Analiz için bir grafiğin spektrumunu kullanmak için önce onu (veya parçalarını) hesaplamalıyız. Hangi yöntemler mevcuttur? Çalışma süreleri ve diğer özellikleri nelerdir?

Küçük Yoğun Matrislerin Tüm Spektrumunu Hesaplama Yöntemleri

Bir M matrisinin spektrumunun verimli bir şekilde nasıl hesaplanacağı hiç de açık değildir, çünkü det(M − λIn) olarak karakteristik polinomun basit bir değerlendirmesi O(n!) adımlarını alır.

Daha iyi bir strateji, bir grafik matrisi olarak M’nin gerçek ve (yönsüz grafikler durumunda) simetrik olduğu ve bu nedenle bir M → P-1MP benzerlik dönüşümü aracılığıyla köşegen bir matrise dönüştürülebileceği gerçeğini kullanmaktır.

Özvektörlerle değil, yalnızca özdeğerlerle ilgileniyorsak, M matrisini, köşegenin altındaki (veya üstündeki) tüm elemanlar sıfıra eşit olacak şekilde üçgen olacak şekilde dönüştürmek yeterlidir. Bu durumda köşegen elemanlar zaten özdeğerlerdir.

Köşegenleştirme stratejisini uygulamak için iki aşamalı bir teknik vardır. İlk aşamada, P’yi (ve P-1’i), belirli bir köşegen dışı öğeyi veya tüm belirli bir satırı veya sütunu sıfırlamak için tasarlanmış belirli “atomik” Pi dönüşümlerinin bir ürünü olarak yinelemeli olarak yaklaştırıyoruz.

M1 = (mi,j) := P ̃−1MP ̃ üç köşegen forma sahip olacak şekilde (yani |i − j| > 1 olduğunda mi,j = 0) bir P ̃ matrisi ile O(n3) adımlarından sonra duruyoruz. Şimdi, bir QL- (veya QR-) ayrışımı gerçekleştirdiğimiz ikinci aşama başlıyor: temel fikir, herhangi bir gerçek M’ matrisinin, Q ortogonal olacak şekilde M’ = QL (veya QR) biçiminde ayrıştırılabileceğidir ( yani, QT = Q−1) ve L (R) alt (üst) üçgendir.

Bu faktörleri ters sırada yazarsak, simetri ve üç köşeli biçim gibi özelliklerin korunduğu M” := LQ = QT QLQ = QT M’L elde ederiz. QL algoritması, bir dizi dönüşümden oluşur.

1. M’nin farklı mutlak değerli özdeğerleri |λi| daha sonra Ms, s → ∞ olarak alt üçgen forma dönüşür.
2. M’nin bir özdeğeri |λi| özdeğerleri λi’ye yakınsayan p mertebesindeki köşegen blok matrisi dışında, p çokluğundan sonra Ms, s → ∞ olarak alt üçgen forma dönüşür.

Eğer M’nin çokluğu birden büyük olan bir özdeğeri varsa, ikinci kısmı matrisi ayrı ayrı köşegenleştirilebilen alt matrislere ayırmamıza izin verir. Üç köşegen matrisler için, O(n) adımda QL- algoritmasının bir yinelemesi gerçekleştirilebilir.

Örtük kaydırma tekniğiyle, O(n) adımlarında oldukça iyi bir yakınsama elde edilir, bu da ikinci aşama için toplam O(n2) adım sayısıyla sonuçlanır. Bu nedenle, tüm özdeğerleri ‘iyi bir kesinlik’ ile hesaplamanın genel karmaşıklığı O(n3)’tür.

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
Sayısal yöntemler sahibinden
SAYISAL YÖNTEMLER konuları
Sayısal Analiz soru çözme programı
Mühendislikte SAYISAL YÖNTEMLER
Sayısal Yöntemler İŞLETME
Sayısal Analiz PDF
Sayısal Yöntemler Özel Ders

Büyük Seyrek Matrisler Spektrumunun Bir Kısmını Hesaplama Yöntemleri

Verilen M matrisimiz çok büyük olduğunda, önceki bölümün köşegenleştirme stratejisi için gereken hesaplama ve depolama maliyetleri engelleyici hale gelir. Bununla birlikte, birçok durumda M seyrektir ve özdeğerlerin küçük bir alt kümesini belirlemek için yeterlidir. M’nin en büyük özdeğeriyle ilgilendiğimizi varsayalım. Özdeğer denklemi Mx = λx açıkça λ = x⊤Mx’e eşdeğerdir.

Bu basit bir algoritma önerir: x⊤1 x1 = 1 ile rastgele bir x1 başlangıç vektörü seçin ve ardından λn’ye iyileştirilmiş bir yaklaşım elde etmek için en dik yükseliş yönünü takip edin. Lanczos algoritması, M’nin aşırı özdeğerlerine yaklaşmak için bu fikri kullanan, çalışma zamanı ve depolama maliyeti etkin bir algoritmadır.

Aşağıdaki gibi ilerler: belirli bir x1 başlangıç vektörü, bir uzunluğa normalize edilir. Sonra her i adımında (x1,Mx1,…,Mi−1×1) tarafından kapsanan uzay için bir ortonormal taban (x1 , x2 , . . . , xi ) oluşturulur (bu uzaya ‘Krylov uzayı’ denir). Xi, n×i matrisini x1, x2, ile göstersin. . . , xi sütun vektörleridir.

T = Xi⊤MXi matrisi üç köşegen forma sahiptir. Hesaplanması kolay olan özdeğerleri ([2]’ye bakın) — M’nin i özdeğerlerine yaklaşık değerler sağlar. Yöntem, A spektrumunun en dış kısmındaki özdeğerlere yakınsamayı destekler. İşlem, bazı sabit k için k adımda bir yeniden başlatılır. ≪ n, yeterince iyi yakınsama sağlanana kadar. Lanczos yöntemini en basit haliyle Algoritma olarak ifade ediyoruz.

Algoritmanın 2(i) adımında M’yi (M − μIn )−1 ile değiştirerek, bu şema verilen herhangi bir μ değerinin çevresindeki özdeğerlere yaklaşabilir. Genel olarak, istenen bir özdeğer kümesini hesaplamak için gereken minimum Lanczos yineleme sayısı bilinmemektedir.

Uygulamada, hızlı bir yakınsama, yeniden başlatma şeması yoluyla elde edilebilir. Lanczos algoritmasının “kalın yeniden başlatma” versiyonu ile 40.000’e kadar köşe ve 200.000 kenara kadar grafik spektrumunu hesaplayabildik. Arnoldi Metodu, (ii)–(iv) adımlarını ile değiştirmede Lanczos algoritmasından farklıdır.

Simetrik matrisler için, yöntemleri matematiksel olarak eşdeğerdir, ancak Lanczos algoritması, açıkça M’nin simetrisinden yararlanarak adım başına daha az aritmetik işlem kullanır.

Arnoldi’nin yönteminin avantajı, asimetrik matrisleri işlemek için uygulanabilmesidir. Bu durumda, H = Xi⊤MXi, özdeğerlerin verimli bir şekilde hesaplanmasına izin vererek blok üçgen formuna indirgenebilen bir üst Hessenberg matrisidir.

Alt Grafikler ve Grafik Üzerindeki İşlemler

Spektrum bize bir grafikteki alt grafikler hakkında ne söyleyebilir? Alt grafiklerin özdeğerleri spektrumda görünüyor mu? Spektruma bakarak belirli bir grafiğin bir alt grafik olmadığı (veya en azından indüklenmiş bir alt grafik olmadığı) sonucuna varabilir miyiz? Kartezyen çarpım veya toplam alınarak birleştirilen iki grafiğin spektrumuna ne olur?

Bu bölümde, bu soruları cevaplamak için bazı yönergeler göstereceğiz. Laplacian spektrumları için birçok sonuç geçerli olmasına rağmen, burada sadece komşuluk spektrumunu dikkate alıyoruz.

Uyarılmış alt grafikler kendilerini spektrumda nasıl gösterir? Açıkçası, her uyarılmış alt çizge kendi özdeğerlerini veya bazı özdeğerlerini tüm grafiğin spektrumuna eklemez. Örneğin, iki köşedeki tam K2 grafiğinin özdeğerleri -1 ve 1’dir. Ancak indüklenmiş bir alt grafik, yani bir kenar olarak K2 içeren birçok grafiğin spektrumunda -1 veya 1 yoktur.

Bununla birlikte, uyarılmış alt grafiklerin özdeğerlerinde bir tarama vardır. G = (V, E) n köşeli bir grafik olsun ve H, G’nin n – 1 köşeli indüklenmiş bir alt grafiği olsun. (Başka bir deyişle: H, G’den bir tepe noktası çıkarılarak elde edilir.) 

The post Sayısal Yöntemler first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).