Gelişmiş Fonksiyonlar
Uçların öz-enerji terimlerini içeren arayüzün Hamiltoniyeni oluşturulduktan sonra, arayüzün geciktirilmiş ve gelişmiş fonksiyonlarını matris ters çevirme ile hesaplayabiliriz.
Bu durumda, sonsuz küçük karmaşık sabit η'nin sayısal olarak uygun değerini belirlemek için acil bir çözüm yoktur; bu parametrenin, metal uçların konumlarında şarj sürekliliği koşulu kullanılarak bir kendi kendine tutarlılık döngüsünün sonunda güncellenmesi gerekir.
Arayüzdeki ω frekanslı bir fonon modu için elektron-fonon eşleşmesi dahil edildiğinde, arayüzün kendi enerjisi aşağıdaki denklemin çözümüdür.
Σ>(E) için özdeş bir denklem vardır; bu durumda f(μ0, E), 1−f(μ0,E) ile değiştirilmelidir. Bu denklem yinelemeli olarak çözülmelidir, çünkü aynı terim, öz-enerji, sol ve sağ taraflarda görünür. Yinelemeli bir çözüm için olağan prosedür, verilen sıfır yaklaşımıyla başlamaktır.
İterasyonun tekrarlanması ve elde edilen sonucun yakınsaması kontrol edildiğinde, arayüzün gerçek öz enerjisi, yeterli sayıda iterasyondan sonra bulunacaktır.
Dengesiz Arayüzünün İşlevleri
Sistemin kendi enerjileri ve Green fonksiyonları bilindikten sonra, denge dışı fonksiyonlar matris çarpımı ile elde edilebilir.
G)(E) arayüzünün fonksiyonlarının hesaplanması, arayüz içindeki toplam yükün ve uçlardaki yerel yükün hesaplanmasına izin verir. Sistemin yük yoğunluğunun bir bölümünün enerji entegrasyonu iki bileşene ayrılmalıdır: ilk bileşen yalnızca geciktirilmiş ve gelişmiş Green fonksiyonlarına dayanır GR(E) ve GA(E), n1 değerini verecektir.
Burada E1, (μ0 − eV /2, μ0 + eV /2)'nin minimum değeridir. Ara aralıkta sistem içindeki yük, dengesizlik fonksiyonundan belirlenmelidir. GR gerçek eksenin altında analitik olmadığı ve GA yukarıda analitik olmadığı için, G< için enerji üzerinden entegrasyon gerçek eksen boyunca gerçekleştirilmelidir.
Burada E2, (μ0 − eV /2, μ0 + eV /2)'nin maksimum değeridir. Arayüzdeki toplam yük artık sabit olarak ayarlanabilir, böylece n1 + n2 = Nint olur. Arayüzdeki elektronların sayısı bilindiği için, entegrasyonda elde edilen sonuçtan η'nin sayısal değerini tahmin edebiliriz.
Ek olarak, elektrotlardaki orbitaller üzerindeki izdüşüm erişilebilir olduğundan, yük yoğunluğu yerel olarak hesaplanabilir. Bu, hesaplamada elde edilen tutarlılık düzeyinin tahmin edilmesini sağlar. Sistem tamamen yakınsanmışsa, uçlardaki yük yoğunluğunun ayrı hesaplamadan elde edilen yük yoğunluğuyla eşleşmesi gerekir. İki yük yoğunluğunun yeterli derecede eşleşmemesi durumunda, tüm döngü tekrarlanır.
Dengesiz Taşıma Özelliklerinin Hesaplanması
Hesaplama yeterince yakınsadığında, herhangi bir fiziksel özelliği, dengesiz Green fonksiyonlarının yardımıyla hesaplayabiliriz. Bununla birlikte, genellikle yalnızca gerçek taşıma miktarlarıyla ilgilenilmektedir. Uçlardan geçen akım verilir.
Bir süper hücre geometrisindeki sistem, A, B uçlarındaki denge koşullarına dayandığından, tüm sistem boyunca akımı hesaplayamayız, çünkü akım kaybolacaktır. Bu, μA = μB = μ0 koşulu altında belirtilen Landauer-Buttiker denkleminden doğrudan görülebilir.
Bununla birlikte, uygulanan Hartree potansiyeli nedeniyle kurşun arayüzlerinin her ikisi de denge dışıdır. Bu nedenle, dengesizlik formülasyonunu kullanarak akımı doğrudan kurşun arayüzlerinden hesaplamak gerekir.
Kendi kendine tutarlılık döngüsünün, A, B uçlarının kendilerinin dengede olmasını sağladığı göz önüne alındığında, arayüz yoluyla yük aktarımının tek kaynağı kurşun arayüzlerinde bulunmalıdır. Öncü arayüzler yalnızca birkaç (tipik olarak yaklaşık üç) katmandan oluştuğu için izin değerlendirilmesi kolaydır. Üç katmanlı bir arayüz için olacaktır.
Elektriksel iletkenlik
Direnç özdirenç formülü
Yarı iletkenlerin özellikleri
İletkenlik formülü
Özdirenç iletkenlik ilişkisi
İletkenlik Nedir
iletkenlik birimi ms/cm
Özdirenç nedir
Şu anda, arayüzlerin denge dışı taşıma özelliklerinin hesaplamalarının, birkaç istisna dışında, atomik yörünge benzeri temel kümeler ve atomik çekirdekler için psödopotansiyel yaklaşımlarla yapıldığına dikkat edilmelidir.
Bu yöntemlerin, örneğin çok katmanlı manyetik taşıma özelliklerinin hesaplanmasında o kadar da güvenilir olmadığı göz önüne alındığında, bu bölümde çizilen yaklaşımın daha fazlası için bir plan sağlayabileceği görülüyor.
Bu bölümde, tünel açma problemlerine yapılan uygulamalar açısından elektron taşıma teorisinin mevcut durumuna bir giriş yaptık. Açık sistemlerin işlevlerine dayanan teorik çerçevenin, dengesiz ortamlara pertürbatif uzantısı yoluyla, atomik ölçekte ilgili tüm fiziksel süreçleri, esasen ilk prensiplerden itibaren ele almak için uyarlanabilir olduğu gösterildi.
Mevcut uygulamalar, sıkı bağlayıcı şemalara veya yerel yörünge geometrisine dayanmaktadır; bu sınırlar dahilinde teori, elektron elektron veya elektron-fonon etkileşimlerinden kaynaklanan sonlu önyargı potansiyelleri ve esnek olmayan etkilerle başa çıkabilir. Çerçevenin, düzlem-dalga ve tam potansiyel yöntemlerini de kapsayacak şekilde genişletildiğinde, yüksek doğruluğun belirleyici olduğu her durumda, atomik ölçekte taşınım simülasyonlarının belkemiğini sağlayacağı öngörülebilir.
Düşük İletkenlikler
Pratik amaçlar için, son bölümde tanıtılan çerçeve, özellikle deneysel ortamın kendisi, taramalı sonda aletlerinde olduğu gibi, belirli süreçlerin olasılığını sınırlıyorsa, genellikle çok geniş bir referans çerçevesidir.
Orada, elektronların taşınmasındaki ana sınırlama, yüzey ile prob ucu arasındaki vakum bariyeridir. Bu durumda, elektron etkileşimlerinden dolayı tünelleme bariyeri boyunca iletkenlikteki değişiklikler küçük olarak kabul edilebilir ve pertürbasyon modellerinde rahatlıkla işlenebilir.
Daha sonra ana görev, iki elektrotun fiziksel özelliklerine dayalı olarak elektronların bariyer boyunca taşınmasını tanımlamaya ve yüksek çözünürlüklü taramalarda kimyasal bağlanmanın başlangıcı veya geçiş sırasında elektron-fonon uyarımları gibi ek etkileri dahil etmeye indirgenir.
Bu etkiler, sistemlerin manyetik özelliklerinden dolayı tünelleme akımındaki değişimlerle birlikte, deneylerdeki gözlemlerin büyük bir kısmını oluşturur. Şu anda, taramalı tünel açma deneylerinin neredeyse tüm simülasyonlarında dört teorik model kullanılmaktadır.
Artan teorik zorluk sırasına göre, bu modeller aşağıdaki gibidir:
• Sabit akım konturlarının yalnızca yüzeyin elektronik yapısından modellendiği Tersoff–Hamann yaklaşımı. Yaklaşım pertürbasyon teorisine ve ucun elektron durumları hakkında belirleyici bir varsayıma dayanmaktadır.
• Uç elektronik yapısının açıkça hesaplamaya dahil edildiği transfer Hamiltoniyeni veya yaklaşımı. Bu orijinal pertürbasyon modelidir; her elektron için iki kurşun arasındaki geçişinde yalnızca çok az yolun bulunduğunu varsayar.
• Saçılma veya Landauer–Bütiker yaklaşımı, elektronları ilk kristal durumlarından son kristal durumlarına tünellemenin çoklu yollarını içerir. Bunun dışında önceki yönteme eşdeğerdir.
• Elektron elektron ve elektron fonon saçılması gibi esnek olmayan etkileri de içeren veya dengesiz fonksiyon yaklaşımı.
Yüksek derecede iyonik yalıtkan uçlar ve yüzeyler için kimyasal kuvvetler, iyonlar arasındaki Coulomb etkileşimi tarafından yönetilir ve yük transfer süreçleri önemli bir rol oynamaz. Bu durumda, kimyasal kuvvetler, kabuk modeli (SM) gibi atomistik simülasyon (AS) ampirik yöntemleriyle iyi bir şekilde temsil edilebilir.
Bu teknikte atomlar, kütlesiz yüklü bir kabuğa yaylarla bağlanan nokta yüklerle temsil edilir. Bu kabuk, atomun polarizasyonunu simüle etmek için merkezi yükten bağımsız olarak hareket edebilir.
Çekirdekler ve kabuklar arasındaki etkileşimler, deneysel veya ab initio teknikleriyle mümkün olan en iyi karşılaştırmayı elde etmek için parametreleri uydurulmuş ampirik potansiyeller tarafından kontrol edilir.
Potansiyeller genellikle üç etkileşimden türetilir: (i) atomlar (çekirdekler ve kabuklar) arasındaki elektrostatik Coulomb etkileşimleri, (ii) van der Waals etkileşimleri ve (iii) kısa menzilli itici etkileşimler. i ve j atomları arasındaki yük-yük elektrostatik etkileşimi, dört terimin toplamı olarak verilir.
Burada i à= j, n atom sayısıdır, qi i atomunun kabuk yüküdür, Qi i atomunun çekirdek yüküdür, rsi i atomunun kabuğunun konum vektörüdür ve rci atomun konum vektörüdür atomun çekirdeği i. Kabuklar arasındaki Coulomb olmayan kısa menzilli etkileşimlere bir örnek, Buckingham iki cisim potansiyelleridir.
Burada C, A ve ρ, i ve j kabuklarının her bir çiftine özgü parametreleştirilmiş sabitlerdir ve i à= j. Bazı atomlar için kabuk olmadığını ve mesafeye yapılan tüm referansların bunun yerine çekirdeğin konumu için geçerli olduğunu unutmayın.
Denklemdeki ilk terim, çekici van der Waals etkileşimini ve ikinci terim, elektron bulutu örtüşmesinden kaynaklanan kısa menzilli itmeyi temsil eder. Kabuklar için, yay bağlantı çekirdeği ve kabuktaki elastik kuvvet nedeniyle etkileşime ek bir katkı da vardır.
Bu kuvvet kδri’ye eşittir; burada k, bir çekirdek-kabuk çifti arasındaki parametreleştirilmiş yay sabitidir ve δri, i atomu için çekirdek ve kabuk merkezleri arasındaki mesafedir. Çekirdekler ve kabuklar arasındaki yay etkileşimi verilmiştir.
Bu daha sonra sistemdeki gevşek atomların denge geometrisini bulmak için çekirdek ve kabuk konumlarına göre en aza indirilebilir. Genellikle uç-yüzey birim hücresi içindeki belirli atomlar, makroskobik ve mikroskobik özellikler arasındaki arayüzü temsil etmek için donmuş halde kalır.
Sonsuz sistemler için birim hücre, atomik etkileşimler istenen doğruluğa yaklaşana kadar sistem kafes vektörlerine göre uzay boyunca tekrarlanır. Toplu numuneler için hücre üç boyutta tekrarlanır, ancak yüzeyler için iki olasılık vardır. Yüzeyleri hesaplamanın bir yöntemi, sonsuz kütle sistemini kesmek ve iki boyutta sonsuz olan ancak üçüncü boyutta büyük bir vakum boşluğu ile ayrılan bir dizi levha yaratmaktır.
Boşluk, levhalar arasında önemli bir etkileşim olmayacak kadar büyükse, bu levhalar iyi bir yüzey modelidir. Yüzeyleri hesaplamak için başka bir yöntem, hücreyi iki boyutta tekrarlamak ve doğrudan gerçek bir sonsuz yüzey oluşturmaktır. Elektrostatik etkileşimin sonsuz bir sistem için koşullu olarak yakınsadığına ve bu katkıyı hesaplamak için Ewald toplamı gibi yöntemlerin kullanılması gerektiğine dikkat edin.
Pratik olarak, AS hesaplamaları çok ucuzdur ve yüzlerce atom bir masaüstü bilgisayarda verimli bir şekilde simüle edilebilir. Bununla birlikte, parametrelendirmenin doğası, etkileşimlerin bir şekilde esnek olamayabileceği anlamına gelir ve bunları tasarımlarının ötesinde uygularken dikkatli olunmalıdır. Örneğin, bir malzemenin yığın özellikleri için mükemmel sonuçlar veren parametrelerin, yüzeyine uygulandığında sefil bir şekilde başarısız olduğu sıklıkla görülen bir durumdur.
Başlangıçtan Modellemesi
STM’de her zaman iletken veya yarı iletken malzemelerle ilgileniriz ve kimyasal kuvvetler herhangi bir basit AS yönteminde temsil edilemez.
İletken yüzeyler veya ipuçları üzerinde çalışıyorsak, aynı şey SFM için de geçerlidir. Bu durumda, bu güçlü kovalent veya metalik sistemlerdeki kimyasal bağları ve etkileşimleri doğru bir şekilde yansıtmak için tam elektronik yük yoğunluğunu temsil eden daha karmaşık teorik yöntemler gerekir. Ara yarı ampirik yöntemler mevcut olmasına rağmen, genellikle bu rejimde yalnızca birinci prensip teknikleri güvenilir bir şekilde uygulanabilir.
Burada H, N parçacıktan oluşan bir kuantum-mekanik sistemin Hamiltoniyeni, Ψi onun i. dalga fonksiyonu ve Ei, i. durumun enerji özdeğeridir. Parçacık koordinatları (1, 2, …, N ) genellikle bir dönüş ve bir konum koordinatı ile ilişkilendirilir. Göreli olmayan hızlara sahip elektronik sistemler için, bir N-elektron sistemi için Hamiltoniyen gerekir.
Denklemin ilk terimi elektron kinetik enerjisini, ikinci terim elektron-elektron Coulomb etkileşimlerini ve üçüncü terim çekirdekler tarafından üretilen kulomb potansiyelini temsil eder. Bu denklem aynı zamanda çekirdeklerin elektron hareketine göre fiilen durağan olduğunu varsayar (Born-Oppenheimer yaklaşımı).
SPM’ye yönelik çoğu teorik yaklaşım, bu sorunu çözmek için yoğunluk fonksiyonel teorisini (DFT) uygular. Elektron yoğunluğunun veya çok elektronlu dalga fonksiyonunun yaklaşımlarını belirlemeye çalışan diğer yöntemlerin (Hartree-Fock gibi) aksine, DFT elektron yoğunluğundan herhangi bir temel durum özelliğini “kesinlikle” hesaplayabilir.
Elektron gaz sisteminin temel durumunu bir dış potansiyel v(r) içinde ele alırsak, aşağıdaki yoğunluk fonksiyonel teoremi tam olarak geçerlidir: Elektron yük yoğunluğunun ρ(() evrensel bir fonksiyonel F[ρ(r)]’si vardır. r) Elektronik sistemin toplam enerjisini tanımlar.
Dış potansiyelde gerçek elektron yük yoğunluğunu bulmak için sistemin enerjisi minimize edilebilir. Bu teori, dejenere olmayan bir temel durum için kesindir.
Maalesef, fonksiyonel F[ρ(r)]’nin tam bir genel biçimi henüz bulunamamıştır, bu nedenle yerel yoğunluk yaklaşımı (LDA) gibi yaklaşımlar kullanılmalıdır. Elektronik temel durum çözümünden atomlar üzerindeki kuvvetler hesaplanabilir ve önceden belirlenmiş bir kuvvete veya enerjisel yakınsama sınırına ulaşılana kadar tüm atomik konfigürasyonu gevşetmek için kullanılabilir.
Bu tür hesaplamaların kurulumu, AS simülasyonununkiyle hemen hemen aynıdır, ancak artık hiçbir parametrelendirme gerekmez ve doğru hesaplamalar, yalnızca ilgili elementlerin atom numaralarını gerektirir. Bununla birlikte, bu simülasyonlar, hesaplama açısından AS yöntemlerinden çok daha pahalıdır ve birkaç yüz atomun hesaplanması süper bilgisayar kaynakları gerektirir.
Uygulamada, doğruluğu etkilemeden verimliliği artırmak için bazı ilave yaklaşımlar ve parametrelendirmeler yapılabilir, ancak tam ilk prensipler SPM görüntü simülasyonu hala çok kaynak tüketiyor.
