Özvektör Açılımları
Katı hal fiziğinde, örneğin yoğunluk fonksiyonel teorisi ile hesapladığımız için, sistemimizin özdeğerlerini ve özvektörlerini bildiğimiz durumla sık sık karşılaşırız. Bu durumda sistemin Green fonksiyonunu türetmek çok basittir. Bir parçacık elektron durumlarıyla tanımlanan bir sistemin çözümünü ele alalım. Sistemin denklemi verir.
Burada i ve ψi(r), i bant indeksli çözümlerdir. Eksiksiz çözüm kümesi, tam bir ortonormal işlev kümesi oluşturur, böylece her işlev özfonksiyonlar ψi(r) içinde genişletilebilir.
Türetmemize giren tek varsayım, Hamiltoniyen'imiz için tam bir ortonormal özfonksiyonlar kümesinin varlığı olduğundan, sonuç oldukça genel olarak geçerlidir; bu, karmaşık eşleniği transpoze etmek ve almak, bir (gecikmeli) Green fonksiyonunu diğerine (gelişmiş) dönüştürür.
Pratik bir bakış açısından bu, bunlardan birinin gerçekten gereksiz olduğu anlamına gelir: bu nedenle, Green'in bir sistem işlevinden bahsederken, aşağıdaki sunumu gecikmiş Green'in işleviyle sınırlayacağız.
Bu türevin, yalnızca sistemin özfonksiyonlarını Schrodinger denkleminin benzersiz bir potansiyele sahip çözümleri olarak temsil edebiliyorsak geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. Yoğunluk fonksiyonel teorisinde olduğu gibi, elektron etkileşimlerine ortalama alan yaklaşımlarında genellikle durum budur.
Çok gövdeli bir bağlamda, aynı sonuç mutlaka doğru değildir. Aslında, daha sonra görüleceği gibi, şu anda ulaşım problemimiz için bulabileceğimiz tek çözüm, etkileşimlerin etkileşmeyen hafif bozulmaları olarak görüldüğü pertürbasyon teorisine dayanmaktadır.
Fonksiyonlar ve Saçılma Matrisleri
Bu konudan saptıktan ve Green fonksiyonlarını tanıttıktan sonra, artık saçılma matrisi S'ye ikinci kez bakabilecek durumdayız. İlk olarak, saçılma matrisinin genliklerden ziyade akımlara dayalı olarak tanımlandığını hatırlayalım.
Teorik modelimizi genliklere dayandırırsak, değişiklik yapmalıyız. İletken genlikleri tA(B)←B(A) İletkenin zıt taraflarında bulunan A ve B uçlarındaki zA = 0 ve zB = 0 noktalarını birleştiren fonksiyonunu hesaplamak istiyoruz.
Önceki sonuçlardan, zA = 0'daki bir birim uyarımın iki sonucu olduğunu biliyoruz: iletkenden uzakta A1 = +i/v genlikli bir dalgaya ve yönde A2 = −i/v genlikli bir dalgaya yol açar. kondüktörün. İletkene doğru dalga, iletken tarafından saçılır, B ucuna yayılmak için iletim genliği tB←A'dır. Dolayısıyla Green fonksiyonu için yazabiliriz.
1980'lerde türetilen bu ilişki, bir arayüz aracılığıyla taşıma özelliklerini bu arayüzün Green fonksiyonuyla ilişkilendirir. Green fonksiyonları mevcut elektronik yapı yöntemleri ile hesaplanabildiğinden, taşınım teorisindeki modern simülasyon tekniklerinin teorik temellerinden biridir.
Matris özdeğer ve özvektör Bulma
Özvektör nedir
Özdeğer ve özvektör pdf
Özdeğer ve özvektör nedir
Matris özdeğer nedir
Özdeğer ve Özvektör örnekleri
Matris özvektör Bulma
Lineer Cebir Özdeğer özvektör
Çoklu Kanallar İçin Saçılma Matrisleri
Çoklu yayılma modlarına sahip bir telde, z boyunca uzanan Green fonksiyonunu, r2 = (x,y) ile A±m genlikleri ve enine dalga fonksiyonları χm(r2) ile modüle edilmiş z boyunca bir düzlem dalga olarak yazabiliriz. Genellik kaybı olmadan, bu enine dalga fonksiyonlarının gerçek olduğu varsayılır.
Potansiyel U(r2), elektron hareketini r2 yönünde sınırlar; dalga fonksiyonları χm(r2) ortogonaldir, çünkü ayrı bir özdeğerler kümesi için iki boyutlu Hamiltoniyenin spektrumunu temsil ederler. Kanıtlama amacıyla, onların gerçek olduklarını da varsayarız.
Şimdi iki ucumuz olduğunu düşünün: m'li kurşun A ve n iletken kanallı kurşun B. Ardından, iletkenin zıt taraflarındaki iki nokta arasındaki Green işlevi değiştirilmelidir.
Genel olarak, iletim fonksiyonunu ve dolayısıyla bir cihaz aracılığıyla elektron yayılımı için iletim olasılığını veren saçılma matrisinin elemanları ile ilgilenilir. Bu elemanlar yukarıdaki denklemden χm(r2(A))χn(r2(B)) ile çarpılarak ve d2r üzerinden integral alınarak, dalga fonksiyonları χ için diklik koşulundan yararlanılarak elde edilir.
Burada, r2'nin A ucu içinde ve r2'nin B ucu içinde olduğu şeklindeki açık gösterimi kaldırdık. Ayrıca, bu denklemin tüm bileşenlerinin enerji bağımlılıklarını koruduğuna dikkat edin.
Şimdiye kadar elektronların bir iletkenin bir tarafından diğer tarafına yayılmasını tanımladık. İletim olasılığını hesaplamak için gereken anahtar niceliklerin, iletkenin zıt taraflarındaki iki nokta arasındaki belirli bir geçiş için Green fonksiyonları GR veya yayıcı olduğu bulundu.
Bunlar da saçılma matrisiyle ilişkilidir ve saçılma matrisinin tüm öğelerinin toplamı bize Fisher-Lee denklemi yoluyla istenen iletim olasılığını verir.
Bununla birlikte, bir iletken ve iki sonsuz uç içeren bir sistemin Green fonksiyonlarını hesaplamak genellikle imkansızdır, çünkü uçların elektronik yapı ve iletken içindeki yayılma üzerinde bir etkisi olacaktır. Bu etkinin hesaplamaya dahil edilmesi gerekir. Bu amaca yönelik genel strateji, iletkenin kendi sınırlarındaki sonsuz uçların etkisini belirlemektir.
Sonlu Farklar Yöntemi
İlgili prosedürleri anlamak için başlangıçta, a'nın bir sabit olduğu, zj − zj−1 = a mesafesinde eşit aralıklı ayrık kafes noktalarına sahip basit bir tek boyutlu sistemi ele alıyoruz. Daha sonra sistemin Hamilton operatörü verilir.
Potansiyel V(z) de her kafes noktasında tanımlanır, V için Vj yazarız (z = ja). H'yi eşit olarak ayrıklaştırılmış bir f(z) fonksiyonu ile çarparak, z = ja noktası için aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz.
Sonlu farklar yöntemi, adını diferansiyellerin ele alınmasından alır. f(z = ja)'nın birinci türevi için f (z = (j + 1/2)a) ve f (z = (j − 1/2)a) değerleri arasındaki sonlu farkı dikkate alabiliriz.
Tek boyutlu Schrödinger denklemi daha sonra, matrisin her satırının yalnızca üç eleman içerdiği bir matris denklemine dönüştürülür: köşegen eleman ve onun iki komşusu. Hamiltonian'ın atomik yörünge temsilinde böyle bir matris, yalnızca köşegen ve en yakın komşulara "atlamalı" parametreleri içerdiğinden, "sıkı bağlayıcı" matris olarak bilinir.
Sonsuz bir ucu düşündüğümüz için, H matrisi sonsuz boyutludur. Matrisi z = ja = 0 noktasına yakın ele alırsak, bileşenleri açıkça yazabiliriz. Bir sistemin Hamilton matrisine sahip olduğumuzda, Green fonksiyonu basitçe reçeteye göre ters matristir.
Bununla birlikte, küçük bir sorun var: sonsuz bir teli düşündüğümüz için matris sonsuz boyutludur. Sonsuz bir matrisi tersine çevirmek mümkün değildir, bu nedenle kurşunun özellikleriyle başa çıkmak için dolaylı bir yaklaşım düşünmeliyiz.
Bu amaçla önce bir iletken ve bir sonsuz kurşun içeren bir sistemi ayrı tanımlanan iki alt sisteme ayırıyoruz. Sistemin genel fonksiyonu daha sonra aşağıdaki şekilde alt matrislere bölünebilir.
Programların Ters Çevirilmesi
Bir programın yürütülmesini video kasete aldığımızı varsayalım. Kaset, tüm durumları bir şekilde kaydeder. Videoya baktığımızda algoritmanın ne olduğunu az çok anlayabiliyoruz. Ardından, video kasetini geriye doğru çalıştırdığımızı varsayalım. Ne görüyoruz? Ters program adı verilen başka bir algoritmanın animasyonudur.
Bir programın birden fazla tersi olabilirken, bazı programların hiç tersi olmayabilir. Şimdi, varsa bir programın tersini oluşturmak için tekniklere bakıyoruz. Bilinen genel bir teknik yoktur, ancak ne kadar hile (veya ustalık) yapmak istediğimize bağlı olarak çeşitli koşullar altında tersini bulabiliriz.
Bir programın tersinin ne olduğunu bulmakla neden ilgilensin ki? Öyle oluyor ki bazen ileri problemi çözmek kolayken, ters problemin üstesinden gelmek çok daha zor görünüyor. Böyle bir durumda, ileri çözümü oluşturmak ve tersine çevirmek, ters problemi çözmenin çekici bir yolu olabilir. Bunların örneklerini göreceğiz.
S ifadesini ele alalım. Bunun tersi s-1 nedir? Buradaki fikir, S’nin uygulanmasıdır; s-1, bir başlangıç durumundan bir ara duruma ve sonra tekrar başlangıç durumuna götürür. Kendi tersi olan atlama gibi bazı ifadelerin ters çevrilmesi kolaydır. (Hiçbir şey yapmamak ve tersine hiçbir şey yapmamak hemen hemen aynı şeydir.)
x := -x’in tersi büyük bir sır değildir; x := -x yani bu ifade kendi tersidir. Aynısı x, y := y, x için de geçerlidir (geriye doğru okuyun!) x := x + 1’in tersi de kolaydır: x := x – 1’dir.
Atama ifadesindeki ifade biraz daha karmaşıksa, ters ifadeyi değişken ve ifadeyi değiştirerek ve sol taraf ileri atamadaki değişkenle aynı olana kadar yeniden yazarak buluruz. Örneğin, x := J(x + 1)/2 ataması önkoşul altında tersine çevrilebilir.
Böylece x,y :== x+y,x-y’nin tersini x,y:=(x+y)/2,(x y)/2 olarak buluyoruz. Neden x + y ve x – y’nin çift olduğu ön koşuluna ihtiyacımız yok? Ancak bazı ifadelerin tersine çevrilmesi daha zordur. Örneğin, x’in “eski” değerini bilmeden x := 1’i ters çeviremeyiz. Başka bir deyişle, x := 1’i ancak önkoşulunu biliyorsak ters çevirebiliriz.
Orijinal ifadeleri geriye doğru okuyarak ve ifade ile iddianın rolünü değiştirerek tersi elde edilir. Bu örnek, sadece önkoşul verildiğinde tersleri hesaplayabileceğimizi göstermektedir.
Bu nedenle, bir ön koşula göre tersini tanımlarız, yani s-1’i S ile tanımlarız; s-1 = atlama, P ön koşulu verildiğinde. Bu, {P1\Q}S’yi gerektirmekle aynıdır; s-1{Q}forallQandforgivenP.(Bu formülasyon, şu anda sahip olduğumuz bir sağ-ters ile s-1 yazarak sahip olacağımız bir sol-ters arasındaki ayrımı kabul eder.
Sol ve sağ tersinin aynı olduğu konusunda en ufak bir fikrim yok.) Eğer s- nin tersi önkoşuldan bağımsızsa, o zaman true önkoşuluna göre tersini elde ederiz.
x > 0 önkoşulunu kullanarak x := x2’yi tersine çevirebiliriz, aksi takdirde bunu yapamayız. Fakat. x > 0 önkoşulu, x := x div 2’yi tersine çevirmek için yetersiz bilgi sağlar.
Ön koşul olarak tek(x) veya çift(x) işi yapar ve farklı terslere yol açar. Durdurmanın tersinin olmadığını görmek oldukça kolaydır: iptalin yürütülmesi sona ermez, bu nedenle iptalin yürütülmesinin ardından başka bir şeyin (o zaman hiçbir zaman yürütülmez) atlamayla eşdeğer olmasının hiçbir yolu yoktur.
Noktalı virgüllerle bağlanan bir ifade dizisi, dizideki tüm ifadeler ters çevrilerek ve sıradaki sıraları tersine çevrilerek ters çevrilir. Örneğin, elimizde (x:=x+1; y:=y· 2)-1=(y:=y/2; x:=x-1) var.
Bir if-ifadesini nasıl tersine çeviririz? Bir if ifadesinin yürütülmesi, en az bir korumanın doğru olmasıyla başlamalıdır, aksi takdirde bu, tersine çevrilemez iptale eşdeğerdir. Bu nedenle, gardiyanların ayrılması ifadenin ön şartı olarak eklenmiştir.
Yürütme, iki alternatiften hangisinin seçildiğine bağlı olarak RO veya R1 ile sona erer, dolayısıyla RO V R1 son koşuldur. if-ifadesini tersten yürütmek için, SO veya 81’den birinin tersten yürütülmesi gerekir ve ikisi arasındaki seçim, ileri programın son koşulu temelinde yapılır.
RO tutarsa so-1 yürütülür ve R1 tutarsa S1-1 yürütülür; bu, “doğru” seçimin yapılması gerekiyorsa, RO ve R1’in aynı anda doğru olamayacağı anlamına gelir. Bu nedenle -,(RO 1\ R1) gerekir.
Ters video eylemine karşılık gelmeyen, ancak belirsizliği kabul eden ve yalnızca ters programın orijinal programın başlangıç durumunu yeniden kurmasını gerektiren farklı bir ters kavramı geliştirmeye çalışılabilir. (RO 1\ Rl) kısıtlaması verildiğinde, if-ifadesinin tersi düzdür (ya da düz geri?). Tersinin aşağıdaki gibi olduğunu varsayıyoruz.
Daha ilginç ifade döngüdür. Yalnızca tek korumalı bir döngü durumunu ele alıyoruz çünkü genel döngü, tek korumalı bir döngü ve gövdesi olarak bir if-ifadesi olarak yeniden yazılabilir. Böyle bir döngünün tersi de, gövdesi olarak bir if-ifadesi ve tek koruyucusu olan bir döngüye dönüşecektir ve bu daha sonra tekrar çoklu koruma döngüsüne dönüştürülebilir.
döngü değişmezine veya değişken işlevine ihtiyacımız olmamasıdır. Önceki örneklerimiz aracılığıyla, tersine çevirme için bir önkoşul gerektiğini ve koşullar ile koruyucuların rol değiştirdiğini beklemeye başladık. Bu nedenle ..C ön koşulunu getiriyoruz ve C’yi S’nin son koşulu olarak ekliyoruz.
Bu neden döngünün doğru tersi olsun? Tek yapmamız gereken, döngünün doğru anda sona erdiğini göstermek ve artı s-1’in S’nin tersi olduğu gerçeğine güvenmek. Döngü neden doğru anda sona eriyor?
Ya B başlangıç durumunda yanlıştır, bu durumda S hiçbir zaman yürütülmez ve döngü .. C’yi tatmin eden bir durumda sona erer veya B başlangıçta doğrudur, bu durumda S en az bir kez yürütülür, böylece durum değişir. S’nin ilk yürütülmesinde ve döngünün C’yi tatmin eden bir durumda sonlandırılmasında C’den C’ye gider.
Tersine oyunda, ya ..C tutar, bu durumda ters program s-1′ yürütmeden doğru bir şekilde sona erer ya da c tutar, bu durumda ters döngü, C koşulu doğrudan yanlışa geçene kadar s – 1’i doğru şekilde yürütür. Ters program, ileri programın adımlarını izler.