Tercihli bağlanma grafiği, açıkça G(n, p) grafiğinden önemli ölçüde daha küçük özdeğerlere sahiptir. Temelde bağlantılı olduğundan2 bu küçük özdeğerler, küçük bağlantılı bileşenlerden kaynaklanamaz.

Bu özdeğerlerin oldukça lokalize olan özvektörlere ait olduğu ileri sürülmektedir. Bu, daha sonra gözlemleyeceğimiz yüksek ters katılım oranları ile desteklenmektedir.

G(n,p) ile ilgili çalışmalarımız için ilginç bir durum, seyrek rasgele grafiklerdir. Yarım daire yasasına göre, histogramlarımızın giderek daha fazla (n’nin artmasıyla) bir yarım daireye benzemesi gereken büyük n değerlerine bakardık. Görüntülenen durumda, yaklaşık olarak 3 pn = 1 2000 = 1000 derecesine sahibiz. Bu nicelik pn ayrıca grafiğin bağlanabilirliği olarak da anılır, ancak zaten başka bir bağlamda yaygın olarak kullanıldığı için bu terimden kaçınacağız.

Daha az kenarlı grafiklere, örneğin pn = 5 olan G(n, p) grafiklerine bakarsak ne olur? Bu tür grafiklerin spektral yoğunluklarının 0 civarında yarım dairenin üzerine çıktığını gösterir. Bunun nedenleri tartışılmıştır.

Daha büyük özdeğerlerde küçük tepe noktaları da fark edilebilir. Beklenen derecesi daha da düşük olan grafiklerin çizimlerinde daha belirgin hale gelirler. Bunları daha detaylı incelemek için, özdeğerlerin kümülatif dağılımına, yani fonksiyona bakmak faydalı olacaktır.

Piklerin sebepleri araştırılır. Küçük bağlantılı bileşenlerden ve pn > 1 için dev bileşen üzerine aşılanmış küçük ağaçlardan kaynaklandığı iddia edilmektedir.

Ters Katılım Oranları

Bakmak bizi, tercihli ekli grafiklerimizin oldukça yerelleştirilmiş özvektörlere sahip olduğu varsayımına götürdü. Bunu daha fazla araştırmak için, her üç modelde de rastgele grafikler oluşturduk ve özvektörlerinin ters katılım oranlarını çizdik.

Üç grafiği de gösterir. Her daire bir özvektörü temsil eder. Çemberin x konumu özdeğere ve y konumu ters katılım oranına karşılık gelir. İkinci grafikte (Barab́asi-Albert benzeri grafiğin sonuçlarını gösterir), 1’e yakın ters katılım oranına sahip özvektörler bile olduğuna dikkat edin.

Az sayıda köşe için bile çok ayırt edici grafikler elde etmemiz de ilginçtir; dikkate alınan tüm grafiklerin her biri yalnızca 100 köşeye sahipti. Rastgele bu türden daha fazla grafik oluşturduk ve her zaman aynı özellikleri gözlemleyebildik.

Açıkçası, G(n,p) tüm özvektörlerin ters katılım oranlarının şemanın alt kısmındaki küçük bir bantta oldukça eşit bir şekilde dağılmış olması gerçeğiyle tanınabilir. Baraba ́si-Albert benzeri grafik, göze çarpan bir özellik olarak yüksek ters katılım oranına sahip özvektörler sergiler. Küçük dünya grafiği oldukça asimetrik bir yapı göstermektedir. Bu kadar küçük grafikler için aynı şekilde ayırt edici spektral yoğunluk grafikleri üretemedik.

En Büyük Özdeğer Ofseti. G(n,p) modelinde ve ayrıca tercihli ekli grafiklerde, en büyük özdeğerin spektrumun geri kalanından önemli ölçüde ayrıldığından daha önce bahsetmiştik.

Bu iki modeldeki ofset R, küçük dünya grafiklerindekinden birkaç büyüklük sırasına göre farklıdır. Ancak seyrek G(n,p) grafikleri ile tercihli ekli grafiklerin R değerleri arasında da bir fark vardır. Birincisi için, artan köşe sayısı ve sabit ortalama derece ile, R değerleri sabit kalırken, ikincisi için azalır.

Sosyal ağ analizi pdf
Tercihli ağ nedir
Merkezi düğümlerin ortaya çıkma nedenleri
Tercihli eklenti nedir
Rassal ağ nedir
Sosyal ağ analizi örnekleri
Tercihli bağlantı nedir
Düğüm sayısı 12 olan yönlü bir ağda maksimum bağlantı

Rastgele Güç Yasası Grafikleri

İlk olarak, çok genel bir rasgele grafik sınıfının bitişiklik spektrumu incelenir. Negatif olmayan gerçeklerin tatmin edici bir w = (w1,w2,…,wn) dizisi verildiğinde, ayrıca, beklenen en büyük dereceyi m ile ve ortalama beklenen dereceyi d ile gösteririz.

Rastgele bir grafiğin bitişiklik spektrumunun en büyük özdeğeri üzerindeki sonuçları neredeyse kesinlikle4 ve belirli koşullar altında d ̃ ve m üzerinde tutan G(w)’den ispatlayabiliriz. d, m ve k en büyük beklenen derecelerin uygun davranması koşuluyla k en büyük özdeğerler üzerinde de bu tür ifadeler yapabiliriz.

Bu sonuçların ilginç bir uygulaması, rasgele güç yasası grafikleriyle ilgilidir: w dizisini uygun şekilde seçebiliriz, böylece belirli bir β için, k derecesinin beklenen köşe noktalarının k−β ile orantılı olması sağlanır. Göz önünde bulundurulan değerler β > 2 idi.

Temel Özellikler

Bitişiklik spektrumu çok sayıda makale ve ders kitabında tartışılmıştır. Bu bölümde sunulan sonuçlar alınmıştır. (‘Kabul matrisi’ terimi altında) ve hakkında daha fazla bilgi bulunabilir. Normalleştirilmiş Laplacian, kapsamlı bir şekilde incelenmiştir.

Özdeğerler tek başına genellikle bir grafiğin yapısını belirlemezken (kospektral grafiklerde gösterildiği gibi), özdeğerler artı özvektörler şunları yapar: u1, u2, . . . , un, A’nın λ1, λ2,’ye karşılık gelen lineer bağımsız özvektörleridir. . . , λn, sonra A = UDU−1, burada U :=Mat(u1, . . . , un) sütun vektörleri olarak ui ile matristir ve D :=diag(λ1, . . . , λn) girişleri λi olan köşegen matrisidir.

Zaten bazı özvektörlerin bilgisi, bir grafiğin önemli özelliklerini tanımak için çok yararlı olabilir. Atıfta bulunulan referanslar, ağ analizinde tipik olarak oldukça düzenli olmayan grafiklerle uğraştığımız için, daha çok üvey anne olarak ele aldığımız düzenli grafikler yelpazesinde birçok sonuç içerir.

Sayısal Yöntemler

Küçük yoğun matrisler için köşegenleştirme stratejisi kapsamlı bir şekilde işlenir. Paralelleştirilebilir sürümler de dahil olmak üzere QR benzeri algoritmalar hakkında bir tartışma için. Yöntem hakkında daha fazla bilgi bulunabilir. Gerçek asimetrik matrisler için bir Arnoldi kodu tartışılmıştır.

Alt Grafikler ve Grafik Üzerindeki İşlemler

Geçmeli Teorem, spektral grafik teorisi üzerine birçok yayında önemli bir rol oynar. Daha önce bahsedilen literatüre ek olarak, okuyucuyu işaret ediyoruz. Grafik işlemleri ve ortaya çıkan spektrumlar hakkında daha fazla bilgi bulunabilir. Daha önce de belirtildiği gibi, simetrik aşılama da bir rol oynar.

Küresel İstatistiklerin Sınırları

Özdeğerler ve grafik parametreleri arasındaki bağlantı ve buradaki referanslar hakkında daha fazla sonuç için, örneğin. Grafik parametreleri için normalleştirilmiş Laplacian’ın özdeğerlerinin rolü hakkında daha fazla bilgi bulunabilir. λ2(L) ve genişleme özellikleri arasındaki bağlantı hakkında daha fazla bilgi bulunabilir.

İkiye bölme genişliğinde daha iyi spektral alt sınırlar verilmiştir. Teknik aynı zamanda iyi ortalama durum davranışına sahip verimli bir algoritma sağlar. Öngörülen bir k-bölümü bulmanın çok yollu bölme problemi için spektral yöntemlerin tartışılması içindir. Daha önce bahsedilenlerin yanı sıra daha fazla okuma için. Bazı uç özdeğerlerin davranışı da dikkate alınır.

The post Tercihli Bağlanma Grafiği first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).