Matrisler (28) – Özet – Matrisler Ödev Yaptırma
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Özet
Doğrusal bir dönüşümün, ancak ve ancak önyargılıysa (yani, bire bir ve üzerine) bir tersi olduğunu gördük. Doğrusal dönüşümlerin matrislerle temsil edilebileceğini de biliyoruz ve bir matrisin tersinir olup olmadığını anlamanın birçok yolunu gördük. İşte bunların bir listesi:
Teorem : (Tersine çevrilebilirlik). V n boyutlu bir vektör uzayı olsun ve L: V → V’nin bazı temelde M matrisiyle doğrusal bir dönüşüm olduğunu varsayalım. O halde M bir n × n matristir ve aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
- Eğer v, Rn’deki herhangi bir vektörse, Mx = v sisteminin tam olarak bir çözümü vardır.
- M matrisi, kimlik matrisine satır eşdeğeridir.
- Eğer v, V’deki herhangi bir vektörse, L (x) = v’nin tam olarak bir çözümü vardır.
- Matris M tersine çevrilebilir.
- Homojen sistem Mx = 0 sıfır olmayan çözümlere sahip değildir.
- M’nin determinantı 0’a eşit değildir.
- Transpoze matris MT tersinirdir.
- Matris M, özdeğer olarak 0’a sahip değildir.
- Doğrusal dönüşüm L’nin öz değeri olarak 0 yoktur.
- Karakteristik polinom det (λI – M) kök olarak 0’a sahip değildir. M span Rn’nin sütunları (veya satırları).
- M’nin sütunları (veya satırları) doğrusal olarak bağımsızdır.
- M’nin sütunları (veya satırları) Rn için bir temel oluşturur.
- Doğrusal dönüşüm L enjekte edici.
- Doğrusal dönüşüm L, örtendir.
- Doğrusal dönüşüm L önyargılıdır.
Not: M’nin n × n’lik bir matris olması önemlidir! M kare değilse, tersine çevrilemez ve yukarıdaki ifadelerin çoğu artık birbirine eşdeğer değildir.
Kanıt : Bu denkliklerin çoğu diğer bölümlerde daha önce kanıtlanmıştır. Bazıları gözden geçirme soruları veya örnek son sorular olarak bırakıldı. Gerisi okuyucu için alıştırma olarak bırakılmıştır.
Sorunları İncele
- Okuma Problemleri
- Çekirdeğin unsurları
- Sütun alanı için temel
- Çekirdek için temel
- Çekirdek ve aralık için temel
- Ortoonomik aralık temeli
- Orthonomal kernel temeli
- Ortoonomik çekirdek ve aralık tabanları
- Orthonomal kernel, range ve row space üsleri Rank
1. Rasgele bir matris M: Rm → Rn düşünün.
(a) Yalnızca x tüm sütunlara dikse Mx = 0 olduğunu iddia edin
MT.
(b) Mx = 0 olduğunu iddia edin, eğer sadece x tüm lineerlere dik ise
M T sütunlarının kombinasyonları.
(c) ker M’nin M T koşusuna dik olduğunu iddia edin.
(d) Tartışma Daha fazlaRm = kerM⊕ranMT.
(e) Benzer şekilde, Rn = ker M T ⊕’nin M olduğunu iddia edin.
Son iki bölümdeki denklemler, doğrusal bir dönüşümün M: Rm → Rn’nin hem alanının hem de hedefinin ortogonal ayrışmalarını nasıl belirlediğini açıklar. Bu sonuç bazen mütevazı bir adla anılır Doğrusal Cebirin Temel Teoremi.
2. L: V → W doğrusal bir dönüşüm olsun. KerL = {0V} olduğunu ancak ve ancak L bire bir ise gösterin:
(a) (Önemsiz çekirdek ⇒ enjektifi.) Ker L = {0V} olduğunu varsayalım. L’nin bire bir olduğunu gösterin. İspat yöntemlerini düşünün – çelişkili bir ispat mı, tümevarım yoluyla bir ispat mı, yoksa doğrudan bir kanıt mı en uygun görünüyor?
(b) (Enjekte edici – önemsiz çekirdek.) Şimdi, L’nin bire bir olduğunu varsayalım. KerL = {0V} olduğunu gösterin. Yani, 0V’nin kerL’de olduğunu gösterin ve ardından ker L’de başka vektör olmadığını gösterin.
3. {v1, …, vn} V ve L için bir temel olsun: V → W doğrusal bir fonksiyondur. Nedenini dikkatlice açıklayın
L (V) = aralık {Lv1,. . . , Lvn}.
4. Standart temelde matrisi M satır olan L: R4 → R3 varsayalım
aşağıdaki matrise eşdeğer:
(a) Orijinal matris M’nin ilk üç sütununun neden oluştuğunu açıklayın
L (R4) için bir temel.
(b) Aşağıdakiler için bir algoritma (yani, genel bir prosedür) bulun ve açıklayın.
L: Rn → Rm olduğunda L (Rn) için bir temel hesaplama.
(c) L: R4 → R3, matrisi M standart temelde olan doğrusal dönüşüm olduğunda, L (R4) için bir temel bulmak için algoritmanızı kullanın.
5. Talep:
{V1, …, vn} kerL için bir temel ise, burada L: V → W, o zaman
bu kümeyi V için bir temele genişletmek her zaman mümkündür.
6. Olmayan ile basit ama önemsiz olmayan doğrusal dönüşümleri seçin.
önemsiz çekirdekler ve bu dönüşümler için yukarıdaki iddiayı doğrulayın. Pn (x), x cinsinden n’den küçük veya eşit derecedeki polinomların uzayı olsun ve d / dx türev operatörünü düşünün: Pn (x) → Pn (x).
Bu işlecin çekirdeğinin boyutunu ve görüntüsünü bulun. Hedef alan Pn − 1 (x) veya Pn + 1 (x) olarak değiştirilirse ne olur?
Şimdi, x ve y’de ikinci derece veya daha düşük polinomların uzayı olan P2 (x, y) ‘yi düşünün. (Derecenin nasıl sayıldığını hatırlayın; örneğin, xy derece iki, y derece bir ve x2y derece üçtür.)
L = a / ax + a / ay: P2 (x, y) → P2 (x, y).
Örneğin, L (xy) = ∂ (xy) + ∂ (xy) = y + x.) ∂x ∂y için taban bul
L çekirdeği Bu durumda boyut formülünü doğrulayın.
7. Bir vektör uzayı sonsuz boyutluysa, boyut formülünün parçalayabileceği bazı yolları gösterelim.
(a) R [x], x değişkenindeki tüm polinomların vektör uzayı olsun
gerçek katsayılarla. D = d olağan türev operatörü olsun. dx
D’nin aralığının R [x] olduğunu gösterin. Ker D nedir? İpucu: {xn | n ∈ N}.
(b) L: R [x] → R [x] doğrusal harita olsun
L (p (x)) = xp (x).
M’nin çekirdeği ve aralığı nedir?
(c) V sonsuz boyutlu bir vektör uzayı ve L: V → V doğrusal bir operatör olsun. Dim ker L <∞ olduğunu varsayalım, dim L (V) ‘nin sonsuz olduğunu gösterin. Ayrıca, dim L (V) <∞ olduğunda, dim ker L’nin sonsuz olduğunu gösterin.
8. Bu soru, “Rastgele bir bit vektör seçersem, diğer bazı vektörlerin aralığında olma olasılığı nedir?” Sorusuna cevap verecektir.
ben. B3’te k bit vektörlerinin bir S koleksiyonu verildiğinde, sütunları S’deki vektörler olan bit matrisini M düşünün. Yalnızca ve ancak M’nin çekirdeği önemsiz ise, yani kerM = {v kümesi ise S’nin doğrusal olarak bağımsız olduğunu gösterin. ∈ B3 | Mv = 0} sadece sıfır vektörünü içerir.
ii. B3’te rastgele bir bit vektörü v seçmek için bir yöntem verin. Varsayalım S, B3’te doğrusal olarak bağımsız 2 bit vektörünün bir koleksiyonudur. S ∪ {v} ‘nin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını nasıl anlarız? S ∪ {v} ‘nin doğrusal olarak bağımsız olmasının olası olduğunu mu düşünüyorsunuz? Sebebinizi açıklayın.
iii. Eğer P, 3 × 3 bitlik bir matrisin karakteristik polinomuysa, P’nin derecesi ne olmalıdır? Her katsayının 0 veya 1 olması gerektiğine göre, P için kaç olasılık vardır? Bu olası karakteristik polinomlardan kaç tanesinde kök olarak 0 bulunur? M rastgele seçilmiş 3 × 3 bitlik bir matris ise, özdeğeri olarak 0 olma olasılığı nedir? (Her bir karakteristik polinomu eşit olasılığa getirecek şekilde rastgele bir M matrisi seçtiğinizi varsayın.) M sütunlarının B3 için bir temel oluşturma olasılığı nedir? (İpucu: M’nin çekirdeği ile özdeğerleri arasındaki ilişki nedir?)
Not: Aynı soruyu gerçek vektörler için de sorabiliriz: Rastgele bir gerçek vektör seçersem, diğer bazı vektörlerin aralığında olma olasılığı nedir? Aslında, rastgele bir gerçek vektör seçmenin makul bir yolunu bir kez yazdığımızda, Rn’de rastgele bir gerçek vektör seçersem, bunun n – 1 diğer gerçek vektörlerin aralığında olma olasılığı sıfırdır!
Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.
Çekirdeğin unsurları Çekirdek için temel Çekirdek ve aralık için temel Matrisler (28) – Özet – Matrisler Ödev Yaptırma Okuma Problemleri Orthonomal kernel Orthonomal kernel temeli Ortoonomik aralık temeli Ortoonomik çekirdek ve aralık tabanları Standart temelde matris Sütun alanı için temel