• Adım 3: Sistem UX = W0’ı çözün.

Geri değiştirme z = −11, y = 3 ve x = −3 verir.

Sonra X = (-3 3-11) ve işimiz bitti.

LU ayrıştırması kullanma

Bir LU Ayrıştırması Bulma

LU matris ayrıştırmalarını bulmak için Gauss eliminasyonu kullanılmıştır. Bu fikirler burada tekrar gözden geçirme olarak sunulmuştur.

Herhangi bir matris için, aslında birçok farklı LU ayrışması vardır. Bununla birlikte, L matrisinin köşegende olanlara sahip olduğu benzersiz bir LU ayrışması vardır. Bu durumda L, alt birim üçgen matris olarak adlandırılır.

LU ayrışımını bulmak için, L1, L2, … ve U1, U2 matrislerinin iki dizisi oluşturacağız, öyle ki her adımda LiUi = M Li’nin her biri daha düşük üçgen olacaktır, ancak yalnızca son kullanıcı arabirimi üst üçgen olacaktır. Bu hesaplamanın ana numarası aşağıdaki örnekte ele alınmıştır:

Örnek:

(Bir Temel Matris)
Düşünmek

EM’yi hesaplayalım Burada düzgün bir şey oldu: M’yi E ile çarparak, M üzerinde R2 → R2 + λR1 satır işlemini gerçekleştirdi. Bir başka ilginç gerçek:

Dolayısıyla M = E − 1EM veya bunu yazarak

Burada soldaki matris alt üçgendir, sağdaki matris ise üzerinde bir satır işlemi gerçekleştirmiştir.
M’nin ilk satırını, altındaki her satırın ilk girişini sıfırlamak için kullanmak istiyoruz. Çalışan örneğimiz için, bu nedenle satır işlemlerini gerçekleştirmek istiyoruz.

R2 → R2 −1R1 veR3 → R3 −2R1

Bu satır işlemlerini M üzerinde gerçekleştirirsek

Bunu solda daha düşük bir üçgen matris L1 ile çarpmamız gerekiyor, böylece L1U1 = M çarpımı hala. Yukarıdaki örnek, bunun nasıl yapılacağını göstermektedir: L1’i, ilk sütunu M’nin ilk sütununu sıfırlamak için kullanılan sabitler eksi ile doldurulan alt üçgen matris olacak şekilde ayarlayın.

Yapım gereği L1U1 = M, ancak bunu bir çift kontrol olarak kendiniz hesaplamalısınız.
Şimdi R3 → R3 – 1 R2 satır işlemini kullanarak U1’in ikinci satırını kullanarak U1’in ikinci sütununu köşegenin altına sıfırlayarak üretmek için işlemi tekrarlayın.

Bu satır işlemini geri alan matris, aynı şekilde elde edilir. Yukarıda L1 bulundu ve:

Dolayısıyla, L2 için cevabımız bu matrisin L1 ile çarpımıdır, yani

Daha düşük üçgen matrislerin çarpımı her zaman düşük üçgendir!

Üstelik, tüm satır işlemlerimiz için kullanılan sabitlerin eksi uygun sütunlara kaydedilmesiyle elde edilir (bu her zaman bu şekilde çalışır). Dahası, U2 üst üçgen ve M = L2U2, işimiz bitti! Tüm bunları bir araya getirmek elimizde

Üzerinde çalıştığınız matrisin üçten fazla satırı varsa, bu işleme köşegenin altındaki sonraki sütunu sıfırlayarak devam edin ve yapacak hiçbir şey kalmayıncaya kadar tekrarlayın.

Başka bir LU ayrıştırma örneği

L matrisindeki kesirler kuşkusuz çirkin. İki matris LU için, L’nin bir sütununu sabit bir λ ile çarpabilir ve iki matrisin çarpımını değiştirmeden karşılık gelen U satırını aynı sabitle bölebiliriz. Sonra:

Ortaya çıkan matris daha güzel görünür, ancak standart (alt birim üçgen matris) formunda değildir.

Kare olmayan matrisler için LU ayrıştırması yine de mantıklıdır. Bir m × n matris M verildiğinde, örneğin M = LU, L kare alt birim üçgen matris ve U dikdörtgen matris ile yazabiliriz. O halde L, m × m’lik bir matris olacak ve U, m × n’lik bir matris (M ile aynı şekle sahip) olacaktır. Buradan, süreç kare matrisle tamamen aynıdır. Sonunda LU ayrıştırması olan bir Li ve Ui matris dizisi oluşturuyoruz. Yine L0 = I ve U0 = M ile başlıyoruz.

Örnek :

M = U0 = −4 4 1’in LU ayrışımını bulalım. M’den beri
2 × 3 matristir, bizim ayrıştırmamız 2 × 2 matris ve 2 × 3 matristen oluşacaktır. 􏰍1 0􏰎

Sonra L0 = I2 = 0 1 ile başlarız.

Bir sonraki adım, köşegenin altındaki ilk M sütununu sıfırlamaktır. O halde, iptal edilecek tek bir satır vardır ve M’nin ilk satırının 2 katını M’nin ikinci satırına çıkararak kaldırılabilir. Sonra:

L 1 = (1 2, 0 1) U1 = (-2 0, 1 2, -3 5)

U1 üst üçgen olduğundan, işimiz bitti. Daha büyük bir matrisle sürece devam ederdik.

LDU Ayrıştırmasını Engelle

M, X − 1 olacak şekilde X, Y, Z, W kare bloklarına sahip bir kare blok matris olsun. Daha sonra M, aşağıdaki gibi, D’nin blok köşegen olduğu bir blok LDU ayrışması olarak ayrıştırılabilir:

M = (Y Z, Y W)

Bu, açıkça bu üç matrisi blok çarparak kontrol edilebilir.

LDU Açıklamasını Engelle

Örnek 100 2 × 2 matris için, her girişi 1 × 1 blok olarak kabul edebiliriz.

(1/3, 2/4) = (1/3, 0/1) (1/0, 0 / -2) (1/0, 2/1)

Köşegen matrisi üst üçgen matris ile çarparak, matrisin standart LU ayrışımını elde ederiz.

Sorunları İncele

1. (k) xk’yi bulmak için bir formül veya yinelemeli yöntem bulmaya çalışın. Cevabınızı basitleştirme konusunda endişelenmeyin.

2. M = Z W, W ters çevrilebilir bir kare n × n blok matrisi olsun.

3. Eğer M tersine çevrilemeyen bir kare matris ise, ya matris matrisi U ya da LU ayrışımındaki M = LU matrisinin köşegeninde sıfır olduğunu gösterin.

4. Üst ve alt üçgen matrislerin kendi alanlarındaki birim hiperküre ne yaptığını açıklayın.

5. Bölüm 3’te gördük ki, genel olarak satır değişim matrisleri üst üçgen biçimini elde etmek için gerekli olduğundan, LDPU çarpanlara ayırmanın, tersinir bir matrisin çeşitli türlerde ERO’lara tam olarak ayrıştırılması olduğunu gördük. Yukarıdaki prosedürü genelleştiren doğrusal sistemleri çözmek için LDPU ayrıştırmalarını kullanmak için bir prosedür önerin.

6. LU ayrışımını UL ayrıştırmasına tercih etmek için bir neden var mı, yoksa sıra sadece bir kural mı?

7. M tersine çevrilebilirse, MT’nin M için ayrıştırmalar açısından LU, LDU ve LDPU ayrışmaları nelerdir? Aynısını M − 1 için de yapabilir misin?

8. M simetrikse, M’nin LDU ayrışmasında L = UT olduğunu iddia edin.

---

Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

---