Eğer T’nin her bir elemanı S’nin bir elemanı tarafından eşleştirilirse f fonksiyonu üzerindedir. Yani, eğer herhangi bir t ∈ T için f üzerindedir, f (s) = t olacak şekilde bazı s ∈ S vardır. Üst üste işlevler, örten işlevler (ve bazen epimorfizmler) olarak da adlandırılır. Örnektivitenin f aralığında bir koşul olduğuna dikkat edin.

Eğer f hem enjekte edici hem de kuşatıcı ise, önyargılıdır (veya bir izomorfizmdir).

Teorem : Bir f: S → T işlevinin ters işlevi vardır g: T → S ancak ve ancak f önyargılıysa.

Kanıt : Bu bir “eğer ve ancak eğer” ifadesidir, dolayısıyla ispatın iki bölümü vardır.

1. (Ters ⇒ önyargının varlığı.)

F’nin ters bir g fonksiyonuna sahip olduğunu varsayalım. F’nin bijektif olduğunu göstermemiz gerekir ki bunu enjekte edici ve örten olarak ayırırız.
• f fonksiyonu enjekte edicidir: Farz edelim ki, f (s) = f (s ′) olacak şekilde s, s ′ ∈ S var. Herhangi bir s ∈ S için g (f (s)) = s olmalıdır, yani özellikle g (f (s)) = s ve g (f (s ′)) = s ′. Fakat f (s) = f (s ′) olduğu için, g (f (s)) = g (f (s ′)) elde ederiz, yani s = s ′. Bu nedenle, f enjekte edicidir.
• f fonksiyonu örtüktür: T’nin herhangi bir elemanı t olsun. F (g (t)) = t olmalıdır. Dolayısıyla, g (t), t ile eşleşen S’nin bir öğesidir. Öyleyse f, örtendir.

2. (İki nesnellik inv tersinin varlığı.) Farz edin ki f önyargılıdır. Bu nedenle f örtendir, bu nedenle her t ∈ T elemanının en az bir ön görüntüsü vardır. Önyargılı olduğu için f aynı zamanda enjekte edici olduğundan her t’nin birden fazla ön imgesi yoktur. Bu nedenle, ters bir g fonksiyonu oluşturmak için, basitçe g (t) ‘yi t’nin benzersiz ön-görüntüsü f − 1 (t) olarak tanımlarız.

Şimdi iki vektör uzayı arasındaki doğrusal eşlemler olan f fonksiyonlarına uzmanlaşalım. Yukarıda rastgele fonksiyonlar için söylediğimiz her şey, doğrusal fonksiyonlar için tamamen aynıdır. Bununla birlikte, vektör uzaylarının yapısı, bire bir ve etki alanları vektör uzayları olan fonksiyonlar hakkında, genel kümelerdeki fonksiyonlar hakkında söyleyebileceğimizden çok daha fazlasını söylememizi sağlar. Örneğin, doğrusal bir fonksiyonun her zaman 0V’yi 0W’a gönderdiğini biliyoruz, yani,

f (0V) = 0W

İnceleme Alıştırması 2’de, ancak ve ancak 0V, 0W’ye gönderilen tek vektörse, doğrusal bir dönüşümün bire bir olduğunu göstereceksiniz. Doğrusal fonksiyonlar, kümeler arasındaki gelişigüzel fonksiyonlardan farklıdır, çünkü sadece bir (çok özel) vektöre bakarak, f’nin bire bir olup olmadığını anlayabiliriz!

Çekirdek

L: V → W doğrusal bir dönüşüm olsun. L’nin enjekte edici olmadığını varsayalım. O zaman Lv1 = Lv2 olacak şekilde v1 ̸ = v2’yi bulabiliriz. Yani v1 – v2 ̸ = 0, ama L (v1 – v2) = 0 olur.

Tanım : L: V → W doğrusal bir fonksiyon ise, o zaman set
kerL = {v∈V | Lv = 0W} ⊂V, L’nin çekirdeği olarak adlandırılır.
L’nin bir temelde M matrisi varsa, L’nin çekirdeğini bulmanın homojen sistemi çözmeye eşdeğer olduğuna dikkat edin.
MX = 0.

Örnek :

L (x, y) = (x + y, x + 2y, y) olsun. L bire bir mi?
Bunu bulmak için doğrusal sistemi çözebiliriz: (1 1 0, 1 2 1, 0 0 0) ∼ (1 0 0, 0 1 0, 0 0 0) 

O zaman M X = 0’ın tüm çözümleri x = y = 0 biçimindedir. Diğer bir deyişle, ker L = {0} ve bu nedenle L, enjekte edicidir.

Yukarıdaki örnekte bulduğumuza dikkat edin

ker (1 1 0, 1 2 1) = ker (1 0 0, 0 1 0)

Genel olarak, bir matrisin çekirdeğini elde etmenin etkili bir yolu, matrislerin çekirdeği arasında satır işlemlerine göre farklılık gösteren bir eşitlik dizisi yazmaktır ve RREF’e ulaşıldığında, sıfır uzayının temeli için sütunlar arasındaki doğrusal ilişkilere dikkat edin.