Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

Belirleyiciler

Bir kare matris verildiğinde, ne zaman tersinir olduğunu anlamanın kolay bir yolu var mı? Bu temel soruyu cevaplamak, bu bölümün amacıdır.

Belirleyici Formül

Belirleyici, bir kare matrisi tek bir sayıya indirger. Bu sayı, kare matrisin ters çevrilebilir olup olmadığını belirler. Önce bunun küçük matrisler için nasıl çalıştığını görelim.

Basit Örnekler

Küçük durumlar için, bir matrisin ne zaman tersinir olduğunu zaten biliyoruz. M 1 × 1 bir matris ise, M = (m) ⇒ M − 1 = (1 / m). O halde M tersine çevrilebilir ancak ve ancak m ̸ = 0 ise M a 2 × 2 matris için bölüm bir önceki bölüm şunu gösterir:

Böylece M tersine çevrilebilir ancak ve ancak m 1 1 m 2 2 – m 12 m 21 ̸ = 0 2 × 2 matrisler için bu miktar M’nin determinantı olarak adlandırılır.

Şekil 8.1: 2 × 2 matris için belirleyici formülü ezberleyin!

2 × 2 matrisler için bu miktar M’nin determinantı olarak adlandırılır.

Örnek:

101 3 × 3 matris için,

Örnek:

101 3 × 3 bir matris için, o zaman — inceleme sorusuna bakın 1 — M tekil değildir, ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda:

det M = m1m2m3 – m1m23m32 + m12m23m31 – m12m21m3 + m13m21m32 – m13m2m31 ̸ = 0. Alt simgelerde 1, 2 ve 3 sayılarının her bir sırasının tam olarak gerçekleştiğine dikkat edin
bir Zamanlar. Bunların her biri {1, 2, 3} kümesinin permütasyonudur.

Permütasyonlar

1’den n’ye kadar etiketli n nesneyi düşünün ve karıştırın. Olası her şafağa permütasyon denir. Örneğin, burada bir permütasyon örneği 1-5 arasında:

o = (􏰏1 2 3 4 5􏰐, 42513)

Σ permütasyonunu, [n]: = {1,2, …, n} ‘den [n]’ ye kadar olan sayılar kümesinden ters çevrilebilir bir fonksiyon olarak düşünebiliriz, böylece yukarıdaki örnekte σ (3) = 5 yazabiliriz. Genel olarak yazabiliriz

ancak herhangi bir permütasyonun en üst satırı her zaman aynı olduğundan, onu atlayabilir ve sadece yazabiliriz:

σ = 􏰃σ (1) σ (2) σ (3) σ (4) σ (5) 􏰄

ve böylece örneğimiz basitçe σ = [4 2 5 1 3] olur.

Permütasyonların matematiği kapsamlıdır; İhtiyaç duyacağımız birkaç temel permütasyon özelliği vardır:

• n var! n farklı nesnenin permütasyonları, çünkü ilk nesne için n seçenek, birinci seçildikten sonra ikincisi için n – 1 seçenek, vb.

• Her permütasyon, art arda nesne çiftleri değiştirilerek oluşturulabilir. Örneğin, 1 2 3􏰄 önemsiz permütasyondan 􏰃3 1 2􏰄 permütasyonu oluşturmak için, önce 2 ile 3’ü ve sonra 1 ile 3’ü takas edebilirsiniz.

• Herhangi bir permütasyon σ için, permütasyonu oluşturmak için gereken bazı takas sayısı vardır. (Minimum sayıda takas kullanmak en basit yöntemdir, ancak buna gerek yoktur: takaslardan permütasyonu oluşturmanın herhangi bir yolu, çift ya da tek takas eşitliğine sahip olacaktır.) Bu sayı ise çift ​​olur, o zaman σ’ya çift permütasyon denir; bu sayı tekse, o zaman σ tek bir permütasyondur. Aslında, n! tüm n ≥ 2 için çifttir ve permütasyonların tam olarak yarısı çift ve diğer yarısı tuhaftır. Sıfır swap kullandığından önemsiz permütasyonun (her i için i → i gönderen) eşit bir permütasyon olduğunu belirtmek gerekir.

1 belirleyici (σ) = −1 eğer σ tekse gerçekleştirilir.

Tanım İşaret fonksiyonu, yazışma kuralı tarafından tanımlanan {−1, 1} kümesine permütasyonlar gönderen bir sgn fonksiyonudur.

􏰑 Permütasyon Örneği

Determinantın bir tanımını vermek için permütasyonları kullanabiliriz. Tanım n × n matris M’nin determinantı

det M = 􏰛 sgn (σ) m1σ (1) m2σ (2) · · · mnσ (n).

Toplam, n nesnenin tüm permütasyonlarının üzerindedir; {σ: {1, …, n} → {1, …, n}} tüm unsurlarının toplamı. Her özet, matristeki n girdinin her bir faktörü farklı bir satırda olan bir çarpımıdır. Toplamın farklı terimleriyle, sütun numaraları farklı permütasyonlarla σ karıştırılır.

Zirveler hakkındaki son ifade determinantın güzel bir özelliğini verir:

Teorem  M = (mij) tamamen sıfırlardan oluşan bir satıra sahipse, her σ ve bazı i için miσ (i) = 0 olur. Ayrıca det M = 0.
Örnek 102 n’nin birçok permütasyonu olduğundan, determinantı genel bir matris için bu şekilde yazmak çok uzun bir toplam verir. N = 4 için 24 = 4 vardır! permütasyonlar ve n = 5 için zaten 120 = 5 var! permütasyonlar.

4 × 4 matris için M =

Bu çok aşamalıdır. Neyse ki, belirli matrislerin determinantlarını hesaplamak çok kolaydır.

Örneğin, M köşegen ise, yani her i ̸ = j olduğunda, determinantın köşegen dışı girişleri içeren tüm toplamları kaybolur ve

det M = 􏰞 sgn (σ) m1σ (1) m2σ (2) · · · mnσ (n) = m1m2 · · · mn.

Bir köşegen matrisin belirleyicisi, köşegen girişlerinin çarpımıdır.

Kimlik matrisi, tüm köşegen girişleri bire eşit olacak şekilde köşegen olduğundan,

det I = 1.

Bir matrisin dikey olup olmadığına karar vermek için determinantı kullanmak istiyoruz. Önceden, satır işlemlerini uygulayarak bir matrisin tersini hesaplıyorduk. Bu nedenle, matrise satır işlemleri uygulandığında determinanta ne olduğunu soruyoruz.

Satırları değiştirme Bir matrisin i ve j satırlarını değiştirelim ve sonra bunun determinantını hesaplayalım. Permütasyon σ için, σˆ, i ve j konumlarını değiştirerek elde edilen permütasyon olsun.

Açıkça; sgn (σˆ) = −sgn (σ) M ′, i ve j satırları değiştirilmiş M matrisi olsun. Sonra (i <j varsayarak):

􏰛σ ‘yu 􏰛σˆ ile değiştirme adımı genellikle kafa karışıklığına neden olur; tüm permütasyonları topladığımız için geçerlidir (inceleme problemi 3’e bakınız). Böylece, sıraları değiştirmenin determinantın işaretini değiştirdiğini görüyoruz. Yani, detM ′ = −detM olur.

Bu sonucu M = I’e (birim matris) uygulamak detEji = −1 verir, burada Eji matrisi, i ve j satırları değiştirilmiş kimlik matrisidir. Bu bir satır takas temel matrisidir.

Bu determinantın başka bir güzel özelliğini ifade eder. Matrisin iki satırı aynıysa, satırları değiştirmek matrisin işaretini değiştirir, ancak matrisi değiştirmeden bırakır. Sonra şunu görüyoruz:

Teorem M’nin iki özdeş satırı varsa, o zaman det M = 0.

Temel Matrisler ve Determinantlar

Önceki bölümde Gauss eliminasyonunda yer alan satır işlemlerini gerçekleştiren matrisleri bulduk; onlara temel matrisler dedik.

Bir hatırlatma olarak, herhangi bir M matrisi ve bir satır işleminden sonra M ′ matrisi için, E temel matrisi ile çarpıldığında

M ′ = EM elde edildi.

Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

The post Matrisler – Belirleyiciler (8) – Belirleyiciler – Determinants – Matris Sistemleri – Matrisler Ödev Yaptırma first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).