Bir grafik, özdeğerleri grafiğin yapısal özelliklerini yansıtan birkaç matrisle ilişkilendirilebilir. Bitişiklik matrisi, Laplacian ve normalleştirilmiş Laplacian, spektral çalışmaların ana odak noktasıdır. Spektrum bir grafiği analiz etmek için nasıl kullanılabilir?

Özellikle aşağıdaki sorular ilginizi çekecektir:

– Spektrum bize alt grafikler hakkında ne söyleyebilir? Belirli alt çizgelerin varlığını ya da yokluğunu spektruma bakarak kanıtlayabilir miyiz?
– Belirli özdeğerler, çap, izoperimetrik sayı veya kromatik sayı gibi diğer genel istatistiklerle (grafik parametreleri olarak da adlandırılır) ilişkilendirilebilir mi?
– Spektrum grafiklerin sınıflandırılmasında nasıl yardımcı olabilir?

Bu bölüm şu şekilde düzenlenmiştir: İlk bölümde, lineer cebirden elde edilen gerçekleri gözden geçireceğiz ve grafik spektrumların bazı temel özelliklerine işaret edeceğiz. Bir sonraki bölümde, spektrumu hesaplamak için bildiğimiz yöntemleri özetleyeceğiz. Takip eden bölümlerde, yukarıdaki sorulara ilişkin bazı cevaplar ve fikirler veriyoruz.

Temel Özellikler

Farklı spektrumları tanımlıyoruz ve bazı temel özelliklere işaret ediyoruz. Bitişiklik spektrumundan daha fazlasını dikkate almanın neden mantıklı olduğunu gösteriyoruz ve bazı temel grafik sınıfları için üç spektrumu listeliyoruz.

Lineer Cebirin Temelleri

M = (mi,j ) ∈ n×n, girişleri karmaşık sayılar olan bir n × n matris olsun. Sıfır olmayan bir x ∈ n vektörü, x ve λ denklemi sağlıyorsa, M’nin özdeğeri λ ∈ ile karşılık gelen bir özvektörüdür.

Her λ ∈, M0n = λ0n için bir çözüm olduğundan, 0n vektörü olası özvektörler kümesinden çıkarılır. Denklemin sıfır olmayan bir çözümü vardır ancak ve ancak rank(M − λIn) < n, bu det(M − λIn) = 0’a eşittir. Dolayısıyla M’nin özdeğerlerini pM (λ) polinomunun kökleri olarak karakterize edebiliriz. := det(M − λIn).

Bu karakteristik polinom pM, bazı rastgele tekil olmayan Q matrisleri için M’nin yerine Q−1MQ konulursa değişmez. Dolayısıyla M ve Q−1MQ aynı özdeğerlere sahiptir. M’nin spektrumu, M’nin tüm özdeğerlerinin çoklu kümesi olarak tanımlanır; burada bir özdeğer λ’nın çokluğu, pM’nin bir kökü olarak onun (cebirsel) çokluğudur.

Bundan sonra, M’nin gerçek değerli girişleri olan simetrik bir matris olduğunu, yani M = M⊤ olduğunu varsayacağız. M ′ := Q−1 M Q’nun köşegen formuna sahip ve Q−1 = Q⊤ olacak şekilde tekil olmayan bir Q matrisinin var olduğu gösterilebilir. Açıkça, n’nin standart tabanından gelen her ei vektörü, M’nin bir özvektörüdür ve λi := m’i,i, M’ köşegenindeki i’inci giriş, karşılık gelen özdeğerdir.

Sonuç olarak, {v1,…,vn}, n’nin bir temelidir ve bir özdeğer olarak λi’nin çokluğu, karşılık gelen lineer bağımsız özvektörler kümesinin maksimum kardinalitesine eşittir. Özetle, aşağıdaki gerçekleri gözlemledik.

1. M, λ1 ≤ … ≤ λn gerçek özdeğerlerine ve n [Spektral Teorem]’in temelini oluşturan n ortonormal özvektöre sahiptir,
2. özdeğer olarak λi’nin çokluğu := karakteristik polinom det(M − λIn )’nin kökü olarak λi’nin çokluğu = λi’ye karşılık gelen doğrusal olarak bağımsız maksimum özvektörler kümesinin kardinalitesi,
3. Q⊤ = Q ile bir matrisQ vardır.

Spektral analiz Nedir
Spektral analiz nasıl yapılır
Spektral Analiz Cihazı
Spektral Ne Demek
Spectral analysis
Spektral ANALİZ ders notları
Spektrometre

Grafiğin Spektrumu

Etiketli v1, . . . , vn, komşuluk matrisini A = (ai,j ) olarak tanımlarız. Vi tepe noktasında başlayan ve vj tepe noktasında sona eren yay sayısına eşittir ((vi, vi) ∈ E döngüleri için ai,i’yi 1 yerine 2 olarak tanımlamak bazen yararlıdır). G’nin spektrumu, G’nin komşuluk matrisinin spektrumudur.

A’nın etiketleme sırasına bağlı olmasına rağmen, spektrumun buna bağlı olmadığına dikkat edin, çünkü vi ve vj köşelerinin etiketlerinin değiştirilmesi, det(A)’yı etkilemeyen A’daki i satırının j satırıyla ve i sütununun j sütunuyla değiştirilmesine karşılık gelir. ne de det(A − λIn ). Bu bölümün geri kalanında V’yi bir dizi etiketle tanımlayacağız, yani V = {1, . . . , N}. Ayrıca, döngü içermeyen basit yönsüz grafiklere odaklanacağız.

Bu nedenle, herhangi bir G = (V,E) grafiği, aksi açıkça belirtilmedikçe, basit, döngüsüz ve yönsüz olarak kabul edilecektir. Dolayısıyla komşuluk matrisi A (neredeyse her zaman) n özdeğer λi gerçek spektrumuna sahip simetrik bir 0/1 matrisi olacaktır, burada kolaylık olması için λ1 ≤λ2 ≤…≤λn olduğunu varsayıyoruz.

Gösterim. Hem spektrum(A) hem de spektrum(G)’yi bir G grafiğine karşılık gelen komşuluk matrisi A’nın özdeğerlerini belirtmek için kullanacağız. Ayrıca, bir grafiğin spektrumundan bahsederken, komşuluk spektrumunu her zaman akılda olmalıdır (aksi belirtilmedikçe).

Spektral Teorem, kendimizi gerçek değerli ağırlık fonksiyonlarını dikkate almakla sınırlayabilmemizi sağlar. Ayrıca, maksimum ağırlığın negatif olmadığını varsayabiliriz (eğer maks {ω(i); i ∈ V } < 0 ise tüm i ∈ V için ω(i) < 0 ve yerine -ω düşünebiliriz ω).

-1’in bir özdeğer olduğu sonucuna varabiliriz. Benzer şekilde, tüm köşelere 1 ağırlığı atayarak, 2’nin üçgenin spektrumunda olduğunu kontrol edebiliriz. Başka bir örnek için, 2’nin 5 köşedeki bir yıldızın özdeğeri olduğunu kanıtlayan bir göz atın.

λi ∈ spektrumu(G) için ω sıfır olmayan bir ağırlık fonksiyonu olsun. ω özdeş sıfır olmadığından, ω|V (G1) veya ω|V (G2) özdeş sıfır olmamalıdır ve dolayısıyla G1 veya G2’de λi için bir ağırlık fonksiyonudur.

Öte yandan, eğer ω j = 1 (veya j = 2) için λ ∈ spektrum(Gj ) için bir ağırlık fonksiyonu ise, o zaman tüm i ∈ V \ V (Gj) için ω(i) := 0 tanımlayarak ω’yi genişletmek , G üzerinde λ için sıfır olmayan bir ağırlık fonksiyonu verir.

ω, G üzerinde λ için bir ağırlık fonksiyonu olsun. V1,V2, V’nin bölüm sınıflarını göstersin.

Bu iddianın ispatı için karmaşık ağırlıklar kullanacağız. Tüm i ∈ {1,…,n−1} için döngünün kenarlarının {1,n} ve {i,i+1} olduğunu varsayalım. Her k ∈ {1,…,n} için τk := 0 birliğin n’inci kökü olsun ve ω(j) := τj−1 koyalım. k (Burada i, i2 = −1 ile i karmaşık sayısını gösterir ve bir tepe noktası değildir.)

Bitişiklik spektrumuyla ilgili iki sonuçtan daha söz ediyoruz: λn = ∆ ancak ve ancak G’nin bir ∆-düzenli bileşeni varsa gösterilebilir.

G’nin en küçük özdeğeri için λ1 ≥ −λn alt sınırı kanıtlanabilir, burada eşitlik ancak ve ancak G’nin en büyük özdeğeri λn’ye eşit olan iki parçalı bir bileşeni varsa geçerlidir. Tam iki parçalı Kn1,n2 grafiğinin ve tam Kn grafiğinin spektrumlarını belirlemek gerekir.

The post Spektral Analiz first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).