Bayes Teorisi
BSI, risk değerlendirme profesyonellerinin, adli bilim adamlarının ve diğerlerinin, olasılık bileşeni olan bazı olaylar hakkında önemli bilgiler sağlamak için kullandıkları önemli bir araçtır. BSI, sürecin bir parçası olarak parametre ve modellerin oluşturulmasını gerektirir. Modeller, gözlemlenen olayların matematiksel formülasyonudur.
Parametreler, gözlemlenen verileri etkileyen modellerdeki faktörlerdir. Bunun pek çok kaynakta tartışılan en basit örneği paranın adaletidir (4–6). Bir madeni paranın adaleti, bir madeni paranın parametresi olarak tanımlanabilir ve 𝛩 ile sembolize edilir.
Madeni parayla ilgili olayların sonucu D olarak sembolize edilir. Bayes teorisi kavramını kullanarak, örneğin yazı turalarının mutlak sonucuyla ilgilenmiyoruz. Yazı turalarının sonucunun adil olup olmadığını bilmekle ilgileniyoruz. Bu nedenle, (D) verildiğinde, bir madalyonun adil olma olasılığı nedir (𝛩 = 0,5)? Bu kavramı Bayes teoreminin içine koyarak anlıyoruz.
Bu durumda P(Θ) öncüldür. Öncelikli olan, madeni paranın atılmadan önce adil olduğu inancındaki güçtür. Bir madeni para için bariz öncelik, tura veya tura için 0,5’tir (%50). Ancak, önyargı/doğruluk 0 ila 1 (%100) yazı veya yazı arasında değişebilir. Madeni para, olası sonuçlardan herhangi biri için 0,5’ten büyük miktarda saparsa, madeni para adil değildir.
𝛩 dağılımımız verildiğinde sonucumuzu gözlemleme olasılığı P(D|𝛩). Madeni paranın adil olduğunu bilseydik, bu, madeni paranın birkaç kez atılması verilen yazı veya tura sayısını gözlemleme olasılığını verir.
Kanıt P(D) tarafından verilmektedir. Bu, tüm olası 𝛩 değerlerinin toplanmasıyla hesaplanır. Bu değerler, belirli 𝛩 değerlerine ne kadar güçlü inandığımızla ağırlıklandırılır. P(𝛩|D) posterior denir. Posterior, kanıtları gözlemledikten sonra parametrelerimizin inancıdır.
Literatür, ilk önce BIS’yi açıklamaya yardımcı olmak için, bir atın çamurlu bir yolda diğer bir ata göre avantajlı olduğu yanlı madeni paraları ve at yarışlarını kullanmayı sever. Burada taraflı bir madeni paraya bakacağız. Aşağıdaki örnek MIT OpenCourseWare’den (4) uyarlanmıştır.
Bir madeni para her seferinde aynı şekilde havaya atılıyor veya ters çevriliyorsa ve tarafsız ise, sonuçlar %50 tura ve %50 tura olarak birleşir. Ancak, bir madalyonun bir önyargısı olabilir. Bir madeni paranın kuyruklara karşı önyargısı olduğunu varsayacağız.
- Sapma = P(Yazı) VEYA Sapma = P(Yazı)
Örnek olarak, fırlatıldığında farklı tura gelme olasılıklarına sahip üç tür madeni para vardır.
• Tip A madeni paralar adildir, yazı veya tura olasılığı 0,5’tir.
• B tipi madeni paralar doğru ağırlıkta değildir ve yazı olasılığı 0,75’tir.
• C tipi madeni paralar doğru ağırlıkta değildir ve tura olasılığı 0,9’dur.
Bir kapta 10 jeton olduğunu varsayalım: 5 A tipi, 3 B tipi ve 2 C tipi. Bir jeton seçilir. Madeni paranın kategorisinin türünü açıklamadan, çevirmenin sonuçları turadır. A tipi olma olasılığı nedir? B Tipi? Tip C?
Bayes Teoremi
Bayes Teoremi Örnek Soru çözümü
Bayes formülü
Bayes Teoremi nerede kullanılır
Bayes faktörü
Bayes teoremi örnekleri
Bayes teoremi hangi karar Verme ortamında kullanılır
Bayes teoremi ispatı
Seçilen madeni paranın A tipi, B tipi ve C tipi olduğu olay A, B ve C olsun. Atmanın tura olduğu olay D olsun. Sorun bizden bulmamızı istiyor
- P(A|D), P(B|D), P(C|D).
Bu durumda,
- P(A) = 0,5, P(B) = 0,3, P(C) = 0,2.
Olabilirlik fonksiyonu P(D|H)’dir. Bu, hipotezin doğru olduğunu varsayan verilerin olasılığıdır. Bu durumda, olasılık ve olasılık eş anlamlıdır. Çoğu zaman verileri sabit olarak kabul edeceğiz ve hipotezin değişmesine izin vereceğiz. Örneğin, P(D|A) = madeni para A tipiyse tura olasılığı. Bizim durumumuzda olasılıklar:
- P(D|A) = 0,5, P(D|B) = 0,25, P(D|C) = 0,9.
“B” olayı için yazılardan ziyade turalarla ilgilendiğimiz için, olasılığın 1 – 0.75 veya 0.25 olduğuna dikkat edin. Lütfen olasılık ve olasılığın eş anlamlı olduğunu unutmayın.
Bozuk paranın atılmasından elde edilen verilere göre her bir hipotezin olasılığı (arka):
- P(A|D), P(B|D), P(C|D).
Bu sonsal olasılıklar, ilgi çekici olanlardır. Bayes teoremi artık sonsal olasılıkların her birini hesaplamak için kullanılıyor. Parçaların her birini seçebilmemiz için bunu tüm ayrıntılarıyla yazacağız. (D verisinin atışın tura olduğunu unutmayın.)
Payda P(D), toplam olasılık yasası kullanılarak hesaplanır:
- P(D) = P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C) = (0,5 × 0,5)+(0,25 × 0,3) + (0,9 × 0,20) = 0,505
Toplam olasılık P(D)’nin paydaların her birinde aynı olduğuna ve üç payın toplamı olduğuna dikkat edin. Bunların hepsini bir Bayesian güncelleme tablosunda çok düzgün bir şekilde düzenleyebiliriz.
Bayes payı, önceki ve olasılığın çarpımıdır. Yukarıdaki Bayes formül hesaplamalarının her birinde, Bayes payını P(D) = 0.505’e bölerek sonsal olasılığın elde edildiğini görüyoruz. Toplam olasılık yasasının P(D)’nin Bayes payı sütunundaki girişlerin toplamı olduğunu söylediğini de görüyoruz.
Lütfen hipotezlerin her birinin olasılıklarının posterior için değiştiğini unutmayın. “A” en az değişti. Ancak “B” ve “C” önemli ölçüde değişti. Bayes pay sütunu, arka olasılık sütununu belirler. Olabilirlik sütununun toplamının 1.0 olması gerekmez; ancak, önceki ve sonraki sütunlar, olasılıkları temsil ettikleri için yapar.
Maksimum olabilirlik tahmini (MLE), belirli bir dağılım (6) kullanarak veri kümesine en uygun parametre değerlerini bulmak istediğinizde kullanılır. Olasılık terimi bu tür bilgileri temsil eder. Aradaki fark, olasılık ve önceliğin, çıktı değil, Bayes analizine girdiler olmasıdır.
Bayes analizindeki kritik nokta, sonun, veri seti verilen parametrenin sadece bir nokta tahmini değil, bir olasılık dağılım fonksiyonu (pdf) olmasıdır. Bu, bir pdf’nin tüm özelliklerinin analizde kullanılmasını sağlar. Şekil 8.5 ve 8.6, sırasıyla 𝜇 = 100 ve 𝜎 = 10 ve 𝜇 = 500 ve 𝜎 = 25 için pdf’leri gösterir.
Daha önce belirtildiği gibi, örneklem büyüklüğü arttıkça frekans ve Bayes yöntemleri arasındaki farklar ihmal edilebilir hale gelmektedir. Bununla birlikte, veri kümeleri küçük olduğunda, bu farklılıklar önemli olabilir ve Bayes aralık tahminleri sıklıkla sık kullanılan yöntemlerden daha dardır (7).
Bayes Analizi Uygulama Adımları
Aşağıdakiler, Arıza Süresi Verileri En İyi Uygulaması için Pratik Bayes Analizi’nden izin alınarak uyarlanmıştır (7). Bu süreç, arıza (MTBF) verileri arasındaki ortalama süreye odaklanır:
1. MTBF parametresine olan inancımızı açıklayan bir önceki dağılım seçin.
2. Arıza süresi verilerini toplayın ve olasılık dağılım fonksiyonunu belirleyin.
3. Sonsal dağılımı elde etmek için Bayes kuralını kullanın.
4. Verileri değerlendirmek için sonsal dağılımı kullanın.