunca tünelleme akımı varsa durum değişir. Bu durumda, matris ürünü aynı zamanda, bir elektronun arayüzün birden fazla iletim kanalı boyunca eşzamanlı geçişini tanımlayan köşegen dışı elemanlar da içerir.
Bu girişim etkilerinin gerçek tünelleme görüntüsü için ne kadar önemli olduğu sorusu hala kesin bir cevaba sahip değil. Rodyum yüzeylerde adsorbe edilmiş benzenin görüntülerinde girişimlerin önemli bir rol oynayabileceği gösterilmiştir. Ancak, bu daha geniş bir ölçekte kurulmamış gibi görünüyor. Bu etkilerin dışında biçimcilik, tünelleme simülasyonlarında pertürbasyon yöntemleriyle aynı sonuçlara yol açmaktadır.
Fonksiyon Yaklaşımı
Son birkaç yılda, denge dışı fonksiyon biçimciliği temelinde tünel açma sürecinin teorik tedavileri giderek daha popüler hale geldi. Sorunun en eksiksiz tedavisi, iki uç ve bir bariyer bölgesi içeren bir sistemin Hamiltoniyeni olarak kabul edilir. Teorinin incelikleri bir önceki yazılarımızda ele alınmıştı; burada sadece sonucu belirtiyoruz. Esnek olmayan etkileri içeren bir arayüzden geçen akım verilmiştir.
Burada öz enerjiler ΣA<(E) sonsuz uçlara bağlantıyı tanımlarken, G<(E) iletken arayüzünün Green'in dengesiz fonksiyonudur. Tünel açma işlemlerinde yer alan zaman ölçeklerini analiz edersek, normal tünel açma koşulları (I ≈ 1 nA) için tek elektron işlemleri arasında yaklaşık 10−10 s'lik bir aralık elde ederiz.
Bu aralığın kafes uyarımlarının tipik zaman ölçeğinden yüz ila bin kat daha uzun olduğu düşünüldüğünde, bariyerdeki elektronların etkileşimlerini ihmal etmek çok daha güvenli görünüyor. Bu durumda esasen azalır.
f'nin Fermi dağılım fonksiyonlarını, GR(E) ve GA(E) bariyerin geciktirilmiş ve gelişmiş fonksiyonlarını ve ΓS(T) yüzey ve uç temaslarını ifade ettiği yerde. Bu biçimcilik, özellikle moleküler elektronikteki uygulamalar veya arayüzler aracılığıyla taşıma özelliklerinin analizi için de giderek daha popüler hale geldi.
Biçimciliğe dahil olan çok çeşitli etkileşimler nedeniyle, Keldysh'in yöntemi bugün en doğru olanıdır. Ana sorunu, ya katı hal sistemlerinin tanımındaki yaklaşımlarla ya da etkileşim aralığındaki atom sayısını sınırlayarak telafi edilmesi gereken bir hesaplama maliyetidir.
Bu nedenle genellikle sıkı bağlama modellerinde uygulanmıştır. Bu sınırlama ve ardından gelen sayısal kesinlik eksikliği, genel kullanımına karşı ana itirazlardı. Bununla birlikte, son zamanlarda yöntemin bir düzlem dalga temel kümesi içinde de uygulanabileceği gösterilmiştir. Son teknoloji ürünü DFT yöntemleri, doğru bir tanımlama için düzlem dalgalara dayandığından, bu, pertürbasyon yöntemlerinin saçılma yöntemleriyle değiştirilmesi lehine de oldukça güçlü bir argümandır.
Durum Uzay Formülasyonu
Aşağıdaki durum uzayı modeliyle tanımlanan n çıkışlı ve m girişli çok değişkenli bir süreci ele alalım. Tahmin denklemi (5.3), x(t) durum vektörünün yansız bir tahminini gerektirir. Durum vektörüne erişilemiyorsa Kalman Filtresi gereklidir.
Bu, w(t) = 0, v(t) = e(t) yaparak ve Q(zI- MttNandQ(zI Mt1P, aynımelefmatriks A.(Z-l)-t)’nin bir sol matris fraksiyonu tanımını bularak başarılabilir.
Durum uzayı açıklaması, bir önceki bölümde kullanılan denklem (5.1)’in matris kesri açıklamasından aşağıdaki gibi elde edilebilir: Durum vektörüx(t) =[y(t)··, y(t-na )b.u(t-1)·· ,b.u(t-nb)e(tf … e(t- ncfl) ve gürültü vektörü v’yi göz önünde bulundurun (t) = e(t + 1) Denklem (5.1) artık şu şekilde ifade edilebilir.
Her iki tanımlamanın da örtüşmesi için w(t) ölçüm hatası vektörünün sıfır yapılması gerekir. Renklendirme polinom matrisi kimlik matrisi ise, durum vektörü yalnızca geçmiş girdi ve çıktılardan oluşur x(t) = [y(t)· .. y(t – na) 6 u(t -1)·· . 6 u(t – nb)] ve M, Nand P matrislerinin yalnızca ilk iki sütun bloğu ve M matrisinin ilk iki satır bloğu dikkate alınmalıdır.
Durum vektörü geçmiş girdi ve çıktılardan oluştuğu için GPC’yi uygulamak için Kalman filtresine gerek olmadığına dikkat edin. Ancak, durum vektörü boyutu açısından açıklamanın minimal olması gerekmez. (A(Z-I»;j ve (B(Z-l);j)) polinomlarının derecelerinde büyük bir fark varsa, yalnızca gelecekteki çıkış sinyallerini hesaplamak için gerçekten gerekli olan geçmiş girişleri ve çıkışları dikkate almak daha iyidir. Bunu yapmak için çıktı vektörünün i bileşenini göz önünde bulundurun.
Meeij matrisi, MUUij’ matrisi ile aynı forma sahiptir. NUj ve PYj matrisleri, 1 olan ilk satırın j elemanı hariç tüm elemanları sıfıra sahiptir. Gürültü vektörleri v(t) =e(t +1) ve w(t)’dir. = O.
Bu durum uzayı açıklaması, SISO durumu için kullanılana karşılık gelir. MPC bağlamında literatürde başka durum uzayı tanımları önerilmiştir. Albertos ve Ortega, örnekleme zamanı ile çarpılan tahmin ufkuna eşit bir yapay örnekleme aralığını içeren bir durum uzayı tanımı önerdiler.
Kontrol ufku üzerindeki tahmin edilen giriş ve çıkışların vektörleri, giriş ve çıkış sinyalleri olarak kullanılır. Gürültüsüz durum için GPC maliyet işlevi daha sonra tek adımlı bir performans endeksine dönüştürülür. Tesisin adım yanıtına dayalı bir durum uzayı açıklaması önerilmiştir.
Tesisin adım yanıtına dayalı modeller, çok sezgisel oldukları ve tesisi tanımlamak için daha az ön bilgi gerektirdiği için endüstride yaygın olarak kullanılmaktadır. Başlıca dezavantajlar, daha fazla parametreye ihtiyaç duyulması ve önerilen açıklamanın entegratörleri içeren süreçlerin modellenmesine izin vermesine rağmen, yalnızca kararlı süreçlerin modellenebilmesidir.
Durum uzay modeli
Durum uzay modeli PDF
Durum uzay denklemleri
Durum uzay modeli örnekleri
Durum uzay gösterimi
State space
RLC devresinde durum uzay matris gösterimi
Durum uzayı nedir
Ölü Zaman Problemleri
Endüstrideki, özellikle proses endüstrisindeki çoğu tesis, girdi-çıktı gecikmeleri veya ölü zamanlar sergiler. Yani, manipüle edilen değişkendeki bir değişikliğin etkisi, ölü zaman geçene kadar süreç çıktısı üzerinde hissedilmez. Ölü zamanlar, esas olarak taşıma gecikmelerinden veya bazen birden çok zincirleme gecikmeden oluşan dinamiklere sahip süreçlerin bir sonucu olarak ortaya çıkar.
Önemli ölü zamana sahip prosesleri kontrol etmenin zorlukları iyi bilinmektedir ve bunun nedeni ölü zamanın faz marjını bozan bir faz gecikmesi üretmesidir. Sonuç olarak, yüksek salınımlardan kaçınmak için yavaş tepkiler üreten (işlemin ölü zamanına eklenmesi gereken) düşük kazançlı kontrolörler kullanılmalıdır.
Gecikmelerle başa çıkmak için farklı teknikler vardır. Belki de en popüler olanı, temel olarak süreç çıktısının bir tahminini üreterek ve işlem eksi ölü zaman için bir kontrolör tasarlayarak kapalı döngüden gecikmeyi çıkarmaktan oluşan Smith tahmincisidir. Proses çıkışı ve tahminler arasındaki hata, tesis ve model uyumsuzluğuyla başa çıkmak için kontrolöre geri beslenir.
Model öngörücü denetleyicilerin öngörücü doğası nedeniyle, zaman gecikmeleri doğal olarak onlar tarafından dikkate alınır. Proses girdi-çıktı ölü süreleri polinom matrisi B(z-l)’de yansıtılır. j-girişinden i-çıkışına, örnekleme zaman birimlerinde ifade edilen ölü zaman, polinom matrisi B(z-l)’nin (B(z-l));j girişi (B(z-l)) olarak ifade edilebilecek şekilde maksimum d;j tamsayıdır.
dm;n = min;J d;j ve dmax =maks;,j d;j’yi tanımlayalım. İşlem ölü zamanı, polinom matrisi B(Z-l)’nin birinci katsayı matrislerinin sıfır olması ile bir önceki bölümde örtük olarak ele alınsa da, önlem alınmazsa hesaplama verimli olmayacaktır.
Ölü zamanın çok değişkenli süreçlere doğal uzantısı, çok değişkenli bir sürecin zaman gecikme yapısını temsil eden etkileşim matrisidir [74]. Etkileşim matrisi, T(z) transfer matrisi hemen hemen tüm z için det(T(z)) =I 0 ile kesinlikle uygunsa her zaman mevcuttur. Böyle bir polinom matrisi ((z) olarak tanımlanır.
Burada k bir tam sayıdır ve K tekil olmayan bir matristir. Etkileşim matrisi aşağıdaki yapıya sahip hale getirilebilir: ((z) = M(z)D(z)buradaD(z) =diag(zd1 ••• zdn ) ve M (z) ana köşegen üzerinde elemanları olan bir alt üçgen matristir birliğe eşit ve ana köşegenin altındaki elemanlar ya sıfır ya da z ile bölünebilir.
Etkileşim matrisi, kontrol sinyalinin u(t) = (r(Z-l)Z-dv(t), ~r(Z-l)’nin sağ etkileşim matrisine eşit olmasıyla [80]’de belirtildiği gibi ön dengeleyicileri tasarlamak için kullanılabilir. Çıktı vektörü daha sonra eşittir.
İşlem artık tüm değişkenler için ortak bir gecikme d olan bir işlem olarak yorumlanabilir. Ön telafi edicinin sürece gecikmeler eklemekten oluştuğuna dikkat edin. Model kestirimci kontrol, belirtildiği gibi, bu tür bir ön veya son telafinin kullanılmasını gerektirmez ve ekstra eklemenin neden olduğu istenmeyen etkiler. Giriş veya çıkıştaki gecikmeler önlenir.
Çoğu durumda, etkileşim matrisi, biri her çıkış için tek bir dm;n gecikmesine ve diğeri bir d gecikmesine karşılık gelen diyagonal bir form alacaktır; her çıktı için. Bu iki durum bir sonraki yazıda da tartışılacaktır.