Fonksiyon = Dönüşüm = Operatör

Ve şimdi doğrusal cebirin gücüne bir ipucu verelim. Örneklerdeki (A-D) soruların tümü şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

Lv = w

burada v bilinmeyen, w bilinen bir vektör ve L bilinen bir doğrusal dönüşümdür. Bunun doğru olup olmadığını kontrol etmek için, vektörlerin (hem girdiler hem de çıktılar) eklenmesiyle ilgili kuralları bilmeli ve ardından L’nin doğrusallığını kontrol etmelisiniz. Lv = w denklemini çözmek genellikle doğrusal denklem sistemlerini çözmek anlamına gelir, Bölüm 2.

Türev operatörü harika bir örnektir.

Örnek 4 (Türev operatörü doğrusaldır)

Herhangi iki fonksiyon f (x), g (x) ve herhangi bir c sayısı için, analizde muhtemelen türev operatörünün karşıladığını öğrendiniz
1. d (cf) = cdf, dx dx
2. d (f + g) = df + dg. dx dxdx

Fonksiyonları, fonksiyonların eklenmesi ile verilen ve fonksiyonların sabitlerle çarpılmasıyla verilen skaler çarpım ile verilen vektörler olarak görürsek, türevlerin bu tanıdık özellikleri sadece doğrusal haritaların doğrusallık özelliğidir.

Matrisleri tanıtmadan önce, L doğrusal haritaları için genellikle L (u) yerine basitçe Lu yazacağımızı unutmayın. Bunun nedeni, yakın bir dönüşüm L’nin doğrusallık özelliğinin, L (u) ‘nun u vektörünü L doğrusal operatörüyle çarpması olarak düşünülebileceği anlamına gelir. Örneğin, L’nin doğrusallığı, eğer u, v vektörler ve c ise, d sayılardır, o zaman

L (cu + dv) = cLu + dLv

bu da sayılar için normal cebir kurallarına çok benziyor. Yine de, “uL” nin burada bir anlam ifade etmediğine dikkat edin.
Açıklama cu + dv vektörlerinin katlarının toplamına u ve v’nin doğrusal kombinasyonu denir.