Matrisler – Belirleyiciler (9) – Tersin Belirleyicisi – Matris Sistemleri – Matrisler Ödev Yaptırma

Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

Kanıt

Tanım olarak,

det M = 􏰞 sgn (σ) m1σ (1) m2σ (2) · · · mnσ (n).

Herhangi bir permütasyon σ için, σ’yu geri alan benzersiz bir ters permütasyon σ − 1 vardır. Eğer σ i → j gönderirse, σ − 1 j → i gönderir. Bir permütasyon için iki satırlı gösterimde, bu sadece permütasyonu ters çevirmeye karşılık gelir. 􏰏1 2 3􏰐 −1 örneği için, σ = 2 3 1 ise permütasyonu ters çevirip sütunları sıraya koyarak σ’yu bulabiliriz

O-1= (2 1, 3 2 1 3) = ( 3 1, 2 1, 3 2 )

Herhangi bir permütasyon, transpozisyonlarla oluşturulabileceğinden, σ’yu oluşturmak için kullanılan transpozisyonların her birini geri alarak bir σ permütasyonunun tersini de bulabilirsiniz; bu, σ ve σ − 1’i oluşturmak için aynı sayıda transpozisyonun kullanılabileceğini gösterir. Özellikle, sgn σ = sgn σ − 1.

Şekil 8.7: Transpozeler determinantı değiştirmeden bırakır.

Daha sonra yukarıdaki formüller halinde aşağıdaki gibi yazabiliriz:

Sondan ikinci eşitlik, benzersiz bir ters permütasyonun varlığından kaynaklanır: permütasyonların toplamı, permütasyonların tüm terslerinin toplamıyla aynıdır (inceleme problemi 3’e bakınız). Nihai eşitlik, devriğin tanımı gereğidir.

Örnek: Bundan dolayı, küçükler tarafından genişletmenin sütunlar üzerinde de çalıştığını görüyoruz.

Tersin Belirleyicisi

M ve N n × n matrisler olsun. Daha önce det (MN) = detM detN ve detI = 1 olduğunu göstermiştik.
O halde 1 = detI = det (MM − 1) = detM detM − 1. Bunun gibi bizde:

Teorem: detM − 1 = 1 / det M

Bir Matrisin Eklentisi

2 × 2 matris için hatırlayın

Veya daha dikkatli bir şekilde:

detM = m1m2 – m2m1 ̸ = 0 olduğu sürece. Yukarıda görünen −m2 m1 matrisi, M’nin eşleniği olarak adlandırılan özel bir matristir. N × n’lik bir matris için eşlenik tanımlayalım.

M’nin mij girişine karşılık gelen M’nin kofaktörü, mij ve (−1) i + j ile ilişkili minörün çarpımıdır. Bu yazılı kofaktördür (mij).

Tanım M = (mij) bir kare matris için, bitişik matris adjM şu şekilde verilir:

Misal
adj M = (kofaktör (mij)) T.

M adj M çarpımını hesaplayalım. Herhangi bir N matrisi için, MN’nin i, j girişi, M’nin i’inci satırının ve N’nin j’inci sütununun iç çarpımı alınarak verilir. M’nin i’inci satırının ve adj M’nin i’inci sütununun iç çarpımına dikkat edin. i’inci satırdaki det M’nin küçükleri tarafından yapılan genişletmedir. Ayrıca, M’nin i’inci satırının ve j ̸ = i olan adj M’nin j’inci sütununun iç çarpımının, M’nin küçükler tarafından genişletilmesiyle aynı, ancak j’inci satırın i’inci satırla değiştirildiğine dikkat edin. Yinelenen bir satıra sahip herhangi bir matrisin determinantı sıfır olduğundan, bu nokta çarpımlar da sıfırdır.

İki matrisin çarpımının i, j girişinin, birinci satırın i’inci satırının ikinci sütunun j. Sütununun iç çarpımı olduğunu biliyoruz. Sonra:

M adjM = (detM) I

Böylece, detM ̸ = 0 olduğunda, ek M − 1 için açık bir formül verir.
Teorem: M için det M ̸ = 0 olan bir kare matris (eşdeğer olarak, M tersine çevrilebilirse), o zaman

M − 1 = 1 adjM det M

Eşleşen Matris

Misal:
Önceki örnekle devam edersek, Şimdi, çarpın:

Ters matrisi bulmaya yönelik bu sürece bazen Cramer Kuralı denir.

Uygulama: Paralel Yüzlü Hacim

R3’te u, v, w şeklinde üç vektör verildiğinde, üç vektör tarafından belirlenen paralel yüzlü, Şekil 8.8’de gösterildiği gibi kenarları u, v ve w’ye paralel olan “sıkıştırılmış” kutudur.

Muhtemelen bir matematik dersinde bu nesnenin hacminin | u (v × w) | olduğunu öğrenmişsinizdir. Bu, sütunları u, v, w olan matrisin küçükleri tarafından genişletilmesiyle aynıdır.

Sonra: Hacim = 􏰉􏰉det􏰁u v w􏰂􏰉􏰉

Paralel yüzlü

Sorunları İncele

Okuma Problemleri
Sıfır dizisi
3 × 3 belirleyici
Üçgen belirleyiciler
Bir sütunda genişleyen
Küçükler ve kofaktörler

1. Küçükler tarafından genişleterek determinantı bulun.

2. M kare matris olmasa bile, hem MMT hem de MT M karedir. Tüm M matrisleri için det (MMT) = det (MT M) olduğu doğru mu? Tr (MMT) = tr (MT M) nasıl olur?

3. σ − 1, σ’nun ters permütasyonunu göstersin. F: {1, 2, 3, 4} → R. fonksiyonunu varsayalım.Aşağıdaki iki toplamı açıkça yazın:
􏰞f􏰁σ (s) 􏰂 ve 􏰞f􏰁σ − 1 (s) 􏰂. σσ

Ne gözlemliyorsunuz? Şimdi, aşağıdaki eşitliğin neden 􏰞F (σ) = 􏰞F (σ − 1), σσ olduğunu gösteren kısa bir açıklama yazın.
F fonksiyonunun etki alanı, n nesnenin tüm permütasyonlarının kümesidir.

4. M = LU’nun bir LU ayrıştırması olduğunu varsayalım. Bu durumda detM’yi verimli bir şekilde nasıl hesaplayacağınızı açıklayın. Bu ayrışma, M’nin tersinir olup olmadığını kolayca görmenizi nasıl sağlar?

5. Bilgisayar biliminde, bir algoritmanın karmaşıklığı (kabaca) belirli bir işlemin gerçekleştirilme sayısının sayılmasıyla hesaplanır. Herhangi iki sayıyı eklemenin veya çıkarmanın bir saniye sürdüğünü ve iki sayıyı çarpmanın m saniye sürdüğünü varsayalım. Daha sonra, örneğin, 2 · 6−5’i yazmak + m saniye alır.

(a) Genel bir 2 × 2 matrisinin determinantını hesaplamak için kaç tane toplama ve çarpma gerekir?
(b) Permütasyonların toplamı olarak determinantın tanımını kullanarak genel bir n × n matrisin determinantını hesaplamak için gereken toplama ve çarpma sayısı için bir formül yazın. Bir permütasyon işaretiyle bulmanın ve çarpmanın ücretsiz olduğunu varsayalım.
(c) Genel bir 3 × 3 matrisinin determinantını küçükler tarafından genişletmeyi kullanarak hesaplamak için kaç toplama ve çarpma gerekir? M = 2a olduğunu varsayarsak, bu tanımdan belirleyiciyi hesaplamaktan daha hızlı mıdır?

Alt Uzaylar ve Yayılma Kümeleri

Vektör uzaylarını daha dikkatli incelemenin ve bazı temel sorulara dönmenin zamanı geldi:

1. Alt uzaylar: Bir vektör uzayının bir alt kümesi ne zaman bir vektör uzayıdır? (Bu, bir alt uzay kavramıdır.)
2. Doğrusal Bağımsızlık: Bir vektör koleksiyonu verildiğinde, bunların bağımsız olup olmadıklarını anlamanın bir yolu var mı, yoksa birinin diğerlerinin “doğrusal kombinasyonu” mu?
3. Boyut: Bir vektör uzayının ne kadar “büyük” olduğuna dair tutarlı bir tanım var mı?
4. Temel: Vektörleri nasıl etiketleriz? Herhangi bir vektörü, bazı temel vektörlerin toplamı olarak yazabilir miyiz? Bakış açımızı bir şekilde etiketlenmiş vektörlerden başka bir şekilde etiketlenmiş vektörlere nasıl değiştirebiliriz?

tercüman tercüman

Biyografinin Tamamını Gör

Alt Uzaylar ve Yayılma Kümeleri Bir Matrisin Eklentisi Eşleşen Matris Kanıt M kare matris Matrisler – Belirleyiciler 9 – Tersin Belirleyicisi – Matris Sistemleri – Matrisler Ödev Yaptırma Paralel Yüzlü Hacim Tersin Belirleyicisi Vektörleri nasıl etiketleriz

Matrisler – Belirleyiciler (9) – Tersin Belirleyicisi – Matris Sistemleri – Matrisler Ödev Yaptırma