A, köşegen girişler olarak özdeğerlerle köşegenleştirilebilir olduğundan, A’nın sıralaması sıfır olmayan özdeğerlerin sayısına eşittir. Kn1,n2 için sıra 2’dir, bu nedenle A’nın iki sıfır olmayan özdeğeri λi ve λj vardır.

A’nın izinin G’deki hem özdeğerlerin toplamı hem de döngü sayısı olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla, λi + λj = 0 ve Gisλ1 =−c,λ2 =···=λn−1 =0,λn =c için spektrumunun olduğu sonucuna varıyoruz. bazı c ∈ >0. Karakteristik polinom det(A−λIn) = (−c− λ)λn−2(c − λ) = λn − c2λn−2’ye bakalım.

λ yalnızca A − λIn köşegeninde göründüğünden, λn−2’ye katkıda bulunan permütasyon açılımındaki terimler, n − 2 köşegen eleman ve 2 köşegen olmayan eleman, ai,j = aj,i = 1’i seçen permütasyonlardan kaynaklanır. i ve j’yi seçmek permütasyonu tamamen belirler, yani λn−2’ye katkıda bulunan, her biri negatif olan tam olarak n1 · n2 permütasyon vardır.

Kn için komşuluk matrisi J − In’dir, burada J tüm birlerin matrisidir. M matrisinin köşegeninden c’yi çıkarmak, özdeğerlerini −c kaydırır, çünkü Mx = λx, (M −cIn)x = (λ−c)x’e eşdeğerdir. n üzerinde tümevarımla, J’nin spektrumunun, n ve n – 1 özdeğerin sıfıra eşit olduğu tek bir özdeğerden oluştuğu gösterilebilir. Böylece Kn’nin spektrumu λ1 = · · · = λn−1 = −1, λn=n−1’dir.

İlk iddia, k üzerinde tümevarımla gösterilebilir. İkinci iddia için, özdeğeri λ’ya karşılık gelen her x özvektörü için, Akx = Ak−1(Ax) = λAk−1x = ··· = λkx olduğuna dikkat edin.

İddianın bir yönü ispatta veya diğer yönde gösterilmiştir, λi = −λj’nin her tek k için λki = −λkj anlamına geldiğine dikkat edin.

trace(Ak) = ki=1 λki = 0, G’deki k uzunluğundaki döngülerin sayısını saydığından, özellikle tek basit döngülerin olmadığı sonucuna varırız, bu da G’nin iki parçalı olduğu anlamına gelir.

Bir grafiğin belirli yapısal özelliklerini (örneğin, kenar sayısı, üçgen sayısı, iki parçalı olup olmadığı) spektrumundan elde etmenin mümkün olduğunu gördük. Ancak spektrum, grafiğin tüm yapısını yansıtmaz.

Her ikisi deλ1 =−2, λ2 =λ3 =λ4 =0 veλ5 =2 özdeğerlerine sahiptir, ancak izomorfik değildirler. Bu tür grafiklere kospektral denir. Açıkçası, bir grafiğin bağlı olup olmadığını spektrumdan bile belirleyemeyiz. Yine de bu, başka bir grafik matris olan Laplace’ın özdeğerlerine bakılarak elde edilebilir.

Laplace Spektrumu

G = (V, E) bitişik matris A ile yönsüz bir çoklu grafik (muhtemelen döngülerle) olsun. D =diag(d(1), … , d(n)) köşe derecelerinin köşegen matrisi olsun. Laplace matrisi L = (li,j) L := D−A olarak tanımlanır.

Yönsüz bir basit grafiğin Laplace’ını tanımlamanın başka bir yolu da şudur. G’nin gelişigüzel bir yönelimini düşünün, yani i’nin mi yoksa j’nin mi başı olarak görüleceğini belirterek e = {i,j} her kenarına bir yön atayan bir eşleme. Yönlendirilmiş grafiğin (G,σ) insidans matrisi B = (bi,e), sırasıyla G’nin köşeleri ve kenarları tarafından indekslenen satırları ve sütunları olan bir {0, 1, −1} matrisidir.

σ seçiminden bağımsız olarak L = BB⊤ olduğu gösterilebilir. Sonuç olarak, aşağıdaki sonucu elde ederiz.

A gerçek ve simetrik olduğundan, L = D − A da simetriktir ve dolayısıyla Laplace spektrumu n gerçek özdeğerden oluşur λ1(L) ≤ ··· ≤ λn(L). Yine, bir x ∈ n özvektörünü ω : V → , i & → xi ağırlıklarının bir ataması olarak yorumlayabiliriz. Bu bakış açısından, sıfır olmayan (ve tamamen negatif olmayan) bir ağırlık fonksiyonu ω : V → 0 varsa, λ L’nin bir özdeğeridir.

O zaman, Z := {z(C); G}’nin C bileşeni lineer bağımsızdır ve Lz(C) = BB⊤z(C) = 0n’dir. Bu nedenle, bağlı bileşen, özdeğeri 0 olan doğrusal olarak bağımsız bir özvektörler kümesine enjekte edilebilir şekilde eşlenebilir.

Spektrum Nedir
Otizm spektrum Nedir
Spektrum hastalığı Nedir
Spektrum Çeşitleri
Geniş spektrum nedir
Deprem spektrum Nedir
Sürekli spektrum nedir
Bohr atom modeli spektrum

Öte yandan, eğer z∈ n, Lz=BB⊤z=0n şeklinde bir vektörse, o zaman z⊤BB⊤z=0, B⊤z = 0n anlamına gelir, yani z, bağlı her bileşende sabit olmalıdır. Bu nedenle, z, Z’den gelen elemanların doğrusal bir kombinasyonudur ve sonuç olarak, tam olarak 0 özdeğerine karşılık gelen doğrusal olarak bağımsız özvektörler kadar çok bileşene sahibiz. Laplace, bir grafiğin yayılan ağaçlarının sayısını saymak için kullanışlıdır.

Bir G grafiğinin Laplace matrisi L, yayılan ağaçlarla şu şekilde ilişkilidir.

1. Her i ∈ {1,…,n} için G’deki yayılan ağaçların sayısı |det(Li)|’ye eşittir, burada Li, i satırı ve i sütunu silinerek Laplace L’den elde edilir.
2. Ayrıca yayılan ağaçların sayısı elde edilir.

Laplacian spektrumu, komşuluk spektrumuna göre bir grafiğin bağlı bileşenlerinin sayısını gösterme avantajına sahipken, L’ye göre kospektral olan grafiklerden de görülebileceği gibi, ikili yapıları tanımlamada başarısız olur.

Normalleştirilmiş Laplace

Spektrumu hem ikili yapıyı hem de bağlı bileşenleri tanımamızı sağlayan bir matris, L’yi soldan ve sağdan köşegen matrisi D−1/2 ile çarparak elde edilebilir, burada köşegendeki i’inci giriş d(i)−1’dir. /2 eğer d(i) > 0 ise ve aksi halde 0 olmalıdır.

Bu matrise normalleştirilmiş Laplace L = D−1/2LD−1/2 denir. Basit grafikler için, L = ( ̄li,j) karşılar. Yine, L gerçek değerli girişlerle simetriktir ve n özdeğerlerini λ1(L) ≤ · · · ≤ λn(L) sıralamasında sıralayabiliriz.

Spektrumun Karşılaştırılması

G, her köşenin tam olarak d komşuya sahip olduğu bir grafikse, o zaman L = dIn – A ve L = I – D−1/2AD−1/2. Bu, d-düzenli grafikler için üç spektrumun eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Genel olarak, üç spektrum arasında basit bir ilişki yoktur. Bununla birlikte, bitişik matrisin özdeğerlerini Laplace özdeğerleri ve maksimum ve minimum köşe dereceleri cinsinden sınırlayabiliriz.

G komşuluk matrisi A ve Laplace matrisi L olan bir grafik olsun. Eğer ∆ ve δ sırasıyla G’nin maksimum ve minimum köşe dereceleri ise, o zaman A’nın k. en küçük özdeğeri λk(A) ve k. en büyük özdeğer λn L’nin +1−k(L)’si ilişkilidir.

Bu iddiayı Courant-Fischer’in özdeğer karakterizasyonu yardımıyla göstereceğiz. Bu, lineer cebirden iyi bilinen bir teoremdir, ancak tamlık için bir kanıt ekledik.

The post Laplace Spektrumu first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).