Derece Dağılımı Güç Yasalarını Bulma

Belirli bir grafik modelin tam derece dağılımını bulmak için bazı genel yaklaşımlara sahip olmak istiyoruz. Bilinen genel yöntemler olmadığı için tercihli bağlanma modelinin derece dağılımını gösteren dört farklı yol sunacağız.

Biri, tanıtılan Doğrusallaştırılmış Akor Diyagramları adı verilen grafik işleminin bir durumunun statik bir temsili olacaktır. Ayrıca, aynı sonucu veren üç buluşsal yaklaşım vereceğiz.

Doğrusallaştırılmış Akor Diyagramları

Doğrusallaştırılmış Akor Diyagramı (LCD), üst yarım düzlemdeki akorlarla eşleştirilmiş x ekseni üzerinde 2n farklı noktadan oluşur. Şimdi amaç, bir grafik işleminin statik durumunu temsil eden bu LCD’den bir grafik oluşturmaktır.

Tercihli bağlanma modelini yeniden gözden geçirin. Orada bir grafik işlemi (Gtm) kullanılır. m = 1 durumunu ele alalım. Pr[v], t anında eklenen vt tepe noktasının v tepe noktasına bağlı olma olasılığı olsun.

LCD Modeli

Bu yazının başında tanımlandığı gibi bir Doğrusallaştırılmış Akor Diyagramı oluşturmak için n-eşleştirmeleri kullanabiliriz. Bir n-eşleştirmeli L, S = {1, 2, . . . , 2n} çiftler halinde. Yani (2n) var! n-eşleştirmeler. S’nin n!2n elemanlarını x ekseni üzerindeki doğal sıralarında çizin ve her bir çifti, iki elemanını bir kirişle birleştirerek temsil edin.

Böyle bir Doğrusallaştırılmış Akor Diyagramında, L eşleşmesi için grafiğin yapısı anlaşılır hale gelir. Φ(L) grafiğini aşağıdaki kurallara göre oluşturun: x ekseninin solundan başlayarak, v1 tepe noktasını oluşturmak için bir kirişin ilk sağ uç noktası dahil olmak üzere tüm bitiş noktalarını tanımlarız.

Ardından, ikinci sağ uç noktaya kadar diğer tüm uç noktaları vertex v2 ve benzeri olarak tanımlarız. Kenarları oluşturmak için tüm akorları uç noktalarla ilişkili köşeleri birleştiren bir kenarla değiştiririz. Böyle bir Doğrusallaştırılmış Akor Diyagramı ve ilgili grafiğin bir örneğini verir.

Aynısı, [0,1] aralığında rastgele 2n nokta seçerek ve 2i−1 ve 2i, i∈{1,2,…,n} noktalarını bir kiriş olarak ilişkilendirerek elde edilebilir.

t = n zamanındaki özel bir nokta için, n kirişli bir Doğrusallaştırılmış Akor Diyagramı oluşturabilir ve Φ(L) grafiğini oluşturabiliriz. Elde edilen grafik model, tam olarak grafik işleminin (Gt1), yani Gn1’in n’inci durumudur.

Bunu görmek için (Gt1) evrim kuralının LCD’ler için nasıl taklit edilebileceğini gözlemleyin. Çiftin sağ noktasını nokta kümesinin sonuna yerleştirerek ve çiftin sol noktasını 2n + 1 noktalarından herhangi birinin önüne rastgele bir şekilde ekleyerek rastgele bir LCD’ye bir çift ekleyin.

Daha sonra yeni kenar, (Gt1) işlemindeki ile aynı dağıtımla bağlanır. Bu “statik” grafiğin derece dağılımının, üssü γ = -3 olan bir kuvvet yasasını takip ettiği kolayca gösterilebilir. Şimdi tercihli bağlanma modeliyle çalışan üç buluşsal yaklaşım vereceğiz.

Yapı Analizi Ders Notları
Yapısal analiz yöntemleri
Statik analiz Nedir
Yapısal Analiz Nedir
Yapısal Analiz Programları
Dinamik analiz Nedir
Yapısal Analiz Mühendisi Maaşları
Yapısal Tasarım

Süreklilik Teorisi

Ki tekrar i köşesinin derecesini göstersin. Ağa yeni bir v köşesi girerse ve bir kenarı tepe noktasına bağlarsa ki değeri artar. Bunun olma olasılığı, bunun henüz tam olasılık dağılımını belirlemediğini unutmayın, ancak argümanımız için yeterlidir.

Ek olarak, bir başlangıç sırası belirtmemiz gerekir. m0(≥ m) köşeleri ve sıfır kenarları olan bir grafikle başlamak istiyoruz. Bu durumda olasılık dağılımı tanımlı olmadığından, ilk adım için tek tip dağılım olmasını şart koşuyoruz. Açıkçası, ilk adımdan sonra, sonraki süreç için alakasız olan bir yıldız artı sıfır dereceli köşelerimiz var. Ne yazık ki, ilk dizinin tam şekli verilmemiştir.

Şimdi ki’yi sürekli bir gerçek değişken olarak ele almak istiyoruz. Bu nedenle, ki’nin değişme hızı, bir kenarın i’ye bağlanma olasılığıyla orantılıdır. Böylece aşağıdaki dinamik denklemi ifade edebiliriz. Böylece ağdaki toplam derece sayısını elde ederiz.

Tercihli bağlanma modelinin oluşturulmasıyla, ki(ti) = m başlangıç koşulunun geçerli olduğunu biliyoruz; burada ti, i köşesinin ağa eklendiği zamandır. Bu başlangıç koşulunu kullanarak diferansiyel denklemin çözümü olarak aşağıdaki sonucu elde ederiz.

t → ∞ için asimptotik olarak γ = 1 + 1 = 3 ile p(k) ∼ 2m 1 k−γ elde ederiz. β’nın üssün m’den bağımsız olduğuna dikkat edin. Böylece, katsayının m2 ile orantılı olduğu bir kuvvet yasasını izleyen bir derece dağılımı elde ederiz.

Ana Denklem Yaklaşımı

Ana denklem yaklaşımıyla, derece dağılımının şeklini bulmak için özyinelemeyi kullanmak istiyoruz. Bu nedenle, eski zaman adımlarının derece dağılımı biçiminde önceki zaman adımlarından gelen bilgileri kullanan denklemler arıyoruz. Başlangıç dağılımını bildiğimiz için bu özyinelemeyi çözmek kolaydır.

Tercihli bağlanma modelinin güç yasasını belirlemeye yönelik bu yaklaşım tanıtıldı. Sisteme ti zamanında giren bir i köşesinin t zamanında k derecesine sahip olma olasılığını p(k, ti, t) inceliyoruz. Grafik işlemi sırasında i tepe noktasının derecesi k olasılığıyla bir artar. Formüllerin basitliği için t’ye göre türev için nokta gösterimini kullanırız.

Bu doğrudan Pr[k] = 2m(m+1) formundaki kuvvet yasasını verir ve k(k+1)(k+2), süreklilik teorisi kullanılarak bulunan kuvvet yasasının değerine yaklaşır, 2m2γ− 3. Bu yaklaşım, daha genel bir tercihli bağlantı durumunun derece dağılımını belirlemek için de kullanılabilir. Bu modelde, zamanın her noktasında yeni bir köşe eklenir.

Aynı zamanda, belirtilmemiş köşelerde veya dışarıdan bir uç noktası olan m kenarlar ekliyoruz. Bu yapılabilir, çünkü burada sadece bir tepe noktasının derecesini dikkate alıyoruz. Diğer uç noktalar, q(s) + A ile orantılı olarak mevcut köşelere dağıtılır; burada q(s), s tepe noktasının derecesidir ve A, tüm köşelerle ilişkili ek bir çekiciliktir.

Hız Eşitliği Yaklaşımı

Bu yaklaşımda k dereceli köşe sayılarının zaman içindeki değişimini analiz etmek istiyoruz, bu sayının değişme oranını arıyoruz.

Tercihli bağlanma modeli için bu yaklaşım kaynaklanmaktadır. Ortalama sayıyı düşünüyoruz (durumun tüm grafikleri üzerinden süreç) t zamanında tam olarak k derecesine sahip köşelerine bakarız.

The post Küresel Yapı Analizi first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).