Lineer Cebir Nedir? (10) – Doğrusal Eşitlik Sistemleri İçin Çözüm Setleri – Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır? – Doğrusal Denklem Sistemleri – Lineer Cebir Ödev Yaptırma

odevcimonline — Sat, 15 Aug 2020 15:36:14 +0000

Ödevcim Online, Lineer Cebir, Lineer Cebir Nasıl Hesaplanır, Doğrusal Cebir, Lineer Cebir Ödevi, Lineer Cebir Yaptırma, Lineer Cebir Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Lineer Cebir danışmanlık, Lineer Cebir yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

Doğrusal Eşitlik Sistemleri İçin Çözüm Setleri

Cebirsel denklem problemlerinin birden fazla çözümü olabilir. Örneğin, x (x− 1) = 0’ın iki çözümü vardır: 0 ve 1. Aksine, Ax = b formundaki denklemler ile A doğrusal operatör (skaler gerçek sayılarla) aşağıdaki özelliğe sahiptir:

A doğrusal bir operatörse ve b biliniyorsa, Ax = b’nin ikisinden biri vardır.

1. Tek çözüm
2. Çözüm yok
3. Sonsuz sayıda çözüm

Çözüm Kümelerinin Geometrisi: Hiper düzlemler

Aşağıdaki cebir problemlerini ve çözümlerini düşünün.

1. 6x = 12’nin bir çözümü vardır: 2.
2a. 0x = 12’nin çözümü yok.
2b. 0x = 0 sonsuz sayıda çözüme sahiptir; çözüm seti R.

Her durumda doğrusal operatör 1 × 1 bir matristir. İlk durumda, doğrusal operatör tersine çevrilebilir. Diğer iki durumda değil. İlk durumda, çözüm kümesi sayı doğrusundaki bir noktadır, 2b durumunda çözüm kümesi tam sayı doğrusudur.
Benzer durumları daha büyük matrislerle inceleyelim: 2 × 2 matrisler.

1. 6x = 12’nin bir çözümü vardır: 2.
2a. 0x = 12’nin çözümü yok.
2b. 0x = 0 sonsuz sayıda çözüme sahiptir; çözüm seti R.

Her durumda doğrusal operatör 1 × 1 matristir. İlk durumda, doğrusal operatör tersine çevrilebilir. Diğer iki durumda değil. İlk durumda, çözüm kümesi sayı doğrusundaki bir noktadır, 2b durumunda çözüm kümesi tam sayı doğrusudur.
Benzer durumları daha büyük matrislerle inceleyelim: 2 × 2 matrisler.
􏰍

13􏰎􏰍x􏰎􏰍4􏰎
0 0 y = 0 güçlük seti
􏰍00􏰎􏰍x􏰎 􏰍0􏰎
0 0 y = 0 hassolutionset y: x, y∈R.

Yine, ilk durumda doğrusal operatör tersine çevrilebilirken, diğer durumlarda tersinir değildir. Bir matris denkleminden 2 × 2 bir matris tersine çevrilebilir olmadığında, çözüm kümesi boş, düzlemde bir çizgi veya düzlemin kendisi olabilir.

R denklemli ve k doğrulanabilir bir denklem sistemi için, bir çok farklı sonuç elde edilebilir. Örneğin, üç değişkenli r denklemlerinin durumunu düşünün. Bu denklemlerin her biri, üç boyutlu uzayda bir düzlemin denklemidir. Denklemler sistemine çözümler bulmak için düzlemlerin ortak kesişimini ararız (eğer bir kavşak varsa). Burada beş farklı olasılığımız var:

Benzersiz Çözüm: Uçaklar benzersiz bir kesişme noktasına sahiptir. 2a. Çözüm yok. Bazı denklemler çelişkili, dolayısıyla çözüm kümesine bakılır.

2BI. Hat. Uçaklar ortak bir çizgide kesişiyor; bu doğru üzerindeki herhangi bir nokta denklem sistemine bir çözüm getirir.
2bii. Uçak. Belki de başlamak için yalnızca bir denkleminiz vardır, ya da tüm denklemler geometrik olarak çakışır. Bu durumda, iki serbest parametresi olan bir çözüm düzleminiz olur.
2biii. Tüm R3. Bilgisiz başlarsanız, R3’teki herhangi bir nokta bir çözümdür. Üç ücretsiz parametre vardır.

Genel olarak, k bilinmeyenli denklem sistemleri için, çözüm kümesindeki olası serbest parametrelerin sayılarına (yani 0, 1, 2,., K) karşılık gelen k + 2 olası sonuç vardır. Çözüm yok. Bu tür çözüm kümeleri, birçok yönden R3’te düzlemler gibi davranan düzlemlerin genellemeleridir.

Resimler ve Açıklama

Özel Çözüm + Homojen Çözümler

Çözüm setlerine tekrar bakalım, bu sefer geometrik şekillerini almaya çalışalım. Standart yaklaşımda, pivot içermeyen sütunlara karşılık gelen değişkenler (indirgenmiş satır basamaklı formuna geçtikten sonra) serbesttir. Çözüm setinin geometrisini belirleyen serbest değişkenlerin sayısıdır.

Örnek :

(Pivot olmayan değişkenler, çözüm kümesinin gemometrisini belirler)
1 0 1 −1x1 1 1×1 + 0x2 + 1×3−1×4 = 1  
0 1 −1 1 x2 = 1 ⇔ 0x1 + 1×2−1×3 + 1×4 = 1 0000x3 0 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0
x4

Standart yaklaşımı takiben, pivot değişkenleri pivot olmayan terimlerle ifade edin,
değişkenler ve “boş denklemler” ekleyin. Burada x3 ve x4, pivot olmayan değişkenlerdir.

x = 1 − x + x x 1  − 1 1
1341
x2 = 1 + x3 −x4 ⇔x2 = 1 + x3 1 + x4 − 1
 x3 = x3 x3010
x4 = x4x4 0 0 1

Bir çözüm kümesi S’yi yazmanın tercih edilen yolu küme gösterimidir;

x 1  − 1 1  1   x 2   1   1   – 1  
S =   =  + μ1  + μ2 : μ1, μ2∈R. x3 0  1  0 
x4 0 0 1 

İkinci iki terimin ilk iki bileşeninin pivot olmayan terimden geldiğine dikkat edin
sütunlar.

Çözüm setini yazmanın başka bir yolu da şöyledir:

S = 􏰅xP + μ1xH1 + μ2xH2: μ1, μ2∈R􏰆, 1  − 1  1
xP = 1, xH =  1, xH =  − 1. 0 1  1 2  0
001

Burada xP özel bir çözümdür, xH1 ve xH2 ise homojen çözümler olarak adlandırılır. Çözüm seti bir düzlem oluşturur.

Çözümler ve Doğrusallık

Örnek 32’den motive olarak, Mx = v matris denkleminin {xP + μ1xH1 + μ2xH2 | çözüm setine sahip olduğunu söylüyoruz. μ1, μ2 ∈ R}. Matrislerin doğrusal operatörler olduğunu hatırlayın. Böylece

M (xP + μ1xH1 + μ2xH2) = MxP + μ1MxH1 + μ2MxH2 = v,

herhangi bir μ1, μ2 ∈ R için μ1 = μ2 = 0 seçildiğinde, MxP = v elde ederiz.

Bu nedenle xP, belirli bir çözümün bir örneğidir.

Μ1 = 1, μ2 = 0 ayarlayarak ve M xP = v çıkararak elde ederiz
M x H1 = 0. Aynı şekilde μ1 = 0, μ2 = 1 olarak ayarlayarak elde ederiz
M x H2 = 0.

Burada xH1 ve xH2, sisteme homojen çözümler denen şeylerin örnekleridir. Orijinal Mx = v denklemini çözmezler, bunun yerine onunla ilişkili homojen denklemi My = 0 çözerler.

Doğrusal cebirle ilgili temel bir dersi yeni öğrendik: A’nın doğrusal bir operatör olduğu Ax = b’ye ayarlanmış çözüm, belirli bir çözüm artı homojen çözümlerden oluşur.

{Çözümler} = {Özel çözüm + Homojen çözümler}

Örnek :

Bir önceki örnekteki gibi bir matris denklemini düşünün. Çözüm seti vardı:
1  − 1  1 

{Çözümler} = {Özel çözüm + Homojen çözümler}

1 1 −1  S =  + μ1  + μ2 : μ1, μ2∈R.
0  1  0  001
1 0

Sonra MxP = v, 1’nin 0 olan orijinal matris denklemine bir çözüm olduğunu söyler,
kesinlikle doğru, ancak bu tek çözüm değildir.
-1
MxH = 0,  1’nin homojen denklem için bir çözüm olduğunu söylüyor.

MxH = 0,  − 1’nin homojen denkleme bir çözüm olduğunu söylüyor.
2  0  1
Homojen bir çözeltinin herhangi bir katını belirli bir çözüme eklemenin başka bir özel çözüme nasıl yol açtığına dikkat edin.