Lineer Cebir Nedir? (14) – Yönler ve Büyüklükler – Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Lineer Cebir, Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır, Doğrusal Cebir, Lineer Cebir Ödevi, Lineer Cebir Yaptırma, Lineer Cebir Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Lineer Cebir danışmanlık, Lineer Cebir yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Uzayda Vektörler, n-Vektörler
Örnek :
(3 boyutlu bir altdüzlem belirtmeyen 3 + 1 vektörler) 3 boyutlu bir altdüzlem değildir, çünkü aslında, küme R6’da örnek 46’daki gibi yeniden yazılabilir ve bu yüzden aslında aynı 2 boyutlu alt düzlemdir.
Bazen “k-boyutlu” olmayan “hiper düzlem” kelimesiyle karşılaşabilirsiniz. K boyutu belirtilmediğinde, genellikle Rn içindeki bir hiper düzlem için k = n – 1 olduğu varsayılır. Bu, n değişkenli bir cebirsel denklemle belirtilen nesne türüdür.
Örnek 48 (Bir doğrusal cebirsel denklemle bir düzlem belirtme.) Olarak ayarlanan çözüm, R5’te 4 boyutlu bir hiper düzlemdir.
Yönler ve Büyüklükler
Bir n vektörünün Öklid uzunluğunu düşünün:
Kosinüs Yasasını kullanarak, iki vektör arasındaki açıyı bulabiliriz. Rn’de bir düzlemi kapsayan iki v ve u vektörü verildiğinde, v ve u’nun uçlarını v – u vektörüne bağlayabiliriz.
Sonra Kosinüs Yasası şunu belirtir:
∥v − u∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 −2∥u∥∥v∥cosθ
Ardından cos θ ‘yi izole edin:
Böylece,
∥v − u∥2 −∥u∥2 −∥v∥2
= (v1 −u1) 2 + ··· + (vn −un) 2 − (u1) 2 + ··· + (un) 2 − (v1) 2 + ··· + (vn) 2
= −2u1v1 – ··· −2unvn
∥u∥∥v∥cosθ = u1v1 + ··· + unvn.
Yukarıdaki tartışmada, Rn’deki Avrupa uzunluklarının Rn’deki herhangi bir düzlem için olağan vektör uzunlukları kavramını verdiğini (doğru bir şekilde) varsaydık. Bu, artık iç çarpımın tanımını motive ediyor.
Tanım : . andv = .
u v: = u1v1 + ··· + unvn.
R100’den iki vektörün iç çarpımına eşittir.
Örnek :
1 1
2 1 3 1
1
4 · 1 = 1 + 2 + 3 + ··· + 100 = .100.101 = 5050.
. . 2 . .
100 1
Yukarıdaki toplam, efsaneye göre, Gauß’un anaokulunda yapabileceği miktardır.
Tanım Bir v vektörünün uzunluğu (veya norm veya büyüklüğü) ∥v∥: = √v v’dir.
R101’den bir vektörün normunun sonucunu alır.
Örnek :
1
2
101
2
i = 37,961.
i 1 =
4
3
=
.
.
101
Tanım İki vektör arasındaki θ açısı, u v = ∥u∥∥v∥cosθ formülüyle belirlenir.
İki vektör arasındaki açının Örnek 51, R101’i oluşturur.
Arasındaki açı
1
10,201 ,937,916√51.
1 2
3
4 .
. 101
1 0
ve 0 arccos .
. 1
Tanım İki vektör, nokta çarpımları sıfırsa ortogonaldir (veya diktir).
R101’den birbirine ortogonal olan vektörler
Örnek :
1 1 1 − 1
1 1
· = 0.
. .
1 −1
Rn’den 0n sıfır vektörünün Rn’deki her vektöre dik olduğuna dikkat edin;
0n · v = 0 tüm v ∈ Rn için.
İç çarpım bazı önemli özelliklere sahiptir;
1. simetrik:
2. Dağıtıcı:
UV = vu
u (v + w) = u v + u w, 3. Çift Doğrusal (yani hem u hem de v’de doğrusal):
ve
4. Pozitif Belirli:
u (cv + dw) = cu v + du w,
(cu + dw) v = cu v + dw v.
u≥0,
ve u u = 0, sadece u’nun kendisi 0 vektörü olduğunda gerçekleşir.
Aslında, vektörlerin uzunluklarını tanımlamanın birçok farklı yolu vardır. Yukarıdaki tanımda, önce iç çarpımı tanımladığımıza ve ardından diğer her şeyi iç çarpım açısından tanımladığımıza dikkat edin. Dolayısıyla, iç çarpım fikrimizi değiştirirsek, uzunluk ve açı kavramımızı da değiştiririz. İç çarpım, iki vektör arasındaki Öklid uzunluğunu ve açısını belirler.
Diğer uzunluk ve açı tanımları, yukarıda listelenen tüm özelliklere sahip olan iç ürünlerden kaynaklanmaktadır (bazı bağlamlarda pozitif tanımlı gerekliliğin gevşetilmesi dışında). Diğer içsel ürünler için yazmak yerine, karışıklığı önlemek için genellikle ⟨u, v⟩ yazarız.
Örnek :
“Zaman” olarak adlandıracağımız özel yönü olan dört boyutlu bir uzay düşünün. R4 üzerindeki Lorentzian iç çarpımı ⟨u, v⟩ = u1v1 + u2v2 + u3v3 – u4v4 ile verilir. Bu, Einstein’ın özel görelilik teorisinde merkezi bir öneme sahiptir. Özellikle, pozitif tanımlı olmadığını unutmayın. Sonuç olarak, koordinatları x, y, z ve t olan bir vektörün “kare uzunluğu” ∥v∥2 = x2 + y2 + z2 – t2’dir. ∥v∥2 ≤ 0 için, kaybolmayan v ile bile mümkün olduğuna dikkat edin! Bu iç ürünün fiziksel yorumu, iç ürünün işaretine bağlıdır; iki uzay zaman noktası X1: = (x1, y1, z1, t1), X2: = (x2, y2, z2, t2)
• X1, X2⟩ mesafesi ile ayrılmış ⟨X1, X2⟩ ≥ 0 ise • time by ⟨X1, X2⟩ ile ayrılmış X1, X2⟩ ≤ 0.
Özellikle, t2 – t1 zaman koordinatlarındaki fark, iki nokta arasındaki zaman değildir! (Bunu, iki nokta (r, θ1) ve (r, θ2) arasındaki mesafenin θ2 – θ1 olmadığı kutupsal koordinatları kullanarak karşılaştırın; koordinat farklılıkları mutlaka uzaklık değildir.)
Teorem 4.3.1 (Cauchy-Schwarz Eşitsizliği). İç çarpımı ⟨,⟩ olan sıfır olmayan tüm u ve v vektörleri için
| ⟨U, v⟩ | ≤1. ∥u∥ ∥v∥
En kolay kanıt, iki vektör arasındaki açının tanımını ve cosθ ≤ 1 olduğu gerçeğini kullanır. Ancak, tam anlamıyla konuşursak, Kosinüs Yasasını Rn’deki Öklid uzunluğuna uygulayabileceğimiz varsayımımızı kontrol etmedik. Ancak basit bir cebirsel kanıtı vardır.
Kanıt. Α beanyrealnumberve aşağıdaki pozitif, kuadratik polinomu düşünün α
0 ≤ ⟨u + αv, u + αv⟩ = ⟨u, u⟩ + 2α⟨u, v⟩ + α2⟨v, v⟩.
Herhangi bir ikinci dereceden aα2 + 2bα + c, α = – b olduğunda minimum c− b2 değerini aldığından,
a 2a ve eşitsizlik polinomun bu minimum değeri için bile geçerli olmalıdır.
⟨U, v⟩2 | ⟨u, v⟩ | 0≤⟨u, u⟩− ⟨v, v⟩ ⇔ ∥u∥∥v∥ ≤1.
Teorem (Üçgen Eşitsizliği). Herhangi bir u, v ∈ Rn ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥ için.
Kanıt.
∥u + v∥2 =
= u u + 2u v + v v
= ∥u∥2 + ∥v∥2 + 2∥u∥∥v∥cosθ
= (∥u∥ + ∥v∥) 2 + 2∥u∥∥v∥ (cosθ − 1)
≤ (∥u∥ + ∥v∥) 2.
(u + v) (u + v)
Yani, üçgen eşitsizliğinin sol tarafının karesi ≤ sağ tarafın karesidir. Her iki şeyin karesi pozitif olduğu için, eşitsizlik kare olmadan geçerli olur;
∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥
Üçgen eşitsizliği, u, v ve u + v’nin bir taslağını incelerken de “apaçık ortadadır”.
Örnek :
Böylece
1 4
3 2 a = 2 ve b = 3,
41
a a = b b = 1 + 22 +32 +42 = 30
⇒∥a∥ = √30 = ∥b∥ ve ∥a∥ + ∥b∥2 = (2√30) 2 = 120. 5
5 a + b = 5,
5
∥a + b∥2 = 52 +52 +52 +52 = 100 <120 = ∥a∥ + ∥b∥2
Üçgen eşitsizliğinin öngördüğü gibi.
Ayrıca a b = 1.4 + 2.3 + 3.2 + 4.1 = 20 <30. 30 = 30 = ∥a∥∥b∥ Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre hesaplanır.
Ödevcim Online, Lineer Cebir, Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır, Doğrusal Cebir, Lineer Cebir Ödevi, Lineer Cebir Yaptırma, Lineer Cebir Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Lineer Cebir danışmanlık, Lineer Cebir yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Cauchy-Schwarz eşitsizliği iki şeyin karesi pozitif Lineer Cebir Nedir? (14) – Yönler ve Büyüklükler - Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma n -Vektörler Uzayda Vektörler Yönler ve Büyüklükler