Matrisler (24) – Simetrik Matrisleri Köşegenleştirme – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Sorunları İnceleyin
1. (a) Eğer Q ortogonal bir n × n matris ise, u, v ∈ Rn için u v = (Qu) (Qv) olduğunu gösterin. Yani Q, iç çarpımı korur.
(b) Q dış ürünü koruyor mu?
(c) Vektör kümesi {u1, …, un} ortonormalse ve {λ1, ···, λn} bir sayı kümesiyse, M = ni = matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri nelerdir? 1 λiuiuTi?
(d) {u1, …, un} ‘u {Qu1, …, Qun} ile değiştirirsek, bu matrisin özvektörleri ve özdeğerleri nasıl değişir?
2. Vektör kümesi için Gram-Schmidt prosedürünü dikkatlice yazın. Prosedürde elde edilen ikinci vektörü tamsayı bileşenli bir vektöre yeniden ölçeklendirmek mümkün müdür?
3. (a) u ve v’nin doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayalım. U ve v⊥’nin de doğrusal olarak bağımsız olduğunu gösterin. {U, v⊥} ‘nin neden {u, v} aralığı için bir temel olduğunu açıklayın.
(b) Önceki problemi üç bağımsız vektörle tekrarlayın
u, v, w burada v⊥ ve w⊥ prosedürde tanımlandığı gibidir.
4. QR ayrıştırmasını bulun.
5. Herhangi bir u, v, w vektörü verildiğinde, Gram-Schmidt prosedürünün v⊥ veya w⊥’si ne zaman yok olur?
6. U için bir W alt uzayı, U, ‘nun W’nin bir alt uzayı olduğunu kontrol etmek için alt uzay teoremini kullanın.
7. Sn ve An sırasıyla n × n simetrik ve anti-simetrik matrislerin uzayını tanımlayalım. Bunlar, tüm n × n matrislerin Mn vektör uzayının alt uzaylarıdır. Dim Mn, dim Sn ve dim An nedir? Mn = Sn + An olduğunu gösterin. Kare matrisler üzerinde bir iç çarpım tanımlayın
M · N = trMN. IsA⊥n = Sn? IsMn = Sn⊕An?
8. V = span {sin (t), sin (2t), sin (3t), sin (3t)} vektör uzayı bir iç çarpıma sahiptir.
f · g: = f (t) g (t) dt.
Sin (t) – sin (2t) ‘yi U ve U⊥’ dan vektörlerin toplamı olarak ifade edin. V’de U = span {sin (t) + sin (2t)} için ortogonal iltifatı bulun.
Simetrik Matrisleri Köşegenleştirme
Simetrik matrislerin birçok uygulaması vardır. Örneğin, önemli şehir çiftleri arasındaki en kısa mesafeyi düşünürsek, aşağıdaki gibi bir tablo elde edebiliriz.
Bir matris olarak kodlanmış, elde ederiz.
Tanım: Bir matris M, eğer MT = M ise simetriktir.
Simetrik matrislerin çok güzel bir özelliği, her zaman gerçek öz değerlere sahip olmalarıdır. İnceleme alıştırması 1, genel ispatta size yol gösterir, ancak aşağıda 2 × 2 matrisler için bir örnek verilmiştir.
Misal
Genel bir simetrik 2 × 2 matris için şunlara sahibiz:
4b2 + (a – d) 2 ayırt edicisinin her zaman pozitif olduğuna dikkat edin, böylece özdeğerler gerçek olmalıdır.
Şimdi, bir simetrik matris M’nin iki farklı özdeğerine sahip olduğunu varsayalım λ ̸ = μ ve özvektörler x ve y;
Mx = λx, Benim = μy. X y = xT y = yT x iç çarpımını düşünün ve şunu hesaplayın:
xTMy = xTMy = xTμy=μx y,and
xTMy (yT M x)T (by transposing a 1 × 1 matrix)
= (yT λx)T
= (λx y)T
= λx y.
Bu iki sonucu çıkarmak bize şunu söyler:
0 = xTMy − xTMy = (μ − λ) x y.
Μ ve λ’nın farklı özdeğerler olduğu varsayıldığından, λ – μ sıfır değildir ve bu nedenle x y = 0. Aşağıdaki teoremi kanıtladık.
Teorem 15.0.1. Farklı öz değerleri olan simetrik bir matrisin özvektörleri ortogonaldir.
Örnek:
M = (2 1, 1 2) matrisi şu şekilde belirlenen öz değerlere sahiptir:
det (M – λI) = (2 – λ) 2-1 = 0.
Yani M’nin özdeğerleri 3 ve 1’dir ve ilişkili özvektörler şu şekildedir:
1 1 ve −1. Bu özvektörlerin ortogonal olduğu kolayca görülmektedir.
Bir önceki bölümde P matrisinin Rn için herhangi bir ortonormal tabandan (v1, …, vn) inşa edildiğini gördük.
P = v1 ··· vn, ortogonal bir matristir. Bunun anlamı şudur ki: P − 1 = PT veya PPT = I = PTP olur.
Ayrıca, herhangi bir (birim) vektör x1 verildiğinde, kişi her zaman x2 vektörlerini bulabilir. . . , xn öyle ki (x1,…, xn) birimdik bir temeldir. (Böyle bir temel, Gram-Schmidt prosedürü kullanılarak elde edilebilir.)
Şimdi, M’nin simetrik bir n × n matris olduğunu ve λ1’in özvektör x1 ile bir özdeğer olduğunu varsayalım (bu her zaman böyledir çünkü her matrisin en az bir öz değeri vardır – bkz. Problem 3). P, birimdik sütun vektörlerinin kare matrisi olsun
P = x1 x2 ··· xn,
X1, M için bir özvektör iken, diğerleri, M için özvektör olmak zorunda değildir.
MP = λ1×1 Mx2 ··· Mxn.
Fakat P ortogonal bir matristir, dolayısıyla P −1 = P T. Sonra:
Son eşitlik, P T M P simetrik olduğu için gerçekleşir. Matristeki yıldız işaretleri, “şeyler” in gerçekleştiği yerdir; bu ekstra bilgi, son ifadede M by ile gösterilir. Mˆ hakkında bir (n – 1) × (n – 1) matris olması ve simetrik olması dışında hiçbir şey bilmiyoruz. Ama sonra, Mˆ için bir (birim) özvektör bularak, bu prosedürü art arda tekrar edebiliriz. Sonuç, köşegen üzerinde M özdeğerleri olan köşegen bir matris olacaktır. Yine bir teoremi kanıtladık:
Teorem. Her simetrik matris, özdeğerlerinin köşegen matrisine benzer. Diğer bir deyişle,
M = MT ⇔M = PDPT
burada P, ortogonal bir matristir ve D, girişleri olan diyagonal bir matristir.
M’nin özdeğerleridir.
Gerçek bir simetrik matrisi köşegenleştirmek için, aşağıdaki örnekte olduğu gibi, özvektörlerin ortonormal bir tabanından ortogonal bir matris oluşturarak başlayın.
Örnek :
Simetrik matris
M = (1 2, 2 1) sırasıyla (1 1) ve (1-1) özvektörlü 3 ve 1 öz değerlerine sahiptir. Bu özvektörleri normalleştirdikten sonra, ortogonal matrisi oluşturuyoruz:
Dikkat: PTP = I. O zaman: Kısacası, MP = PD, yani D = PTMP. O halde D, M ve P’nin köşegenleştirilmiş formudur, standart temelden özvektörlerin temeline ilişkili temel değişim matrisidir.
Sorunları İnceleyin
- Okuma Problemleri
- Simetrik bir matrisin köşegenleştirilmesi
1. (Özdeğerlerin Gerçekliği Üzerine)
√ (a) Varsayım = x + iywherex, y∈R, i = −1 vez = x − iy.
X ve y cinsinden zz ve zz’yi hesaplayın. Zz ve zz ne tür sayılardır? (Karmaşık sayı z, z’nin karmaşık eşleniği olarak adlandırılır).
(b) λ = x + iy’in x, y ∈ R ile karmaşık bir sayı olduğunu ve λ = λ olduğunu varsayalım. Bu x veya y’nin değerini belirler mi? Λ ne tür bir sayı olmalıdır?
(c) Letx = .∈C. Letx = z1 ··· zn ∈C (a1 × n zn
karmaşık matris veya satır vektörü). X † x hesaplayın. Bölüm 1a’nın sonucunu kullanarak x † x sayısı hakkında ne söyleyebilirsiniz? (Örneğin, gerçek mi, hayali mi, pozitif mi, negatif mi, vb.)
(d) M = M T’nin gerçek girdileri olan n × n simetrik bir matris olduğunu varsayalım. Λ, özvektör x ile M’nin bir özdeğeri olsun, yani Mx = λx.
e) Λ’nin 1 × 1 bir matris olduğunu varsayalım. ΛT nedir?
(f) x † Mx matrisinin boyutu nedir?
(g) Herhangi bir matris (veya vektör) N için, N’nin her girişine karmaşık konjugasyon uygulayarak N’yi hesaplayabiliriz. Hesaplama (x †) T. Sonra (x † Mx) T hesaplayın. AB + C = AB + C matrisleri için.
(h) λ = λ olduğunu gösterin. Bu problemin önceki bir kısmının sonucunu kullanarak, bu λ hakkında ne söylüyor?
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Bir matris olarak kodlanmış her zaman gerçek öz değerlere sahip olmaları İnceleme alıştırması Matrisler Matrisler – (24) – Simetrik Matrisleri Köşegenleştirme – Matrisler Ödev Yaptırma ortogonal bir matris Simetrik matrislerin çok güzel bir özelliği Vektör kümesi için Gram-Schmidt prosedürü