Özvektör Açılımları
Katı hal fiziğinde, örneğin yoğunluk fonksiyonel teorisi ile hesapladığımız için, sistemimizin özdeğerlerini ve özvektörlerini bildiğimiz durumla sık sık karşılaşırız. Bu durumda sistemin Green fonksiyonunu türetmek çok basittir. Bir parçacık elektron durumlarıyla tanımlanan bir sistemin çözümünü ele alalım. Sistemin denklemi verir.
Burada i ve ψi(r), i bant indeksli çözümlerdir. Eksiksiz çözüm kümesi, tam bir ortonormal işlev kümesi oluşturur, böylece her işlev özfonksiyonlar ψi(r) içinde genişletilebilir.
Türetmemize giren tek varsayım, Hamiltoniyen'imiz için tam bir ortonormal özfonksiyonlar kümesinin varlığı olduğundan, sonuç oldukça genel olarak geçerlidir; bu, karmaşık eşleniği transpoze etmek ve almak, bir (gecikmeli) Green fonksiyonunu diğerine (gelişmiş) dönüştürür.
Pratik bir bakış açısından bu, bunlardan birinin gerçekten gereksiz olduğu anlamına gelir: bu nedenle, Green'in bir sistem işlevinden bahsederken, aşağıdaki sunumu gecikmiş Green'in işleviyle sınırlayacağız.
Bu türevin, yalnızca sistemin özfonksiyonlarını Schrodinger denkleminin benzersiz bir potansiyele sahip çözümleri olarak temsil edebiliyorsak geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. Yoğunluk fonksiyonel teorisinde olduğu gibi, elektron etkileşimlerine ortalama alan yaklaşımlarında genellikle durum budur.
Çok gövdeli bir bağlamda, aynı sonuç mutlaka doğru değildir. Aslında, daha sonra görüleceği gibi, şu anda ulaşım problemimiz için bulabileceğimiz tek çözüm, etkileşimlerin etkileşmeyen hafif bozulmaları olarak görüldüğü pertürbasyon teorisine dayanmaktadır.
Fonksiyonlar ve Saçılma Matrisleri
Bu konudan saptıktan ve Green fonksiyonlarını tanıttıktan sonra, artık saçılma matrisi S'ye ikinci kez bakabilecek durumdayız. İlk olarak, saçılma matrisinin genliklerden ziyade akımlara dayalı olarak tanımlandığını hatırlayalım.
Teorik modelimizi genliklere dayandırırsak, değişiklik yapmalıyız. İletken genlikleri tA(B)←B(A) İletkenin zıt taraflarında bulunan A ve B uçlarındaki zA = 0 ve zB = 0 noktalarını birleştiren fonksiyonunu hesaplamak istiyoruz.
Önceki sonuçlardan, zA = 0'daki bir birim uyarımın iki sonucu olduğunu biliyoruz: iletkenden uzakta A1 = +i/v genlikli bir dalgaya ve yönde A2 = −i/v genlikli bir dalgaya yol açar. kondüktörün. İletkene doğru dalga, iletken tarafından saçılır, B ucuna yayılmak için iletim genliği tB←A'dır. Dolayısıyla Green fonksiyonu için yazabiliriz.
1980'lerde türetilen bu ilişki, bir arayüz aracılığıyla taşıma özelliklerini bu arayüzün Green fonksiyonuyla ilişkilendirir. Green fonksiyonları mevcut elektronik yapı yöntemleri ile hesaplanabildiğinden, taşınım teorisindeki modern simülasyon tekniklerinin teorik temellerinden biridir.
Matris özdeğer ve özvektör Bulma
Özvektör nedir
Özdeğer ve özvektör pdf
Özdeğer ve özvektör nedir
Matris özdeğer nedir
Özdeğer ve Özvektör örnekleri
Matris özvektör Bulma
Lineer Cebir Özdeğer özvektör
Çoklu Kanallar İçin Saçılma Matrisleri
Çoklu yayılma modlarına sahip bir telde, z boyunca uzanan Green fonksiyonunu, r2 = (x,y) ile A±m genlikleri ve enine dalga fonksiyonları χm(r2) ile modüle edilmiş z boyunca bir düzlem dalga olarak yazabiliriz. Genellik kaybı olmadan, bu enine dalga fonksiyonlarının gerçek olduğu varsayılır.
Potansiyel U(r2), elektron hareketini r2 yönünde sınırlar; dalga fonksiyonları χm(r2) ortogonaldir, çünkü ayrı bir özdeğerler kümesi için iki boyutlu Hamiltoniyenin spektrumunu temsil ederler. Kanıtlama amacıyla, onların gerçek olduklarını da varsayarız.
Şimdi iki ucumuz olduğunu düşünün: m'li kurşun A ve n iletken kanallı kurşun B. Ardından, iletkenin zıt taraflarındaki iki nokta arasındaki Green işlevi değiştirilmelidir.
Genel olarak, iletim fonksiyonunu ve dolayısıyla bir cihaz aracılığıyla elektron yayılımı için iletim olasılığını veren saçılma matrisinin elemanları ile ilgilenilir. Bu elemanlar yukarıdaki denklemden χm(r2(A))χn(r2(B)) ile çarpılarak ve d2r üzerinden integral alınarak, dalga fonksiyonları χ için diklik koşulundan yararlanılarak elde edilir.
Burada, r2'nin A ucu içinde ve r2'nin B ucu içinde olduğu şeklindeki açık gösterimi kaldırdık. Ayrıca, bu denklemin tüm bileşenlerinin enerji bağımlılıklarını koruduğuna dikkat edin.
Şimdiye kadar elektronların bir iletkenin bir tarafından diğer tarafına yayılmasını tanımladık. İletim olasılığını hesaplamak için gereken anahtar niceliklerin, iletkenin zıt taraflarındaki iki nokta arasındaki belirli bir geçiş için Green fonksiyonları GR veya yayıcı olduğu bulundu.
Bunlar da saçılma matrisiyle ilişkilidir ve saçılma matrisinin tüm öğelerinin toplamı bize Fisher-Lee denklemi yoluyla istenen iletim olasılığını verir.
Bununla birlikte, bir iletken ve iki sonsuz uç içeren bir sistemin Green fonksiyonlarını hesaplamak genellikle imkansızdır, çünkü uçların elektronik yapı ve iletken içindeki yayılma üzerinde bir etkisi olacaktır. Bu etkinin hesaplamaya dahil edilmesi gerekir. Bu amaca yönelik genel strateji, iletkenin kendi sınırlarındaki sonsuz uçların etkisini belirlemektir.
Sonlu Farklar Yöntemi
İlgili prosedürleri anlamak için başlangıçta, a'nın bir sabit olduğu, zj − zj−1 = a mesafesinde eşit aralıklı ayrık kafes noktalarına sahip basit bir tek boyutlu sistemi ele alıyoruz. Daha sonra sistemin Hamilton operatörü verilir.
Potansiyel V(z) de her kafes noktasında tanımlanır, V için Vj yazarız (z = ja). H'yi eşit olarak ayrıklaştırılmış bir f(z) fonksiyonu ile çarparak, z = ja noktası için aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz.
Sonlu farklar yöntemi, adını diferansiyellerin ele alınmasından alır. f(z = ja)'nın birinci türevi için f (z = (j + 1/2)a) ve f (z = (j − 1/2)a) değerleri arasındaki sonlu farkı dikkate alabiliriz.
Tek boyutlu Schrödinger denklemi daha sonra, matrisin her satırının yalnızca üç eleman içerdiği bir matris denklemine dönüştürülür: köşegen eleman ve onun iki komşusu. Hamiltonian'ın atomik yörünge temsilinde böyle bir matris, yalnızca köşegen ve en yakın komşulara "atlamalı" parametreleri içerdiğinden, "sıkı bağlayıcı" matris olarak bilinir.
Sonsuz bir ucu düşündüğümüz için, H matrisi sonsuz boyutludur. Matrisi z = ja = 0 noktasına yakın ele alırsak, bileşenleri açıkça yazabiliriz. Bir sistemin Hamilton matrisine sahip olduğumuzda, Green fonksiyonu basitçe reçeteye göre ters matristir.
Bununla birlikte, küçük bir sorun var: sonsuz bir teli düşündüğümüz için matris sonsuz boyutludur. Sonsuz bir matrisi tersine çevirmek mümkün değildir, bu nedenle kurşunun özellikleriyle başa çıkmak için dolaylı bir yaklaşım düşünmeliyiz.
Bu amaçla önce bir iletken ve bir sonsuz kurşun içeren bir sistemi ayrı tanımlanan iki alt sisteme ayırıyoruz. Sistemin genel fonksiyonu daha sonra aşağıdaki şekilde alt matrislere bölünebilir.
Stres Merkeziliği
Stres merkeziliği, canlılık benzeri bir ölçü olarak görülebilir: Stres merkeziliği, bir köşe veya kenar içeren en kısa yolların sayısını sayar ve bu nedenle, köşe veya kenar grafikten çıkarılırsa kaybolan en kısa yolların sayısı olarak yorumlanabilir.
Bu kulağa canlılık ölçüsü gibi geliyor ama canlılığın tanımında çok önemli bir fark var: Kayıp en kısa yolların sayısı, orijinal grafikteki en kısa yolların sayısına göre ölçülmelidir. Bu önemlidir, çünkü basit bir örnek, bir grafikten bir köşe veya kenar çıkarılırsa en kısa yolların toplam sayısının gerçekten artabileceğini göstermektedir.
(a)’nın sol tarafında, 8’i e kenarını içeren toplam 54 en kısa yol içeren küçük bir grafik gösterilmektedir. e’yi çıkardıktan sonra ortaya çıkan grafikte 64 en kısa yol buluyoruz. Tabii ki, 18 tanesi şimdi eskisinden daha uzun. Bir kenarın kaldırılması, kenar sayısında bir artışa ne zaman yol açacaktır?
Bu örnekte, e kenarı, en dıştaki iki köşeden veya bu köşelere giden bazı yollar için bir kısayoldur. Örnek olarak, en soldaki en dış köşeden en sağdaki en dış köşeye giden yolu alacağız. e kaldırılır kaldırılmaz, bu düğümler arasındaki mesafe bir artar. Ek olarak, aralarındaki en kısa yolların sayısı üç kat artıyor çünkü eskisi gibi sadece uzunluğu 3 olan bir yol yerine artık uzunluğu 4 olan dört yol var.
Gerilme merkeziliğini bir canlılık ölçüsü olarak yorumlamak için, bir elemanın çıkarılmasından sonra uzunluğu artan en kısa yolları göz ardı etmemiz gerekir. Bu fikri formüle etmek için, bir köşenin veya bir kenarın gerilim merkeziliğini canlılık olarak yorumlamamıza izin veren f (G \ {x}) tanımını vereceğiz.
Tanım, ilk olarak [322]’de açıklanan Iverson-Notation’da verilmiştir, uyarlanmıştır. Parantez içindeki terim herhangi bir mantıksal ifade olabilir. İfade doğruysa terim 1, yanlışsa terim 0’dır.
Bu notasyon, mantıksal ifadelerin toplam indeksi ile birleştirildiği klasik notasyona göre toplamı okumayı çok daha kolaylaştırır. Dolayısıyla f (G \ {v})’nin tanımı, G’deki s ve t mesafesiyle aynı uzunluğa sahip tüm bu en kısa yolların sayısının toplamı olarak tanımlanır.
Bu şekilde tanımlandığında, x öğesinin gerilme merkeziliği CS (x), tam olarak f(G) ve f(G\{x}) arasındaki farktır. f (G \ {x}) tanımının bir canlılık ölçüsü için resmi tanımla eşleşmediğini not etmek önemlidir. Bununla birlikte, her ikisinin de benzerliği açıktır ve bu nedenle, stres merkeziliğini canlılık benzeri bir merkezilik indeksi olarak göstereceğiz.
Mevcut Akış
En kısa yol merkezleri, bilgi akışının veya genel olarak malların taşınmasının en kısa yollarda gerçekleştiğine dair çok önemli varsayıma dayanır. Bu bölüm, bilgi akışı veya aktarım bu en kısa yol varsayımına bağlı olmadığında, bunun yerine bir elektrik şebekesinden akan bir elektrik akımının davranışını izlediğinde uygun olan akım akış merkezlerini açıklamaktadır.
Akım akış merkeziyetleri, bir ağdaki elektrik akımının akışına dayalıdır. Aşağıda elektrik şebekelerindeki akımları kısaca açıklıyoruz ve kapsamlı bir tartışma için bkz. Bir elektrik şebekesi, bir iletkenlik fonksiyonu c : E → ile birlikte yönsüz, bağlantılı ve basit bir G = (V,E) grafiği ile tanımlanır. Harici elektrik akımı, bir besleme işlevi b : V → ile belirtilen bu ağa girer ve çıkar.
b’nin pozitif değerleri giren akımı, negatif değerler şebekeden çıkan akımı temsil eder ve giren ve çıkan akımların miktarlarının eşit olması gerekir: v∈V b(v) = 0. Yönünden bahsetmekte fayda var. yönsüz grafikteki bir akımın, her e ∈ E kenarı, yönlendirilmiş bir kenar seti −→E ile sonuçlanan, yönlendirilmiş bir kenar elde etmek için keyfi olarak yönlendirilir.
İlk denklem Kirchoff’un akım yasası, ikincisi ise Kirchoff’un potansiyel yasası olarak bilinir. x’in negatif değerleri, yönlendirilmiş bir kenarın yönüne karşı akan akım olarak yorumlanmalıdır.
Daha sonra, bir N = (G, c) elektrik şebekesi için potansiyel bir p ve Lp = b doğrusal sistemini çözerek bir kaynak b bulunabilir.
Son olarak, elektrik akımlarına dayalı merkeziyetleri belirtmek amacıyla, ağa s’de giren ve t’de ayrılan bir birimin arzı olarak, yani bst(s) = 1,bst( t) = −1 ve tüm v ∈ V \ {s, t} için bst(v) = 0.
Değer Akış haritası örneği
Mevcut Durum değer Akış Haritası
Değer Akış Haritalama
Değer Akış Haritalama amacı
Değer Akış Haritalama Nedir
Değer Akış Haritalama Excel
Değer Akış Haritalama Sembolleri
Değer Akış Haritalama adımları
Akım-Akış Arasındalık Merkeziliği
İlk önce elektrik akımlarına dayalı merkeziyet ölçüleri ele alındı. Bir tepe noktasının akım-akış arasındakiliği, o tepe noktasından geçen birim s-t- tedariklerinin oranını temsil eder, tıpkı en kısa yolların bir tepe noktasından geçen en kısa s-t-yollarının oranını sayması gibi.
Sabit bir st çifti için, bir v tepe noktasının sözde verimi, σst(v)’den v’ye kadar olan en kısa yolların sayısının akım-akış eşdeğerini oluşturur. Daha kesin olarak, bir birime göre bir v ∈ V tepe noktasının verimi s-t-arzı bst olarak tanımlanır.
Burada −|bst(v)| sıfır olmayan kaynağı olan bir tepe noktasının verimini sıfıra eşitler. Akım-akış aradalığı için bu, belirli bir birim st-beslemenin, kaynağının ve alıcı düğümleri s ve t’nin verimi için sayılmamasını sağlar. Ayrıca, 1 terimi, toplamanın v tepe noktasına giren ve çıkan 2 akımını saydığı gerçeğini ayarlar.
1/(n−1)(n−2)’nin bir normalleştirme sabiti olduğu tüm v ∈ V için. Böylece, akım-akış aralığı, tüm olası s-t çiftleri üzerinden alınan v köşesi boyunca iş hacminin oranını ölçer. Bir elektrik şebekesinin belirli bir besleme için benzersiz bir akımı olduğundan, akım-akış arasılığı iyi tanımlanmıştır.
Arada olduğu gibi, yakınlık kavramı da en kısa yollardan elektrik akımına kadar genişletilebilir. En kısa yollar için yakınlık, belirli bir köşeden diğer tüm köşelere olan en kısa yol mesafesinin bir ölçüsüdür. Elektrik akımı için, Brandes ve Fleischer [94] iki v ve w köşesi arasındaki mesafeyi p(v) – p(w) potansiyellerinin farkı olarak ölçen bir yakınlık merkeziliği önermektedir. Bunların akım-akış merkeziyet yakınlığı cCC(v) : V → olarak tanımlanır.
Burada, potansiyeller üzerindeki vt alt simgesi, potansiyelin bir birim v-t-besleme bvt’den kaynaklandığı anlamına gelir. İlginç bir şekilde, akım akışı yakınlık merkeziliğinin bilgi merkeziliğine eşit olduğunu kanıtlayın.
En kısa yollar yerine bir ağdaki tüm yollar boyunca akan bilgileri hesaba katmak için bilgi merkeziliği getirildi. Bilgi merkeziliği, belirli yolların diğerlerinden daha fazla miktarda bilgi taşıdığını da hesaba katar.