Doğrusal Sistemler

Ödevcim Online, Doğrusal Sistemler, Doğrusal Sistem Yaptırma Fiyatları, Doğrusal Sistem Danışmanlık, Doğrusal Sistem ödev yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Doğrusal Sistem danışmanlık, Doğrusal Sistem yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

Doğrusal sistemler, matematiksel sanat üzerinde, doğu matematiklerinde Öklid’in Batıdaki geometri unsurlarına benzer şekilde merkezi bir rol oynamıştır. Bununla birlikte, doğrusal sistemler her zaman bir sorunu çözmek için bir algoritma bulma yöntemlerine daha fazla dahil olmuştur, böylece etkisi hem pedagojik hem de pratik olmuştur. Teoremler yerine doğrusal sistemler algoritmik kurallar sağlar.

En ilginç problemler birden fazla değişken içerir, bu yüzden şimdi denklem sistemlerine geçiyoruz. Doğrusal olmayan sistemlere dönmeden önce, iki nedenden ötürü doğrusal sistemleri çözmek için algoritmalara ayrıntılı olarak bakıyoruz. İlk olarak, doğrusal durum doğrusal olmayan durum için bir ön koşuldur; doğrusal olmayan problemlerin çözümünü, lineer denklem sistemlerinin çözümünü içeren bir yinelemeye indirgeyeceğiz. İkincisi, bu daha sonraki gelişmeler için ihtiyaç duyduğumuz lineer cebirden fikirler sunmamızı sağlar.

Bu bölüm, denklem sistemlerini ortadan kaldırarak çözmek için kullanılan tanıdık yöntemi resmileştirmektedir. Temel eliminasyon yöntemi Gauss1 adıyla ilişkilidir, ancak yöntem yaşamadan çok önce kullanılmıştır. Fengcheng yöntemleri Çin’de Gauss’un doğumundan yüzlerce yıl önce biliniyordu. Yöntem şimdi ortaokul müfredatında bulunuyor, bu yüzden temel özelliklerini elde etmek için yararlı olacak notasyon oluşturmak amacıyla hızlı bir şekilde inceliyoruz.

Gauss eliminasyonu, herhangi bir F alanındaki varlıkları içeren denklemlere uygulanabilir. Buradaki odak noktamız gerçek (R) ve karmaşık (C) sayı alanlarıyla sınırlı olacaktır. Kapsamımızı sadece gerçek sayılarla sınırlayabiliriz, ancak daha sonra matrislerin özdeğerlerini ve özdeğerlerini bulmak için yöntemleri düşünmek isteyeceğiz. Gerçek girdili matrislerin karmaşık özdeğerleri ve özvektörleri olabilir, bu nedenle onlarla çalışırken karmaşık sayıları dikkate almak zorundayız.

Bilinmeyenlerde n denklemlerin doğrusal sistemleri birçok uygulamada ortaya çıkar. N ≈ 105 ebadındaki problemler, matrisler yoğun olsa bile (yani, sıfır olduğu bilinen önemli miktarda giriş bulunmadığında) ortaya çıkar [56]. N = 105 ile böyle bir sistemi çözmek için gereken hesaplama miktarının bir petaflop’a yakın olduğunu göreceğiz (1015 kayan nokta işlemi). Günümüzde tipik bir (tekli) işlemci kabaca bir gigaflop (her biri 109 kayan nokta işlemi) gerçekleştirebilir. Bu nedenle, bu boyuttaki problemler genellikle paralel hesaplama gerektirir.

GAUSS ELİMİNE ETME

Bilinmeyenlerde n doğrusal denklem sistemi şu şekilde yazılabilir:

a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = f1
a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = f2
an1x1 + an2x2 + ··· + annxn = fn

Burada tüm varlıklar aij, fi ve xi, basitlik için R veya C olduğunu varsayabileceğimiz bir F alanındadır. Eliminasyon prensibi, ilk denklemin uygun katlarını kalan denklemlerden çıkaracak şekilde çıkarmaktır. Sonraki denklemlerden x1’i yok eder ve daha doğrusu çıkarır.

ai1 / a11 (a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = f1) (3.2) a11

her i = 2 için i. . . , n. bu, ifadelerin orijinal tablosunu

a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = f1 aˆ x + · · · + aˆ x = fˆn
..
aˆ x + · · · + aˆ x = fˆn

Bu katsayılar uygun çıkarmalardan kaynaklanır.

Kilit nokta, n bilinmeyenlerindeki orijinal n denklem sisteminin n – 1 bilinmeyenlerinde sadece n – 1 denklemli bir sisteme dönüştürülmesidir. Bu şekilde devam ederek, sonunda xn için basit bir denkleme ulaşıyoruz ve sonra bu değer, çözmek için xn ve xn − 1 içeren önceki denklemde kullanılabilir.
xn − 1 için, vb.

Şimdi tüm bunları özlü algoritmalar olarak yazalım.

Eliminasyon Algoritması

İlk olarak, eleme algoritmasını şu şekilde ifade edebiliriz:

ak+1 =ak −m ak ∀i=k+1,…,n, j=k+1,…,n,

fk+1=fk−m fk ∀i=k+1,…,n,

buradakiler mik çarpanlarıdır.

mik = akik/ akk ∀i=k+1,…,n, k=1,…,n

Herea1 = a andf1 = f

Sadece, je k için tanımlanır. Daha doğrusu matris, Aˆk’ı bu (n + 1 − k) × (n + 1 − k) olarak tanımlanır.

N × n sistemini tamamlamak istiyorsak, i ve j değerleri ayarlandıktan sonra

ak+1 =0 fori>k

Tablo (3.3), A2 ve A2’yi tanımlayan a2 terimlerini içeren durumu göstermektedir. Kesinlikle olabilen akk = 0 olasılığını göz ardı ettik, ancak akk’ın yok olmadığını bir an için düşünelim.

Girişin bir n × n matrisi, A ve çıkışın bir n (n − 1) × (n − 1) matrisi, Aˆ olduğunu ve n uzunluğunda bir sütun vektörü m olduğunu söyleyerek eleme algoritmasını resmileştirebiliriz. Bu algoritmayı n = 1 olana kadar Ap’ye tekrar tekrar uygularız.

K = 1 için (3.4) uyguladıktan sonra,. . . , n – 1, üçgen denklem sistemimiz vardır.

a11x1 +a12x2 +···+a1nxn =f1 a22x2 +···+a2nxn =f2 … annxn =fn

Eliminasyon algoritmasının Aˆk matrislerine (n + 1 − k) × (n + 1− boyutlarında olan k = 1,2, …, n – 1 için endüktif olarak uygulandığını gözlemleyerek bu kesin bir şekilde kanıtlanabilir. k), A1 = A ile. İndüksiyon adımı, (3.4) ve (3.5) ‘in kombinasyonudur. Bu, bölüm aşağıda daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

Bu noktada matris notasyonunun kullanılması yararlıdır. Orijinal denklemler kümesi (3.1) AX = F olarak matris-vektör formunda yazılabilir, burada A girişleri (aij) olan matris, X girişleri (xj) olan vektör ve F girişleri ( fi). U matrisini (ve başka bir yerde sıfır) ile tanımlayın.

uij = aij ∀i = 1, …, n ve j = i, …, n

Sonra (3.7) UX = G olur, burada G, (fi) girişlerine sahip vektördür. Yapım gereği, U üst üçgen bir matristir.

Tanım 3.1 Tüm j> i (sırasıyla, i> j) için bij = 0 ise bir B = (bij) matrisi üst üçgendir (sırasıyla alt üçgen)

Geriye Doğru Değişiklik

AX = F’yi UX = G üçgen formuna indirmenin temel nedeni, üçgen sistemlerinin çözülmesinin daha kolay olmasıdır. Özellikle, üst üçgen sistemler denklem formunda yazdığımız backsubstitution algoritması ile çözülebilir.

xn =gn/unn n 􏰊􏰈 xn−i = gn−i − un−i,jxj un−i,n−i ∀i=1,…,n−1.

Benzer bir algoritma, ileri değiştirme olarak adlandırılan alt üçgen sistemleri (egzersiz 3.9) çözmek için kullanılabilir. Algoritmanın iki sonucu aşağıdaki gibidir.

Sonuç :3.2 Üçgen bir matris, yalnızca ve sadece girişlerinden biri sıfır olduğunda tekildir.
Kanıt :U’nun diyagonal girişlerinden hiçbiri sıfır değilse, keyfi bir sağ taraf G için bir çözelti X’i belirleme yolu sağlar. Bu nedenle U ters çevrilebilir. Tersi alıştırma olarak bırakılır.
Sonuç : 3.3 Üçgen bir matrisin köşegen girişleri özdeğerleridir.
Kanıt : T’nin özdeğerleri T – λI tekil olacak şekilde λ değerleridir. Ancak T – λI da üçgen şeklindedir ve sadece λ T’nin köşegen girişlerinden birine eşitse tekildir.
Sonuç : 3.4 Üçgen bir matrisin belirleyicisi, üçgen matrisin köşegen girdilerinin ürününe eşittir.
Kanıt : Bir matrisin özdeğerlerinin çarpımının determinana eşit olması doğrusal cebirin bir sonucudur, bu nedenle sonuç, sonuç 3.4’ten gelir. Fakat bu doğrusal cebirden kaynaklanmasına gerek yoktur. Bunun yerine, det U = ni = 1 ui’nin gerçeği, U’nun üst üçgen olduğu gerçeği kullanılarak doğrudan bir kanıtla türetilebilir.

Doğrusal Sistem Danışmanlık Doğrusal Sistem Yaptırma Fiyatları Doğrusal Sistemler Doğrusal Sistemler – Doğrusal Sistem Yaptırma Fiyatları – Doğrusal Sistem Danışmanlık Eliminasyon Algoritması GAUSS ELİMİNE ETME Geriye Doğru Değişiklik

Doğrusal Sistemler – Doğrusal Sistem Yaptırma Fiyatları – Doğrusal Sistem Danışmanlık