xTMy = xTMy = xTμy=μx y,and
xTMy (yT M x)T (by transposing a 1 × 1 matrix)
= (yT λx)T
= (λx y)T
= λx y.

Bu iki sonucu çıkarmak bize şunu söyler:
0 = xTMy − xTMy = (μ − λ) x y.
Μ ve λ’nın farklı özdeğerler olduğu varsayıldığından, λ – μ sıfır değildir ve bu nedenle x y = 0. Aşağıdaki teoremi kanıtladık.
Teorem 15.0.1. Farklı öz değerleri olan simetrik bir matrisin özvektörleri ortogonaldir.

Örnek:

M = (2 1, 1 2) matrisi şu şekilde belirlenen öz değerlere sahiptir:
det (M – λI) = (2 – λ) 2-1 = 0.
Yani M’nin özdeğerleri 3 ve 1’dir ve ilişkili özvektörler şu şekildedir:
􏰍1􏰎 1 ve −1. Bu özvektörlerin ortogonal olduğu kolayca görülmektedir.

Bir önceki bölümde P matrisinin Rn için herhangi bir ortonormal tabandan (v1, …, vn) inşa edildiğini gördük.
P = 􏰁v1 ··· vn􏰂, ortogonal bir matristir. Bunun anlamı şudur ki: P − 1 = PT veya PPT = I = PTP olur.

Ayrıca, herhangi bir (birim) vektör x1 verildiğinde, kişi her zaman x2 vektörlerini bulabilir. . . , xn öyle ki (x1,…, xn) birimdik bir temeldir. (Böyle bir temel, Gram-Schmidt prosedürü kullanılarak elde edilebilir.)

Şimdi, M’nin simetrik bir n × n matris olduğunu ve λ1’in özvektör x1 ile bir özdeğer olduğunu varsayalım (bu her zaman böyledir çünkü her matrisin en az bir öz değeri vardır – bkz. Problem 3). P, birimdik sütun vektörlerinin kare matrisi olsun
P = 􏰁x1 x2 ··· xn􏰂,

X1, M için bir özvektör iken, diğerleri, M için özvektör olmak zorunda değildir.
MP = 􏰁λ1×1 Mx2 ··· Mxn􏰂.

Fakat P ortogonal bir matristir, dolayısıyla P −1 = P T. Sonra:

Son eşitlik, P T M P simetrik olduğu için gerçekleşir. Matristeki yıldız işaretleri, “şeyler” in gerçekleştiği yerdir; bu ekstra bilgi, son ifadede M by ile gösterilir. Mˆ hakkında bir (n – 1) × (n – 1) matris olması ve simetrik olması dışında hiçbir şey bilmiyoruz. Ama sonra, Mˆ için bir (birim) özvektör bularak, bu prosedürü art arda tekrar edebiliriz. Sonuç, köşegen üzerinde M özdeğerleri olan köşegen bir matris olacaktır. Yine bir teoremi kanıtladık:

Teorem. Her simetrik matris, özdeğerlerinin köşegen matrisine benzer. Diğer bir deyişle,
M = MT ⇔M = PDPT
burada P, ortogonal bir matristir ve D, girişleri olan diyagonal bir matristir.
M’nin özdeğerleridir.

Gerçek bir simetrik matrisi köşegenleştirmek için, aşağıdaki örnekte olduğu gibi, özvektörlerin ortonormal bir tabanından ortogonal bir matris oluşturarak başlayın.

Örnek :

Simetrik matris
M = (1 2, 2 1) sırasıyla (1 1) ve (1-1) özvektörlü 3 ve 1 öz değerlerine sahiptir. Bu özvektörleri normalleştirdikten sonra, ortogonal matrisi oluşturuyoruz:

Dikkat: PTP = I. O zaman: Kısacası, MP = PD, yani D = PTMP. O halde D, M ve P’nin köşegenleştirilmiş formudur, standart temelden özvektörlerin temeline ilişkili temel değişim matrisidir.

Sorunları İnceleyin

• Okuma Problemleri
• Simetrik bir matrisin köşegenleştirilmesi

1. (Özdeğerlerin Gerçekliği Üzerine)

√ (a) Varsayım = x + iywherex, y∈R, i = −1 vez = x − iy.
X ve y cinsinden zz ve zz’yi hesaplayın. Zz ve zz ne tür sayılardır? (Karmaşık sayı z, z’nin karmaşık eşleniği olarak adlandırılır).
(b) λ = x + iy’in x, y ∈ R ile karmaşık bir sayı olduğunu ve λ = λ olduğunu varsayalım. Bu x veya y’nin değerini belirler mi? Λ ne tür bir sayı olmalıdır?
(c) Letx =  .∈C. Letx = z1 ··· zn ∈C (a1 × n zn
karmaşık matris veya satır vektörü). X † x hesaplayın. Bölüm 1a’nın sonucunu kullanarak x † x sayısı hakkında ne söyleyebilirsiniz? (Örneğin, gerçek mi, hayali mi, pozitif mi, negatif mi, vb.)
(d) M = M T’nin gerçek girdileri olan n × n simetrik bir matris olduğunu varsayalım. Λ, özvektör x ile M’nin bir özdeğeri olsun, yani Mx = λx.
e) Λ’nin 1 × 1 bir matris olduğunu varsayalım. ΛT nedir?
(f) x † Mx matrisinin boyutu nedir?
(g) Herhangi bir matris (veya vektör) N için, N’nin her girişine karmaşık konjugasyon uygulayarak N’yi hesaplayabiliriz. Hesaplama (x †) T. Sonra (x † Mx) T hesaplayın. AB + C = AB + C matrisleri için.
(h) λ = λ olduğunu gösterin. Bu problemin önceki bir kısmının sonucunu kullanarak, bu λ hakkında ne söylüyor?

---

Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

---